平行四邊形的常用數學思想

劉頓

一、數形結合思想

例1 （2021·天津）如圖1，?ABCD的頂點A，B，C的坐標分別是（0，1），（-2，-2），（2，-2），則頂點D的坐標是（）.

A.（-4，1）B.（4，-2）C.（4，1）D.（2，1）

解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，B（-2，-2），C（2，-2），

∴點B到點C為水平向右平移4個單位長度，

∴A到D也應向右平移4個單位長度.

∵點A的坐標為（0，1），則點D的坐標為（4，1）.

故選C.

反思：也可換個思考角度，由圖形可知點D位于第一象限，且橫坐標大于縱坐標，淘汰選項A，B，D. 故選C.

二、轉化思想

例2 （2021·江蘇·揚州）如圖2，在?ABCD中，點E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC = 30°，BE = 10，則?ABCD的面積為.

解析：過點E作EF⊥BC，垂足為F，如圖3，

∵∠EBC = 30°，BE = 10，∴EF = [12]BE = 5.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD[?]BC，∴∠DEC = ∠BCE.

∵EC平分∠BED，即∠BEC = ∠DEC，

∴∠BCE = ∠BEC，∴BE = BC = 10，

∴四邊形ABCD的面積 = BC × EF = 10 × 5 = 50.

故填50.

反思：作輔助線構造直角三角形，求出EF的長是解題的關鍵.

三、分類思想

例3 （2021·黑龍江·哈爾濱）四邊形ABCD是平行四邊形，AB = 6，∠BAD的平分線交直線BC于點E，若CE = 2，則?ABCD的周長為.

解析：由題意可分兩種情形：

當點E在線段BC上時，如圖4.

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC[?]AD，∴∠BEA = ∠EAD.

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE = ∠EAD，∴∠BEA = ∠BAE，∴BE = AB.

∵AB = 6，∴BE = 6，∵CE = 2，∴BC = BE + CE = 8，

∴平行四邊形ABCD的周長為2 × （6 + 8） = 28.

當點E在線段BC的延長線上時，如圖5.

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴BC[?]AD，∴∠BEA = ∠EAD.

∵AE平分∠BAD，∴∠BAE = ∠EAD，

∴∠BEA = ∠BAE，∴BE = AB.

∵AB = 6，∴BE = 6.

∵CE = 2，∴BC = BE - CE = 6 - 2 = 4，

∴平行四邊形ABCD的周長為2 × （6 + 4） = 20.

綜上所述，平行四邊形ABCD的周長為20或28. 故填20或28.

反思：由于條件中沒有供圖，所以求解時要注意體會分類思想的運用.

分層作業

難度系數：★★★? ? ? ? ? ? ? 解題時間：5分鐘

1.如圖6，在四邊形ABCD中，AD[?]BC，AD = 12 cm，點P從點A出發以2 cm/s的速度向點D運動，點P從點A出發1秒后，點Q從點C出發，并以1 cm/s的速度向點B運動. 設點P的運動時間為t秒. 當t取何值時，PQ[?]CD？（答案見第25頁）

難度系數：★★★★? ? ? ? ? ? 解題時間：5分鐘

2.如圖7，?ABCD中，點E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE向上翻折，點A正好落在邊CD上的點 F處，若△DEF的周長為8，△CBF的周長為18，求FC的長度. （答案見第25頁）