基于“三個理解”的冪函數教學設計

晏鴻 符強如

摘? ?要：理解數學、理解教學、理解學生是提升學生數學學科素養的必備條件.指向 “三個理解”的冪函數教學，以學生抽象概括、動手實踐、主題探究、參與梳理等方式，學習高中數學的基本函數-冪函數，梳理一般函數的內容、方法和路徑，讓學生在融入函數這一套“話語” 方式"的進程中，經歷函數圖象與性質的多種探究方式，體會數與形的緊密聯系，為后續研究其它函數打好基礎，更好地完善函數主線單元的方法體系、思想體系和知識體系.

關鍵字：冪函數;圖像性質;數形結合

章建躍博士指出“三個理解”是教師專業水平和育人能力的集中體現，理解數學、理解教學、理解學生是提高數學教學質量和效益的決定性因素，也是有效地提升學生數學學科核心素養的必備條件[ 1 ].“三個理解”對我們的教學具有指導性的意義，筆者基于“三個理解”對冪函數教學進行評價、反思.

1? 基于“三個理解”的“冪函數”的認識

1.1? 深度理解數學? 明確把握知識的來龍去脈

理解數學就是教給學生什么.在2019年人教A版高中數學教科書中冪函數位于必修第一冊第三章第三節，是本章“函數的概念及其表示”和“函數的基本性質”的延續、拓展和應用，也是后面研究“指數函數與對數函數”的模板示范，在高中函數內容的學習中具有承前啟后的功能.冪函數是一類重要的基本初等函數，實際生產生活及科學研究中涉及的很多函數都是由冪函數及其他基本初等函數進行運算、復合得到的. 從這個角度來說，冪函數的學習是在此基礎上的自然延伸.另一個角度來說，一方面，在學生系統學習了一般函數的概念、表示法和基本性質之后，冪函數作為一類最基本的函數，承載著從一般到特殊應用所學知識來研究和表達具體函數的功能;另一方面，冪函數作為高中階段學生研究的第一類具體函數，以冪函數作為載體，讓學生體會用函數圖像和代數運算的方法研究函數是研究函數性質的重要方法;研究一類函數的內容：定義域、值域、單調性、奇偶性等;研究函數的基本思路：定義-表示-圖像與性質-應用[ 2 ]. 對后續學習其他函數起著一定的示范性作用.

1.2? 充分理解學生? 問學生所想 解學生所難

理解學生就是以學生的認知基礎、認知規律提出問題.本節課的授課對象是烏魯木齊市一批次高中的學生，在初中一次函數、反比例函數和二次函數的學習中，學生已經掌握了三個最典型的冪函數y=x，y=x2，y=x-1，這個是教學的立足點，已經熟悉研究具體函數的圖像、單調性、奇偶性等基本性質的方法，具備一定的抽象推理和運算能力.具備初步理解數形結合思想、數形轉化方法的重要作用，但是局限于僅從代數運算或圖像直觀一方面來研究函數，然這些都為本節課提供了充分的基礎知識和思想方法準備.

通過學生動手做題，讓學生感受冪的指數對函數圖像的影響，發現第一象限的分布規律及奇偶性間的關系，從而推廣到其他冪函數，這個是新知的生長點.然而對于研究一類函數的思路過程尚未形成框架和系統，要達成本節課的目標，這些已有的知識、能力和經驗基礎不可或缺，但由于研究目標不明確，抽象出冪函數概念的素養不夠，所以還需要具備觀察、概括、抽象、推理等能力，能運用數形結合、類比歸納等數學思想，以及獨立思考、合作交流、反思質疑等良好的數學學習習慣.

1.3? 深刻理解教學? 在問題引導中滲透思想方法

理解教學就是要把握教學的基本規律，按教學規律辦事兒[ 1 ].學生在初中階段學習過一次函數、反比例函數和二次函數，對于函數的研究積累了一定的經驗，但缺乏方法的梳理和總結. 本節課先引導學生對經驗進行梳理，總結出函數的研究內容、方法和路徑，為本節課的研究提供了方向，為后續指數對數三角函數的研究提供了路徑.初中階段，學生基本都是通過列表、描點作出函數的大致圖象，再根據圖象直觀感知函數的性質. 經過前面的學習，學生掌握了用符號語言刻畫判斷函數單調性和奇偶性的方法，也就是說可以直接通過代數運算分析函數的單調性和奇偶性，這使得函數圖象與性質的探究方式有了更多的可能.本節課中，教師引導體驗y=x探究過程中感受數與形的相互轉化.

2? 教學過程及分析

2.1? 情境建模，引入新課

開場白 同學們，前面課程我們學習了函數的概念、表示，以及用概念和對圖像觀察研究了函數的一些性質，接下來我們研究一類新的函數.研究函數一般路徑：概念-表示-性質-應用.

