幾個(gè)重要定積分等式的推廣及應(yīng)用

【摘 要】定積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，計(jì)算問(wèn)題往往靈活多變，需要學(xué)生掌握一定的方法和技巧，因此一些重要結(jié)論在定積分計(jì)算中至關(guān)重要。文章結(jié)合教學(xué)實(shí)際，給出了四個(gè)重要結(jié)論的證明及應(yīng)用實(shí)例。

【關(guān)鍵詞】定積分;等式;證明

【中圖分類(lèi)號(hào)】O13;G642? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2022）24-0009-04

定積分是微積分的重要組成部分，它的計(jì)算也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)中較為重要的內(nèi)容，基本計(jì)算方法有直接積分法、換元法和分部積分法。但有些題目往往難度較大，只掌握基本方法還不夠，還需要掌握一些重要結(jié)論，這些重要結(jié)論在解決某類(lèi)積分問(wèn)題時(shí)有著不容小覷的作用。

1? ?重要等式及證明

結(jié)論1：設(shè)函數(shù)f （x）在[-a，a]上連續(xù)，則。特別地，若f （x）為偶函數(shù)，則;若f （x）為奇函數(shù)，則。

進(jìn)一步，若f （x）為偶函數(shù)，則;若f （x）為奇函數(shù)，則。

結(jié)論1是關(guān)于對(duì)稱(chēng)區(qū)間的定積分的重要結(jié)論，這個(gè)結(jié)論幾乎在所有高等數(shù)學(xué)教材中都有介紹，所以很多學(xué)生并不陌生，基本上都能熟練掌握這個(gè)結(jié)論的應(yīng)用[1]。利用結(jié)論1的證明思路及方法，將結(jié)論進(jìn)一步推廣就可以得到如下結(jié)論。

結(jié)論2：設(shè)函數(shù)f （x），g （x）在[-a，a]上連續(xù)，f （x）滿(mǎn)足f （x）+f （-x）=A且g （x）為偶函數(shù)，則。

證明：先利用定積分區(qū)間可加性將積分拆成兩個(gè)積分。

對(duì)稱(chēng)區(qū)間的定積分是一類(lèi)特殊積分，其特點(diǎn)就是定積分的積分區(qū)間形式必須為對(duì)稱(chēng)區(qū)間，然而平時(shí)研究的很多定積分并不具備這樣的特殊性，那有沒(méi)有相應(yīng)結(jié)論可用呢？如果將結(jié)論1的對(duì)稱(chēng)思想進(jìn)一步推廣，利用區(qū)間對(duì)稱(chēng)中點(diǎn)進(jìn)行推導(dǎo)，便可以得出如下的任意積分區(qū)間的重要積分公式。

在上述證明過(guò)程中，若對(duì)第一個(gè)積分進(jìn)行換元，則很容易能證明（2）式，進(jìn)而可以推出

以上各結(jié)論均是利用換元法進(jìn)行推導(dǎo)證明的，采用同樣的思想方法，可以得出下面關(guān)于三角函數(shù)的定積分重要結(jié)論[3]。

2? ?等式的應(yīng)用舉例

詳細(xì)證明以上四個(gè)關(guān)于定積分的重要結(jié)論后，接下來(lái)就探究一下這四個(gè)結(jié)論在計(jì)算定積分問(wèn)題時(shí)是如何將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的。

解：此題可采用結(jié)論2進(jìn)行求解，關(guān)鍵需要確定兩個(gè)函數(shù)的形式，故令f （x）=arctanex，g （x）=，，顯然函數(shù)g （x）為偶函數(shù)，同時(shí)可以證明y=f （x）+f （-x）=arctanex+arctane-x=。

一般情況下，需要注意的是，在使用結(jié)論3計(jì)算定積分問(wèn)題時(shí)，當(dāng)被積函數(shù)f （x）轉(zhuǎn)為f （x）+f （a+b-x）時(shí)，后者的對(duì)應(yīng)積分要容易計(jì)算才可行。

綜上，本文給出了定積分中四個(gè)重要結(jié)論及應(yīng)用實(shí)例，通過(guò)實(shí)例分析，可以發(fā)現(xiàn)這些結(jié)論使得某些類(lèi)型的定積分的求解變得更加容易，達(dá)到了將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的目的，大大提高了解題效率。在學(xué)習(xí)微積分時(shí)，要善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)，知識(shí)的積累往往都是循序漸進(jìn)的，溫故而知新是應(yīng)有的學(xué)習(xí)態(tài)度[6]。尤其是在數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科中，解決同一問(wèn)題的方法可能很多，然而在諸多的方法中還是存在一些“捷徑”，但這些“捷徑”往往是在實(shí)際解題過(guò)程中偶然發(fā)現(xiàn)的，這就需要及時(shí)地記錄與總結(jié)，這樣在遇到類(lèi)似問(wèn)題時(shí)，思路才會(huì)多樣化，進(jìn)而輕松地解決問(wèn)題。

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Generalization and Application of Several Important Definite Integral Equations*

Qingjuan Li

（Public Teaching Department of Dalian University of Finance and Economics， Dalian， Liaoning， 116622）

Abstract：The calculation of the definite integral is the key content in the higher mathematics teaching. Calculation problems are often flexible， which requires students to master certain methods and skills. Therefore， some important conclusions are very important in the calculation of the definite integral. Combined with the teaching practice， this paper gives the proof and application examples of four important conclusions.

Keywords：definite integral; equation; proof

【作者簡(jiǎn)介】

李慶娟（1980～），女，漢族，吉林榆樹(shù)人，碩士，教授。研究方向：大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。

*基金項(xiàng)目：本文系遼寧省普通高等教育本科教學(xué)改革研究項(xiàng)目（遼教辦（2021）254號(hào)）：應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下數(shù)學(xué)課程教考分離的研究。