優化問題解決策略，提升邏輯推理素養

[摘? 要] 邏輯推理是學生發現問題，提出問題，多角度探索論證思路，促進理性思維走向理性精神的重要方式，也是學生構建數學知識體系，提升有邏輯、有條理思考和解決數學問題的必備能力. 文章以一道初中幾何問題的解答為例，探討了初中數學教學中培養學生邏輯推理素養的策略.

[關鍵詞] 問題解決;邏輯推理;初中幾何

邏輯推理貫穿整個初中數學教學過程，而提升邏輯推理能力對于提升學生的思維能力和思維品質具有重要的意義. 根據邏輯推理方式的不同，邏輯推理可分為合情推理和演繹推理兩種形式，其中前者的命題范圍是由小到大，其主要作用是發現結論，結果是或然的，而后者的命題范圍是由大到小，其主要作用是證明結論，結果是必然的. 初中的學生正處于從“形象思維”向“邏輯思維”轉變的關鍵階段，在初中階段提升學生的邏輯素養，其合情和演繹兩種邏輯推理形式都不可偏廢[1]，因此，下文以一道幾何問題的解答為例，深入探究邏輯推理素養如何在初中數學問題解決中生根落地.

例題呈現及題意分析

如圖1所示，圓外接于△ABC，其中AB=AC，若D為弧BC上的一動點，然后連接BD，CD，AD，試求BD，CD，AD之間的數量關系. 若要獲得具體的數量關系，還需要滿足或者添加什么條件？

在初中數學教學中，有關圖形與幾何領域的問題基本上都是圍繞基本圖形、圖形變化以及圖形的性質與判定來開展的，其解題過程本身就是一個蘊含合情推理和演繹推理的推理過程，在一定程度上可以認為是促進學生思維品質和推理能力的良好載體. 而上述所呈現的例題，對于初中學生而言，解答這類動點幾何問題是比較困難的，究其原因：一是點D是弧BC上的一動點，所求解的BD，CD，AD的長度是不斷變化的;二是BD，CD，AD三者之間的數量關系較為復雜，并且目標并不明確;三是這是一個綜合性開放問題，條件、結論以及解題策略都需要自己尋找.

解題策略及解法感悟

問題解決過程就是信息解構與知識建構的過程，在有關圖形與幾何領域的問題教學實踐中，教師應從具體問題情境中解析其已知條件、求證結論，即首先通過類比、歸納等合情推理方式探索論證解題思路，理解其中所蘊含的數學思想和數學方法，在此基礎上，再通過演繹推理驗證結果的合理性，不斷優化推理方法和邏輯推理思路[2].

1. 特殊情況

對于這種數量關系不明確的題目，教師應及時引導學生采取“猜想—驗證—證明”的方式，從一些特殊情況入手進行解答. 由于題目中的已知條件就是△ABC是等腰三角形，因此，不妨從這一條件入手，找到BD，CD，AD這三者之間的數量關系，再從變量和不變量角度出發，歸納總結出一般性的結論.

（1）△ABC是等邊三角形

當AB=AC=BC時，我們不妨選取D為弧BC的中點，如圖2所示.

因為∠ABD=∠ACD=90°，∠BAD=∠CAD=30°，所以AD=2BD=2CD，從而獲得AD=BD+CD. 又如，當D與B重合時，則AD=AB，BD+CD=BC，因為AB=BC，所以AD=BD+CD.

通過上述幾個特殊位置的求解，學生很容易通過合情推理的方式獲得BD，AD，CD之間的數量關系，即AD=BD+CD. 但上述結論是通過合情推理所獲得的，其結論本身就具有或然性，因此，還需要通過演繹推理的方式進行證明.

值得一提的是，由于證明三條線段之間的數量關系比較困難，教師可以引導學生通過旋轉或者截長補短的方式將其轉化為兩條線段之間的數量關系.

（2）△ABC是等腰直角三角形

如圖3所示，∠BAC=90°，我們不妨選取D為弧BC的中點，顯然此時四邊形ABDC就是正方形.

顯然，通過上述幾個特殊位置，學生很容易通過合情推理獲得BD，AD，CD之間的數量關系，即BD+CD=CD. 但上述結論是通過合情推理所獲得的，其結論本身就具有或然性，因此，還需要通過演繹推理的方式進行證明.

（3）△ABC是頂角為120°的等腰三角形

如圖4所示，∠BAC=120°，類比上述探究策略和方式，教師可以引導學生通過合情推理獲得BD，AD，CD之間的數量關系，即BD+CD=AD.

2. 一般情況

經過上述特殊情況的探究，學生已經認識到了BD，AD，CD之間的數量關系與△ABC的形狀有關，并且還將三條線段之間的關系轉化成了兩條線段之間的關系，即BD+CD與AD之間的關系. 此時，教師應及時引導學生通過如下轉化的方式將其轉化為一般情況.

如圖5所示，延長DB到點E，使得BE=DC，然后連接AE.

顯然，要獲得BD，CD，AD之間的關系，就是需要添加等腰三角形ABC中底邊長度與腰的長度之間的比值.

3. 問題拓展

學生通過觀察、猜想、驗證、證明等步驟發展了自己的推理能力，提高了自己發現問題、解決問題的能力，但上述邏輯推理過程是就題論題，在一定程度上還不利于學生的全面發展，因此，教師還應引導學生探究更為一般的拓展問題.

（1）動點D在等腰三角形ABC腰所對應的劣弧上

如圖6所示，已知D為弧AB上的一動點，AB=AC，試求BD，CD，AD之間的關系.

（2）動點D為等腰三角形ABC外接圓上的任何一點

由于點D的位置不確定，所以就需要學生分類討論，進而把問題轉化為上述原題和拓展類題目. 值得說明的是，由于分類討論的過程就是對問題共性的抽象過程，在此期間，學生多角度思考問題，其本身就是一種邏輯推理方式.

（3）從等腰三角形到特殊四邊形

上述所研究的問題都是三角形，那么將三角形替換為四邊形，則更有利于學生深度發展自己的邏輯推理能力.

如圖7所示，已知圓外接于正方形ABCD，若P為圓上的任何一點，然后連接正方形ABCD的任何三個頂點，則探究這三條線段之間的關系.

總之，邏輯推理素養是學生在數學學習過程中逐步形成和發展的，因此，當學生在遇到一些較為復雜的問題時，教師應及時引導學生從一些特殊情況著手，不斷獲取數學思維活動經驗，并以此問題為導向，通過變式問題的方式不斷促使學生發現問題和提出命題，多角度探索論證思路，努力促使學生由理性思維走向理性精神，進而不斷提高學生的邏輯推理素養[3].

參考文獻：

[1] 肖冬. 在核心素養培養的背景下再思初中數學教學中邏輯思維能力的培養[J]. 數學教學通訊，2021（32）：45+48.

[2] 徐曉華. 基于邏輯推理素養下的高中數學立體幾何教學策略探析——以“直線與平面垂直的判定”為例[J]. 數學教學通訊，2021（33）：43-44.

[3] 陳贇. 邏輯推理核心素養下初中數學教學策略與實踐——以“三角形穩定性”為例[J]. 數學教學通訊，2021（20）：16-17.

作者簡介：閔峰（1966—），本科學歷，中學高級教師，從事初中數學教學工作.