基于“APOS”理論的小學(xué)數(shù)學(xué)深度實驗

王雨婷

數(shù)學(xué)知識的基本元素就是概念。“APOS”理論（包括活動Action、過程Process、對象Object和圖式Schema四個階段）是由美國學(xué)者杜賓斯基提出的關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的理論。他認為人是不可能直接學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)概念的，需要透過心智結(jié)構(gòu)才能使所學(xué)的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生意義。對于學(xué)習(xí)者而言，該理論強調(diào)的是在學(xué)習(xí)新知識之前，要對所學(xué)的內(nèi)容進行充分的預(yù)設(shè)，學(xué)習(xí)者需要通過主動建構(gòu)來獲得知識。

“APOS”理論下的“圓的面積”數(shù)學(xué)實驗，可以使學(xué)生在活動中體驗，在過程中壓縮，將對象重置，從而形成圖式，幫助學(xué)生更好地體會圖形變化中的無限逼近數(shù)學(xué)思想，深入理解圓的面積公式。

一、實驗活動設(shè)計—基于“原形”的反向推演

“活動”是“APOS”理論的第一階段。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)活動，操作運算行為是數(shù)學(xué)認知基礎(chǔ)性行為。對于小學(xué)生來說，許多數(shù)學(xué)思考是隱性的，不容易發(fā)現(xiàn)，需要通過一系列的顯性的探索活動來實現(xiàn)。在進行活動設(shè)計時，教師需要考慮學(xué)生能夠到達的層次，并根據(jù)層次來推演基于怎樣的“原形”才能達成。

1. 基于“原形”的深度研判

在這里，“原形”不是簡單的知識內(nèi)容，而是內(nèi)容的知識原形，是學(xué)生的認知原形。要進行圓的面積探究的活動設(shè)計，就要知道這個知識是怎樣形成的。“圓的面積”知識原形可分為兩部分：一是極限轉(zhuǎn)化，將一個圓平均分成若干個扇形，然后拼成一個平行四邊形，經(jīng)歷不斷細化的拼接，使得平行四邊形逐漸趨向長方形，最終通過極限思想下的轉(zhuǎn)化將圓的面積與長方形的面積畫上等號，得到圓的面積公式。二是圓的面積與圓半徑的平方之間的倍數(shù)關(guān)系，即圓的面積與以圓的半徑為邊長的正方形面積的倍數(shù)關(guān)系，這一量與量之間的關(guān)系，也是圓的面積運用的原形。

2. 已有圖式與經(jīng)驗的深度研判

在探究圓的面積之前，學(xué)生已經(jīng)對圓有了一定的認識，知道圓的特征、半徑、弧長等知識，經(jīng)歷過長方形、正方形、平行四邊形等圖形面積的推導(dǎo)過程，對“割補”“轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想有過感受。同時，學(xué)生在之前學(xué)習(xí)“積的變化規(guī)律”“找規(guī)律”等時，經(jīng)歷過量與量之間關(guān)系的探索過程，積累了一定的活動經(jīng)驗。

3. 實驗方式的深度研判

從學(xué)習(xí)的角度出發(fā)可知：學(xué)生對于倍數(shù)關(guān)系比較熟悉，但對于一個范圍內(nèi)的倍數(shù)關(guān)系（π倍）還比較陌生，需要一定的操作積累和抽象推理。極限轉(zhuǎn)化學(xué)生是第一次接觸，無論在直觀感知上還是抽象理解上都存在建構(gòu)支撐的空白，同樣需要經(jīng)歷動手操作和思維操作的結(jié)合。

以此研判為依據(jù)，實驗操作可以分為兩層：一是提供方格紙的分層次操作實驗，以數(shù)方格算倍數(shù)的方式達成對倍數(shù)范圍的感知;二是提供圓形紙片及分割思路，將圓形紙片分成小扇形進行拼接，感知圖形的極限轉(zhuǎn)化，然后進行量化對比，得出圓的面積的計算方法。

二、實驗操作過程—從現(xiàn)象到信息的累積

“過程”是“APOS”理論的第二階段。學(xué)生在“活動”中對“活動”進行思考，思維逐漸獲得內(nèi)化并壓縮，這樣的“活動”經(jīng)過多次重復(fù)后，就可以內(nèi)化并穩(wěn)固為一種“過程”性的心理活動。不是一次操作就能達成，而是需要反復(fù)、多次的操作，獲得更多的數(shù)據(jù)與信息，為下一步的思考、再操作奠定基礎(chǔ)。

1. 物理感知的抽象積累

向?qū)W生呈現(xiàn)一個以正方形的邊長（4cm）為半徑畫的圓，教師指導(dǎo)學(xué)生用數(shù)方格的方法來計算圓的面積，先數(shù)出四分之一個圓，有接近12個整格，約3個半格，其中3個半格的面積加起來可以大約看作1整格，因此可以看作共13個整格，圓的面積是52cm?，并將所得到的結(jié)果填入表1。

在這樣的操作活動后，學(xué)生掌握了基本的操作方法。教師再出示以5cm、6cm的正方形的邊為半徑畫的圓，學(xué)生獨立操作，通過直接計算來推演圓的面積大約是正方形面積的多少倍（見表1）。

表1 圓的面積與正方形面積的關(guān)系

正方形的面積（cm2） 圓的半徑（cm） 圓的面積（cm2） 圓的面積大約是

正方形面積的幾倍

16 4 52 3.3

25 5 76 3.0

36 6 112 3.1

這一組操作實驗給學(xué)生帶來的是物理現(xiàn)象的感知。結(jié)合數(shù)據(jù)信息，學(xué)生對物理感知進行數(shù)學(xué)化的抽象分析，體驗到了圓的面積與邊長為r的正方形面積之間的倍數(shù)關(guān)系。這個關(guān)系雖然是個范圍，但是給學(xué)生帶來的體驗是真實的，也啟發(fā)學(xué)生將這個倍數(shù)與π之間產(chǎn)生積極的聯(lián)系。

