走進生活，培養符號意識，建構數學模型

[摘? 要] 古希臘人在遙遠的歐洲古典時代就提出，我們的世界是一個符合邏輯、簡單，且能用數學表達的世界. 確實，數學源于生活，符號能幫助我們用數學的方法表達生活. 文章以建構分式模型的教學為例，引導學生用數學的眼光看待生活問題，并從以下幾方面展開論述：引用實例，提出問題;深入探索，啟發思維;加強分析，提煉結論;拓展延伸，提升能力.

[關鍵詞] 生活;符號;模型

新課標提出：義務教育階段的數學教學應借助概念、公式、法則等的教學，盡可能地創設現實的生活情境，讓學生在理論聯系實際中，不斷培養符號意識，獲得用符號對現實生活問題進行抽象與表達的能力[1]. 發現問題、提出問題、分析問題與解決問題的過程就是從符號的抽象表達開始，進入運算、分析與推理的過程. 因此，教師應利用一切教學手段，帶領學生經歷這一完整的過程，為培養學生的符號意識奠定基礎，從而提高學生的建模能力. 下面以建構分式模型的教學為例，談一談如何讓學生用數學眼光看待生活問題.

引用實例，提出問題

數學源于生活，生活是數學的源泉. 初中階段的學生已有一定的生活經驗與認知水平，在教學中，教師適當地引入貼近學生生活實際的問題，常常能有效地激發學生的探究興趣，達到良好的教學效果. 這節課，筆者以學生熟知的糖水問題為例，引導學生感知生活中的數學知識，為提升建模能力奠定基礎.

問題1 如果我們在一個杯子里加一些水，再加一些糖，加不同量的水和糖會獲得不同濃度的糖水. 我們可以用怎樣的數學方法來表達獲得的糖水濃度呢？

此問學生并不陌生，很快就激起了學生的探究熱情. 學生經獨立思考與合作交流后，一致認為糖水濃度.

問題2 給一杯糖水中繼續加一些糖，此時糖水會發生怎樣的變化？請從數學的角度來描述.

教師點撥：①如何表示原來杯子中糖水的濃度？②加糖之后，此時該如何表達糖水的濃度？③我們俗稱的“變甜”，具有怎樣的意義？如何用數學的方式來表達？

（根據教師的點撥，學生獨立完成）

歸納：“問題2”需區分出原來的濃度與加糖后的濃度的表達方式，“變甜”的本質是濃度增加了.

設計意圖 糖水是學生熟悉的生活實際問題，從這個問題出發，學生能主動發現糖水濃度問題的本質就是糖的質量與糖水溶液質量之間的比值問題. 將這些量分別用字母表示，就能建構出用符號表達的基本模型——分式. 教學此過程的關鍵點是引導學生充分感知符號的抽象過程，獲得基本的表達方法，讓學生形成初步的符號意識.

問題3 對于分式（a>0，b>0），若分子、分母同時加一個正數，結論會發生怎樣的改變？

問題4 如何從數學的角度解釋在一杯糖水中繼續加水，糖水的甜味就變淡了？

（學生獨立思考，同桌之間交流）

設計意圖 從數學的角度分析一杯糖水的甜味變淡，要求學生在用符號表達生活問題的基礎上，嘗試應用符號進行合理的推理與運算，也就是將探索糖水濃度問題轉化為分子、分母發生改變后，分式值發生變化的問題. 問題3和問題4的提出，意在讓學生感知生活與數學之間的轉化往往需借助數學符號與數學運算.

深入探索，啟發思維

問題5 有兩杯不同濃度的糖水，現在將它們進行混合，混合后口感會發生怎樣的變化？請用數學方法來表達.

教師點撥：①怎樣分別表示兩杯不同濃度的糖水？②如何用式子表達混合后糖水的濃度？

（要求學生獨立思考后與同伴分享自己的想法）

歸納：對于此問，學生首先需要思考如何表達不同濃度的糖水，其次學會用數學表達式表達生活實際.

問題6 兩杯不同濃度的糖水混合后的濃度是兩杯糖水的平均濃度嗎？

教師點撥：①這個問題涉及三個濃度的數學表達方式. ②如何從數學的角度準確地表達問題的意思呢？③從特殊值的角度出發做一些嘗試，可獲得一些規律. ④怎樣解釋是否相等？

（學生在獨立思考的基礎上與同伴交流）

歸納：對于“問題6”，學生不僅要思考問題涉及的概念，還要解釋混合后的濃度是否與平均濃度相等.

