依托課型研究 提升課堂效率

陳鈺輝

摘? ?要：以一節探究“二次函數的圖像和性質”的課為例，具體展現了運用規律探究課型理論，優化教學設計，結構化教學過程，高效達成獨特育人價值的過程，闡釋了日常教學中結構化課型對提升課堂效率的重要意義，表明了以課型結構化為主要特征的課型研究是實現課堂提質增效、課后減輕課業負擔的一種有力抓手和有效途徑.

關鍵詞： 課堂教學;課型研究;結構化;課堂效率

初中數學中有很多規律探究的教學，比如“數與代數”中數與式的運算規律，兩個變量的變化規律（函數）等，“圖形與幾何”中圖形的性質、運動與變化規律探究等. 華東師范大學“新基礎教育”項目在長期的研究中形成了規律探究課型的基本理論，筆者在其理念指導下，在日常教學中加以研磨和實踐，有效提升了課堂效率，減輕了課業負擔.

1? 規律探究課型理論簡述

規律探究教學的過程主要由以下幾個環節組成，一是引入環節，確定對象提出問題;二是發現環節，尋找依據合理猜想;三是驗證或證明環節，實驗驗證、分類枚舉、推理證明等方法驗證或證明猜想;四是獲得環節，用文字語言和符號語言歸納概括結論，以及運用結論解決問題.根據第三個環節驗證或證明猜想的方法不同，分為實驗研究、枚舉研究和推理研究三種基本課型[ 1 ].

2? 課型理論應用及其結論

本文以人教版九年級上冊教材“22.1.3二次函數y=ax2+k 的圖像與性質”為例，著重介紹筆者運用課型理論，挖掘教學內容，優化教學設計，在結構關聯、互動生成的課堂教學中推進深度學習，實現獨特育人價值的過程.

2.1? 教材分析

本單元研究二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質，根據知識內在邏輯關系和循序漸進的教學原則，在本單元的起始課，已明確了將從特殊到一般、簡單到復雜的順序，依次研究二次函數y=ax2， y=ax2+c，y=ax2+bx+c的圖像和性質.本節課在上一節課“y=ax2的圖像和性質”學習的基礎上，研究y=ax2+k的圖像與性質，采用“教結構、用結構”的教學策略展開教學.在教結構階段，以“提出問題—類比猜想--枚舉驗證--歸納應用結論”的探究結構師生共同完成拋物線y=ax2+k的開口方向、對稱軸、頂點和增減性等性質的學習;在 “用結構”階段，主要由學生自主探究函數平移的性質.

2.2? 教學過程 “教結構”階段

2.2.1? 確定對象，提出問題

本環節的目的在于讓同學們明確研究對象是二次函數y=ax2+k的圖像和性質.

問題1? 回顧如何學習二次函數y=ax2的圖像與性質，思考研究函數的一般路徑？

設計意圖：幫助學生整理回顧拋物線的開口方向、對稱軸、頂點、最值、增減性等方面的性質，以及從特殊的a=1，-1函數圖像與性質到抽象概括出一般的y=ax2（a≠0）圖像與性質的學習過程，作好對y=ax2+k圖像與性質的研究準備工作.

問題2? 本節課將如何對二次函數y=ax2+k的圖像和性質進行研究呢？

設計意圖：明確本節課是基于類比上一節課的學習研究思路，研究二次函數y=ax2+k的圖像和性質.

2.2.2? 尋找依據，合理猜想

問題3? 請在同一個坐標系中用描點法畫出y=2x2+1 ，y=2x2-1圖像，并根據圖像，分析該拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標？

設計意圖：經歷用描點法畫函數二次函數y=ax2+k圖像，直觀感知研究函數性質的過程.培養學生作圖的規范操作習慣.

自變量x從-2到2每隔0.5個單位取一個值，描出9個點，畫出圖像，如圖1所示.

問題4? 猜想二次函數y=ax2+k的圖像和性質，說說你的理由.

設計意圖：以具體的函數2x2+1，y=2x2-1的圖像與性質為基礎，類比函數y=ax2，學習歸納出一般的二次函數y=ax2+k的圖像和性質，以此，滲透分類討論思想，培養學生合情推理和抽象概括能力.

2.2.3? 枚舉驗證，推理證明

問題5你能否舉例驗證猜想y=ax2+k的性質？

設計意圖：在同一個坐標系中作出y=-x2，y=-x2+2，y=-x2-2的圖像，并借此說出函數y=ax2+k的性質.提升學生作圖操作技能和合情推理能力.

自變量x從-4到4每隔1個單位取一個值，描出9個點，畫出函數圖像，如圖2所示.

問題6? 基礎練習

（1）在拋物線y=x2-2上的頂點是什么？

（2）對于二次函數y=-x2+3，請說說函數的開口方向、對稱軸、頂點、和增減性.