情境? 2020 年的春天注定難忘，新冠肺炎疫情打破了春節的寧靜.艱難時刻，鐘南山院士、無數醫務人員、全國各地黨員干部、普通群眾紛紛走到前線，主動請戰;各地防疫物資第一時間運輸到武漢并且僅用十幾天時間相繼建成火神山、雷神山和十幾座方艙醫院，安置數以萬計的病人住院，創造了一個又一個奇跡.假設我們是武漢抗疫保障團隊，要準備抗疫場地、設施、物資等，在準備中有如下問題需要同學們思考：

（1）如果某志愿者參加口罩的生產，每分鐘可以生產一只口罩，那么他生產的口罩數p （ 只） 和時間w（ 分鐘） 之間有何關系？這里p是w的函數嗎？

（2）如果新建的方艙醫院占地為正方形，且邊長為a，那么方艙醫院的占地面積S是多少？這里S是a的函數嗎？

（3）如果新建隔離室為正方體且棱長為b，那么該隔離室的體積V是多少？這里V是b的函數嗎？

（4）如果方艙醫院正方形場地的面積為S，那么正方形的邊長c是多少？這里c是S的函數嗎？

（5）如果防疫物資運送車輛t秒內行進 1 km，那么車輛的平均速度v是多少？這里v是t的函數嗎？

師生活動：其中，對于（5）中可以用v=t-1.對于（4）中c=也可以記作c=S;必要時可做這樣解釋=x，等式右邊x的次數和左邊x的系數都是1次，由于左邊是兩個相同的式相乘，那么這兩個數的次數一定是相同的，即都為次，即=x.

設計分析 函數是用來描述客觀世界中變量關系和規律的. 從這一系列實際問題中，學生可以感受到數學源于生活，大千世界中許多變量關系可以用冪函數表示，讓學生體會到研究冪函數的必要性.初高中階段學習的幾種函數都有著具體的實際背景. 冪函數是高中階段學習的第一類具體函數，從實際背景中抽象出冪函數的概念，對高中階段指對三角函數的研究具有示范作用.

問題1：觀察這些函數在解析式，他們的結構上有什么共同特征？

追問1：5個函數解析式是否可以變換成以x為自變量，y為因變量的形式？

師生活動：一起得到y=x、y=x2、y=x-1、y=x、y=x-1.老師可強調函數本質是兩個數集之間的單值對應，并非字母.學生通過觀察，發現一下特征：（1）底數在變，指數不變.（2）系數為1，形式都一樣，都是冪的形式，（xa的運算結果叫做冪，必要時可以補充數學史上很早就借用“冪”字，起先用于表示面積，后來擴充為表示平方或立方，清末大數學家李善蘭把“Power”這個詞譯為“冪”.這樣“冪”就轉譯為若干個相同數之積.（3）這些函數的函數值都是自變量的若干次方.

追問2：強調這幾個函數是研究冪xa隨底數x的變化而變化的規律，引入冪函數的定義： 一般地，y=xa函數叫做冪函數，其中x是自變量，a是常數.

設計分析? 先體會函數的本質是兩個數集之間的單值對應，而不同的符號或形式表示是非本質的.從實際背景中抽象出數學模型是一個較難的思維過程，需要教師耐心引導.學生經歷并體會這個從眾多事物中抽取出共同的、本質性的特征，舍棄非本質性特征的抽象過程，對發展數學抽象素養有很大幫助.

2.2? 問題驅動? 合作探究

2.2.1 梳理研究內容，明確研究路徑

問題 2：結合初中學習函數的經驗，我們應該如何研究冪函數？

師生活動：教師引導學生回憶初中研究一次函數、二次函數和反比例函數的內容、過程和方法.學生總結經驗，歸納出研究具體函數的基本路徑：定義—圖象—性質—應用.

設計分析? 學生初中階段學習過一次函數、二次函數和反比例函數，初步積累了研究函數的基本活動經驗.調動學生回憶初中研究函數的內容、過程和方法，通過對這些基本活動經驗的明確冪函數的研究路徑：定義—圖象—性質—應用，給后續課程中其他函數的研究做出示范.

追問1：如何作出冪函數y=xa的圖象？

師生活動：發現冪函數y=xa是一類函數，指數a的取值不同，函數就不同，圖象也是不一樣的. 教師引導學生回憶初中探究正比例函數、一次函數、二次函數、反比例函數的圖象和性質時對參數的處理方式. 學生根據初中研究函數的經驗想到從特殊到一般.對a取一些特殊值進行研究，考查圖象是否存在規律性. 從a為正整數中選取較簡單的，即y=x、y=x2、y=x3.從a為負整數中選取較簡單的y=x，從分數中選取較簡單的，即y=x進行研究.對于其他冪函數的圖象，讓學生課后自行探究.

設計分析? 引導學生以初中研究函數的基礎， 找到處理冪函數中參數的方法，確定從特殊到一般的研究思路.