設計意圖 通過之前的抽象過程，學生對用符號表示糖水濃度問題已經有了清晰的認識. 在此基礎上，教師以兩杯不同濃度的糖水問題啟發學生思考，引發學生探究，讓他們將分式的加減乘除運算參與到相應的推演中. 若推演后所獲得的結論具有相同的表達式，則兩杯糖水一樣甜，反之，則不一樣甜.

其實，符號應用與推演已經超越了對糖水問題研究的范疇，這是在以上問題的基礎上進行的深入探索，能讓學生的符號意識培養又上一個階層. 至于兩杯不同濃度的糖水混合后的濃度問題，這一問題對學生來說具有一定的挑戰，因此，教師可鼓勵學生應用一些特殊值進行假設、猜想，再通過推理、運算等過程驗證其猜想的科學性，讓學生充分感知運算符號的數學表達在學習過程中所蘊含的本質[2].

加強分析，提煉結論

問題7 將一大杯糖水倒入3個小杯，此時，大、小杯中糖水的濃度具備怎樣的特征？

教師點撥：①此時糖水的濃度會發生變化嗎？②從中你有什么發現？

（學生獨立思考后與同伴交流）

歸納：學生得到了一個很重要的結論，即分式的性質（等比性）.

問題8 將一大杯糖水倒入5個小杯，你能從中獲得怎樣的數學性質？

設計意圖 以初中生的生活經驗，他們不難理解將大杯的糖水倒入小杯，濃度并不會發生變化. 解決“問題8”的關鍵在于學生如何將這種生活經驗用數學符號表達. 此過程能有效地促進學生符號意識的形成與發展.

應用符號來表達“分式的分子、分母以相同的比例發生變化時，分式的值并沒有發生變化”，此過程自然而然地生成了分式等比性質的基本模型. 其實，我們所應用的很多數學性質、定理、法則等都是從生活經驗出發，通過符號運算的驗證來獲得的，因此，這種設計方式既符合中學生的認知規律，又能讓他們充分感知符號作為生活與數學表達媒介的價值與意義.

拓展延伸，提升能力

師：這節課我們一起探討了如何用數學方法來表達糖水濃度問題，這能促使我們用數學眼光觀察與描述生活現象. 其實，之前我們也有過這樣的嘗試，請大家閱讀下面的材料. 角度用來衡量角的大小，速度=用來衡量走路等的速度，電流強度用來衡量電流的大小，“遠”“近”用來判斷兩點間的距離……這些都是用數學方法來描述生活現象的例子.

問題9？搖 生活中常有一些圖形，它們不完全相同，但很像，我們可以從什么角度判斷它們的相似程度呢？如圖1所示，這是一個正三角形，圖2和圖3均為等腰三角形. 不難看出，圖2和圖3都與圖1相像，但圖2更像一些，這種情況應怎樣用數學方式來表達呢？

對于“問題9”，在教師的適當點撥下，學生結合這節課所學的內容進行自主分析，而后進行小組合作，總結結論與經驗.

設計意圖？搖此過程是對糖水問題的拓展，引導學生站到一個宏觀的角度應用數學符號，感知數學符號的一般性與概括性. 學生在將生活實際問題轉化成符號表達時，需要從其本質出發，靈活、全方位地去理解符號特有的意義與符號之間的聯系. 用數學符號表達生活內容的范圍十分廣泛，這需要我們平時多積累，勤思考，善表征，從而建構數學模型.

總之，世界本是一個符合邏輯、簡單，且能用數學表達的世界，符號的應用為我們更好地用數學表達世界提供了支持. 因此，在注重生活數學化的今天，教師更需要在教學中關注學生符號意識的培養，引導學生應用符號運算來解決實際問題，形成自主建模能力[3].

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 朱立明，馬云鵬. “數學符號意識”研究：內涵與維度[J]. 教育理論與實踐，2015，35（32）：6-8.

[3] 陳蓓. 從PME視角看數學建模素養及其培養[J]. 教育研究與評論（中學教育教學），2017（04）：5-10.

作者簡介：楊峻峰（1988—），研究生學歷，中小學一級教師，從事中學數學教育工作.