借力變式訓練，提升幾何解題技巧

徐黎明

[摘? 要] 幾何變式訓練是通過一題多練、一題多解的方法培養學生思維的靈活性，理解數學本質的有效方法. 教學中可以通過圖形變化、條件變化、結論變化等方式，拓展學生思維，有效提升學生的解題能力.

[關鍵詞] 變式訓練;解題技巧;思維訓練

習題練習可以檢驗學生對所學知識的掌握情況，推動教師的教學工作做出有效調整，能夠對學生的學習情況進行查漏補缺，可以有效提升學生的解題技巧，增強學生學習數學的信心. 然而在習題教學中很容易落入“就題講題”的俗套，掉進“題海”戰術，為了避免這種低效教學的模式，教師要發揮主觀能動性進行變式訓練. 從不同的角度、不同的層次水平、不同的背景，在不改變習題本質的情況下對習題進行改編，可以幫助學生理解數學思想，有效掌握解題技巧，拓展思維的廣泛性[1]. 如何進行快速高效地變式訓練，在減輕教師負擔的同時，又能提升教學效果，筆者進行了一些思考，總結出一些方法，與各位同行進行討論.

原題簡單變式

簡單變式是在原題的基礎上不改變原有的架構和內容，僅僅將結論和條件進行互換，或者只是簡單改變一個條件，又或者將結論作簡單改變的一種變式訓練. 這樣的變式訓練難度不大，旨在使學生能夠熟練運用所學知識，所以這樣的變式訓練主要適用于新課的練習.

案例1 如圖1所示，點D在線段AB上，點E在線段AC上，AB和AC相等，∠B和∠C相等，求證：AD和AE相等.

變式1：（1）如圖1所示，點D在線段AB上，點E在線段AC上，∠B和∠C相等，AD和AE相等，求證：AB和AC相等.

（2）如圖1所示，點D在線段AB上，點E在線段AC上，AB和AC相等，AD和AE相等，求證：∠B和∠C相等.

變式2：如圖1所示，點D在線段AB上，點E在線段AC上，AB和AC相等，∠B和∠C相等，求證：BD和CE相等.

變式3：如圖1所示，點D在線段AB上，點E在線段AC上，AB和AC相等，CD垂直于AB，BE垂直于AC，求證：BD和CE相等.

思路評析 變式1只是將條件和結論進行了簡單互換，所以在解題思路上既有聯系又有區別，共同點在于都需要通過三角形全等進行求證，但不同的是原題是通過角邊角進行判定，而變式則分別是通過角角邊和邊角邊進行判定.變式2和變式3雖然對結論和條件都進行了簡單的變化，但是解題思路沒有發生改變，仍然是通過三角形全等進行求解. 通過這樣的變式練習，學生對于三角形全等的求證方法得到了進一步的鞏固.

上述的變式訓練筆者的選材沒有脫離教材，但是又對教材進行了深入挖掘，讓學生在感悟試題條件、結論等發生變化的基礎上，對解題思路做出相應的改變，在變化中尋找不變，激發學生的學習興趣，促進學生積極思考，體驗獲得成果的喜悅.

幾何圖形變式

幾何證明題的變式練習離不開圖形變式訓練，通過對圖形的改變，形成一組圖形變式系列題，加大了題目的難度，需要學生綜合運用所學知識進行解決，因此這樣的變式練習適合單元復習使用. 圖形變式練習著重考查學生面對不同的條件，學會同類轉化，能采用相同的解題思路解決問題，提升學生的識圖能力，達到舉一反三、觸類旁通的效果.

案例2 已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一個動點（除B點和C點）. 以AD為邊作菱形ADEF，使∠DAF=60°，連接CF.

（1）如圖2所示，當點D在BC邊上時，求證：①∠ADB和∠AFC相等;②判斷∠AFC是否等于∠ACB與∠DAC的和.

（2）如圖3所示，當點D在BC邊的延長線上時，若其他條件不變，那么∠AFC是否等于∠ACB與∠DAC的和？你認為∠AFC，∠ACB，∠DAC之間存在怎樣的數量關系？請寫出你的證明過程.

（3）如圖4所示，當點D在CB邊的延長線上時，且點A，F分別在直線BC的兩側，其他條件不變，請將圖形補全，并且寫出∠AFC，∠ACB，∠DAC之間存在的數量關系.

思路評析 通過動點D的變化，形成了不同的圖形結構，隨之∠AFC，∠ACB，∠DAC之間存在的數量關系也發生變化. 但是學生透過現象抓住本質可以發現證明的思路都是通過三角形全等從而得到∠ADB和∠AFC相等，再利用三角形的內外角定理去尋找等量關系. 幾何證明題的圖形變化多端，圖形變式訓練對于學生的識圖能力有很大的提升作用，通過這種訓練，學生能在類似的圖形中找到共同點，從而進行類比找到相同的解題思路，實現了快速高效的解題目標.