追問2：作出具體函數圖象后可以研究哪些內容？

師生活動：學生回憶本章所學內容，提出值域、單調性、奇偶性等，教師板書列表呈現研究內容，如表1所示.

設計分析? 梳理一個具體函數的研究內容并用表格呈現出來，也為學生建立研究具體函數的一般思路和構建基本框架.

2.2.2 探究五個冪函數的圖象與性質[ 3 ]

問題3：將函數y=x、y=x2、y=x-1的圖象和性質填入表格相應位置.如表2.

問題4：如何得到函數y=x3的圖象？如何探究函數y=x的圖象和性質？

追問1：函數y=x圖像性質能不能從前面所學通過代數運算先得到函數y=x的一些性質？

學生發現函數y=x的定義域不關于原點對稱，從而判斷出函數y=x為非奇非偶函數.

追問2：那么單調性是否也可以直接判斷呢？用定義判斷函數單調性的步驟是什么？

學生回憶前面所學知識，回答出“任取—作差—變形—斷號—結論”的步驟.進而師生依照步驟判斷函數y=x的單調性.其中，“變形”這一步對學生而言是個難點，學生很難獨立想到“分子有理化”這方法，需要教師介紹.師生共同完成對函數單調性判斷.即函數的定義域是[0，+∞），?x1，x2∈[0，+∞），且x10，所以f （x1）< f （x2），即冪函數f （x）=在[0，+∞）上是增函數.

追問3：根據函數的定義域、奇偶性和單調性，你能否畫出它的示意圖？完成表格3.

設計分析? 初中階段，學生大多數情況下只能通過圖象來直觀感知函數的性質. 高中學習用精確的符號語言定義了函數的單調性和奇偶性，學生可以直接通過函數的解析式分析函數的性質.也可以根據函數的性質分析圖象的特征，從而豐富了得到函數圖象的方法. 對函數y=x的圖象與性質的教學設計，讓學生感受多種探究方式的特點，為今后更加靈活、高效地 研究具體函數做準備.

2.2.3 探究冪函數y=xa的性質[ 3 ]

問題 5：通過對這五個函數的分析，我們發現他們的圖象和性質有著各自的特點，那么它們作為一類函數，有沒有什么共性呢？我們將這五個函數的圖象放到同一坐標系中觀察一下，有什么發現嗎？

師生活動：教師通過信息技術展示五個冪函數在同一坐標系下的圖象.學生觀察圖象發現它們存在公共點，師生從數的角度說明這個點是所有冪函數的必過點.學生還可能發現這五個函數圖象都經過第一象限，都不經過第四象限. 教師可以引導學生從函數的奇偶性、單調性、漸近性等角度對這幾個函數的性質進行梳理. 學生通過前面總結的表格容易猜想奇偶性方面：“a”為奇數的冪函數是奇函數，“a”為偶數的冪函數為偶函數”，證明留給學生課下完成.? 對于單調性方面：冪函數在（0，+∞）上的單調性，“a>0”冪函數在（0，+∞）上的單調遞增;“a<0”冪函數在（0，+∞）上的單調遞減.建議學生課后作出更多冪函數的圖象來進一步驗證猜想必要時加以計息技術論證.

設計分析? 冪函數作為一類函數，是否存在共性和規律呢？這是由特殊到一般的探究思路. 學生通過研究五個特殊冪函數的圖象和性質，容易對一般冪函數的性質進行猜想. 在這個過程中，學生從形到數，經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決部分問題的過程，體會數與形的聯系.

3? 冪函數的應用

問題6：利用冪函數的性質，比較下列各題中兩個值的大小.

（1）（-1.5），（-1.4）;（2），;

4? 課堂小結

問題7：通過今天的學習，你認為對一個新函數應該研究哪些內容？如何研究？

引導學生用簡短語言歸納冪函數內容：定義域，根式求;一象限，圖都有;

二和三，看奇偶;四象限，都沒有;正遞增，負遞減;都過 1，正過 0;奇偶性，看指數;指奇奇，指偶偶。

師生共同歸納出研究具體函數性質的方法：函數圖像.研究函數步驟：定義-表示-性質-圖像-性質-應用

設計分析? 總結冪函數學習內容，學生回顧研究函數的過程、內容和方法，強化基本活動經驗. 用精確的符號語言定義函數的性質后，體會函數圖象與性質的研究方法，感受數與形的聯系更加密切，數與形的轉化更加靈活.

參考文獻：

[1] 章建躍.理解數學是較好數學的前提.[J] 數學通報，2015 54（1）：61-63.

[2] 章建躍.第三章“函數的概念與性質”教材介紹與教學建議.[J] 中學數學教學參考，2019（28）：17-24.

[3] 王琦，雷曉莉 .冪函數教學設計.[J] 中國數學教育，2020（12）：14-16.