2. 形象感知的抽象推進

在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生進行第二個操作活動，將一個圓形紙片進行16等分，再拼一拼，看看能拼成什么圖形，并匯報（見圖1）。

圖1 把圓16等分并拼圖

教師通過多媒體演示把圓平均分成32份、64份并拼圖的過程（見圖2、圖3），引導(dǎo)學(xué)生觀察并分析，與圖1比較拼成的圖形發(fā)生了哪些變化。

圖2 把圓32等分并拼圖

圖3 把圓64等分并拼圖

圓是小學(xué)數(shù)學(xué)階段最后學(xué)習(xí)的平面圖形，具有它的特殊性—唯一一個曲線圖形。本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容比較抽象，之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗并不能直接遷移到本課的學(xué)習(xí)中來，學(xué)生通過自己的實際操作進行感知，符合他們的認知水平和能力。

三、實驗內(nèi)化壓縮—對象的重置與反演

“對象”是“APOS”理論的第三階段。這時概念已經(jīng)被形式化、抽象化，成了新的具體的對象，以此開展新的“活動”。這里的“對象”不是指學(xué)習(xí)者，而是指實驗中得到的數(shù)據(jù)與信息，涉及一個“脫身”的概念，學(xué)習(xí)者從旁觀者的角度來看之前的操作過程，客觀進行操作發(fā)現(xiàn)。

1. 抽象感知的概括

在物理操作中，學(xué)生積累了豐富的抽象感知，同時，學(xué)生也能通過自己的感知對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)進行簡單概括：在第一個操作活動中，根據(jù)自己已有的認知水平和活動經(jīng)驗，知道正方形的面積就是圓半徑的平方，在此基礎(chǔ)上，了解正方形面積與圓面積的關(guān)系就是圓的半徑平方與圓面積之間的關(guān)系。在第二個操作活動中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)隨著圓平均分的份數(shù)增多，所拼成的圖形越來越趨向于長方形，發(fā)現(xiàn)從圓到長方形，形狀變了，但是面積沒有改變，從而建立圓的面積與長方形的面積的聯(lián)系，感受極限思想下的轉(zhuǎn)化，為下一階段做準備。

2. 概念的數(shù)學(xué)表達

學(xué)生通過探究圓的面積的過程，能充分地運用口頭語言及書面語言對可操作的對象進行解釋。教師鼓勵學(xué)生積極、主動地交流，用語言表達他們的數(shù)學(xué)理解。

在第一個操作活動中，學(xué)生通過數(shù)格子和計算，將數(shù)據(jù)填寫在表格中，通過對數(shù)據(jù)的觀察與分析，再加上之前的自主探索，能發(fā)現(xiàn)圓的半徑平方與圓面積之間的倍數(shù)關(guān)系。數(shù)學(xué)表達有書面表達和語言表達兩種，活動到了這一階段，書面表達對于大部分學(xué)生來說都不是難事，學(xué)生通過表格中的數(shù)據(jù)，能寫出量與量之間存在的倍數(shù)關(guān)系。語言表達需要學(xué)生通過對整個操作活動的回顧與反思，自然地說出圓的面積是圓半徑平方的3倍多一些。同樣，在第二個操作活動中，教師可以請學(xué)生說說得到了怎樣的圖形，學(xué)生回答：“得到一個近似長方形的圖形，這個圖形的長是圓周長的一半，可以用πr表示，寬就是圓的半徑r，因為長方形的面積是長×寬，所以圓的面積可以寫成πr（長）×r（寬），即πr?。”

四、實驗的順應(yīng)—圖式的遷移應(yīng)用

“圖式”是“APOS”理論的第四階段。圖式是較為穩(wěn)定的認知模型，在長期的學(xué)習(xí)活動中不斷被完善，起初只是反映概念的特例、抽象過程、定義形態(tài)，后來學(xué)習(xí)者將概念與其他概念建立起內(nèi)在的聯(lián)系，在大腦中形成較為穩(wěn)定的、綜合的認知結(jié)構(gòu)。

1. 實驗的圖式內(nèi)化

學(xué)生在上一階段已經(jīng)可以進行數(shù)學(xué)表達，那么圖式的形成就水到渠成了。第一個操作活動學(xué)生知道圓的面積是圓半徑平方的3倍多，第二個操作活動學(xué)生從長方形的面積推導(dǎo)出圓的面積公式，體現(xiàn)了極限思想下的轉(zhuǎn)化。在已有圖式的基礎(chǔ)上，學(xué)生形成了新的圖式。

2. 圖式的遷移運用

圖式的形成只是第一步，還需要學(xué)生能夠靈活運用，教師可以通過習(xí)題的設(shè)計來達成遷移運用的目標。以下練習(xí)題，目的是讓學(xué)生體會面積之間的關(guān)系，再次感受極限思想下的轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

習(xí)題：把圓平均分成16份，拼成一個三角形，推導(dǎo)圓的面積公式。

值得一提的是，“APOS”理論下的深度實驗并不是一個線性過程，而是一個循環(huán)過程。在探究圓的面積時，通過活動、過程、對象、圖式，我們知道了圓的面積是半徑平方的3倍多，但要具體探究這個3倍多究竟是多少，就要在一個新的實驗中重新經(jīng)歷這四個階段，在反復(fù)循環(huán)中形成真正的圖式。

（作者單位：江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤實驗小學(xué)）

責任編輯：趙繼瑩