證明過程變式

過程變式是一種綜合性的變式訓練，問題的本質未變，但是可能圖形、條件和結論都已經變了，這樣的變式題綜合性強、解題思路隱蔽，主要適用于綜合性的復習. 其作用是訓練學生能從復雜的變化中抽離出不變的本質，在知識點之間構建聯系，提高學生的思維能力和解題能力，鍛煉思維的靈活性.

案例3 如圖5所示，A是線段BC上任意一點，分別以AB，AC為邊在BC的同側作等邊三角形ABD，等邊三角形ACE，連接BE和DC.

求證：CD和BE相等，并且CD與BE的夾角為60°.

變式1：如圖6所示，△ABD，△ACE分別是以△ABC的邊AB，AC為邊作的等邊三角形，連接BE和DC相交于點P. 求證：DC和BE相等，并且∠DPB=60°.

變式2：如圖6所示，△ABD，△ACE分別是以△ABC的邊AB，AC為邊作的等邊三角形，連接BE和CD相交于點P，如果把△ACE繞點A旋轉. 求證：無論△ACE繞點A旋轉到任何位置，DC和BE都相等，并且∠DPB=60°.

變式3：如圖7所示，把等邊三角形ABD和等邊三角形ACE改為正方形ABEF和正方形ACMN，那么BN與CF的長度和夾角發生了什么變化？如果改為正五邊形、正六邊形……正n邊形呢？

思路評析 原題及變式1、變式2都通過等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，得到結論DC和BE相等，通過三角形全等和等邊三角形的內角為60°，利用等量轉換，得到CD與BE的夾角為60°. 變式3則是訓練學生類比方法的運用，在變式1、變式2的基礎上，利用等邊三角形的內角度數，類比思考其他正五邊形、正六邊形等.

教學反思

變式訓練是教學中有效提升解題技巧，鍛煉學生思維的一種方式，巧用變式訓練，可以跳脫出題目的束縛，從更高的角度進行知識的提煉和概括，為了提升變式訓練的效果，筆者認為可以從以下幾個方面進行思考：

1. 變式題型的選擇要有目標性

變式訓練是通過情境的變化，問題條件、結論的變化等，對學生學習情況進行的進一步的訓練和檢測，培養學生能夠識別不同的問題情境，透析數學問題的本質，學會使用恰當的解題方法，從而實現高效的訓練. 因此在選擇變式習題時，為了提高效率，習題的選擇需要有針對性，變式需要有典型性和目標性，避免大量的無效訓練，不要讓變式訓練變成另一種形式的“題海戰術”.

2. 選擇典型的變式題型

變式訓練是有針對性的訓練學生的思維靈活性和發散性，因此選擇的變式題型需要有典型性，能做到“抓住一例，涉及一片”. 教師在設計時要做好規劃，根據學生的實際情況選擇具有典型性的題型，使學生能夠學會解題方法，體會數學思想，高效地學習數學.

3. 注意有層次的進行變式題型的訓練

鼓勵學生積極參與學習活動是學生真正獲得學習體驗的方法，而激發學生積極學習的方法是在學習過程中使學生能夠體會到學習的成功. 因此在設計變式訓練時，要從學生的“最近發展區”出發，安排難度適宜的試題，既有一定的難度，又能使學生通過努力可以達到目標. 在一個班級當中，學生的學習能力有所差別，因此在進行題目設計時，需要進行有梯度的題型設計，由易到難，由簡單到復雜，隨著學生學習能力的提高，不斷提高題目的難度. 學生經過自己的努力，可以克服困難，收獲成就感，激發學習的內驅力[2].

4. 注重教學方式的多樣化

變式練習主要訓練學生能夠多角度地觀察、分析和解決問題，因此解題思路多樣，解答方式多樣. 幾何證明題的知識點較多，需要學生能夠綜合運用知識解決問題，能夠在知識之間建構聯系，因此很容易讓學生感覺到疲倦. 教師在教學中可以通過多樣的教學方式營造學習的氛圍，搭建學生參與的平臺，鼓勵學生自己實踐和表達，激發學習的熱情，減少學習的疲倦感，有效提升教學效果.

總之，變式訓練的目的是在探究問題的過程中滲透數學方法、傳達數學思想.教的目的在于不教，授之以魚不如授之以漁. 真正的教學不在全盤的灌輸知識，而在于引導學生參與學習，體驗活動，使學生在一次次的體驗中，鍛煉思維，增長智慧，拓寬視野，解題能力不斷提高，使數學思想得到升華.

參考文獻：

[1] 孫學東. 數學需要教“解題模型”嗎？[J]. 中學數學教學參考，2018（29）：6-9.

[2] 鞏子坤. 數學知識的特征與學習方式的有效選擇[J]. 中國教育學刊，2005（11）：55-58.