（3）已知拋物線y=4x2+2上有兩點A（x，y），B（x，y），且x+x=0，則y與y的大小關系如何？

（4）二次函數y=2x2+1 具有增減性，你能用符號語言加以表示嗎？

設計意圖：前兩題是簡單的鞏固性練習，后兩題旨在用符號語言表述函數的對稱性和增減性，發展學生的符號意識和數學表達能力.

問題7? 用符號語言表述了函數y=2x2+1的增減性，嘗試加以證明.

明確問題：已知點A（x，y），B（x，y）在函數y=2x2+1圖像上，且0

證明：y-y=（2x+1）-（2x+1）

=2（x-x）=2（x+ x）（x-x）

∵00， x-x>0

∴（x+ x）（x-x）>0， 即y- y>0

∴ y

設計意圖：根據規律探究課型的基本結構，嘗試對猜想進行證明，經過推理證明，以此加深理解，發展探究和推理能力.對二次函數增減性的證明雖然是較高要求，有了學習研究y=ax2（a≠0）圖像與性質的基礎，不妨試一試，提出“能不能對猜想進行證明”這樣的問題.同時數學符號語言表達是一個難點，要讓學生充分經歷從文字語言到數學符號語言的抽象過程，發展學生的抽象能力.

至此，再輔以幾道鞏固練習，第一階段的教學任務完成.

2.3? 教學過程“用結構”階段

這個階段是“用結構”的教學階段，指導學生運用前面“教結構”階段的規律探究的方法，自主探究二次函數y=ax2+k圖像平移的性質，教師根據推進情況，作適時的點撥.

2.3.1? 明確對象，提出問題

問題8? 在學習理解拋物線y=ax2的二次項系數a反映了拋物線開口大小和方向的基礎上，深入領會y=ax2+k中二次項系數a和常數項k反映了拋物線那個方面的性質？k取值不同的拋物線之間有什么關系？

設計意圖：引導學生運用規律探究的基本方法，設計探究程序，自主展開研究.明確 “提出問題—形成猜想--驗證證明--歸納結論” 探究的基本過程.

2.3.2? 尋找依據，合理猜想

適時引導學生利用已有的資源，觀察y=2x2+1，y=2x2-1和y=2x2 的圖像，以及y=-x2，y=-x2+2，y=-x2-2，的圖像之間的關系，提出猜想.

設計意圖：從特殊的函數圖像出發，通過直觀感知，發現拋物線之間的平移關系.

2.3.3? 計算驗證，推理證明

在課堂上，除了通過觀察圖像直觀感知拋物線平移的關系外，通過幾何畫板動態演示驗證.也可以通過觀察表格的數據，從數量角度反映了兩個拋物線上下平移的關系，即當自變量取值相同時，函數值的差相等.利用畫圖像時列出的表格，驗證了前面的第一組函數，如表格1所示.

也驗證了前面的第二組函數，如表格2所示.

接下來，順勢提出，能否證明一般拋物線的平移關系呢？

明確問題：求證拋物線y1=ax2+k1 可以由拋物線y2=ax2+k2 （k1> k2）上下平移得到.

證明：設（x， y1）為拋物線y1=ax2+k1上任意一點，點（x， y2）在拋物線y2=ax2+k2上.則：y1- y2= （ax2+k1）-（ax2+k2）= k1-k2（常數），所以，拋物線y1=ax2+k1可以由拋物線y2=ax2+k2 向上平移k1- k2個單位得到.

追問：還有什么性質是可以繼續探究的呢？可提煉出兩個問題，供大家課后思考解決.

（1）請嘗試證明拋物線y=2x2+1關于y軸對稱.

（2）請嘗試證明拋物線y=ax2+k的增減性.

經歷了規律探究全過程，激發學生問題探究的積極性主動性，促進學生提出問題能力和符號語言表達的能力得到了有效的提升.

通過“教結構、用結構”的教學過程，促進學生深度學習，提升數學思維品質，有效地減輕了課業負擔.

3? 規律探究課型的教學效果與啟示

通過規律探究的教學，讓學生經歷從問題出發，通過測量、計算、觀察、合情推理等多種路徑形成猜想，運用分類枚舉、實驗論證、推理論證等方法獲得結論，進而增強學生用數學語言表達和運用的體驗過程.供此，幫助學生了解和掌握函數學習與研究規律探究的方法結構，提升合理猜想的意識和能力，分類枚舉、實驗論證、推理論證等探究方法，提升動手實踐、抽象概括、邏輯思維和創造性思維水平，以及數學語言的表達能力和水平.

在實際教學中，教師若能長程整體規劃教學內容，依托以結構化為特征的課型研究，結構化推進教學過程，便可以有力地激發同學們學習的主動性積極性，深入學習，提高課堂效率，從而有效減輕課業負擔.

參考文獻：

[1] 吳亞萍.中小學數學教學課型研究[M].福州：福建教育出版社，2014.10（2015.5重印）：316-320.