論中考數(shù)學(xué)中一類典型的直線型軌跡問題

李寶娜　趙繼仙

【摘 要】動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考數(shù)學(xué)經(jīng)常考查的重要知識(shí)點(diǎn)。文章以簡(jiǎn)單的直線型動(dòng)點(diǎn)軌跡為例，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，總結(jié)出此類問題的特征，并給出此類問題的一般解題思路，最后以中考真題進(jìn)行模擬演練，以幫助學(xué)生熟練掌握找動(dòng)點(diǎn)軌跡的思路和方法。

【關(guān)鍵詞】中考數(shù)學(xué);直線型軌跡問題;動(dòng)點(diǎn)軌跡

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2022）24-0090-03

“種瓜得瓜，種豆得豆”經(jīng)常用來(lái)形容種了什么因，就得到什么果。生活中有大量這樣的例子，如經(jīng)常鍛煉的人會(huì)有好的身體、勤勞的人生活水平會(huì)提升。數(shù)學(xué)中也有這樣的例子，如圖1，直線l上任一點(diǎn)A與直線外一定點(diǎn)O相連，取OA中點(diǎn)B，當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)A在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的軌跡也是一條直線。這其實(shí)就是“種瓜得瓜，種豆得豆”的一種表現(xiàn)，因此可以稱之為“瓜豆原理”，常用來(lái)找從動(dòng)點(diǎn)的軌跡[1]。

本文圍繞中考數(shù)學(xué)一類典型的直線型軌跡問題，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐漸增加要素，引導(dǎo)學(xué)生探索動(dòng)態(tài)變化過程中的變與不變，進(jìn)而得出“直線型瓜豆原理”的一般結(jié)論。

1? ?解題思路探究

1.1? 基礎(chǔ)認(rèn)知

解題前要明確一個(gè)事實(shí)：動(dòng)點(diǎn)與某定點(diǎn)的連線和定直線的夾角固定不變時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線。

1.2? “瓜豆原理”解題思路探索

本文例子的分析重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此問題進(jìn)行一般性探索，首先掌握探索的方法，其次才是結(jié)論的總結(jié)。

例1：如圖2，O為定點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB（圖中為線段，便于探索軌跡長(zhǎng)度）上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，點(diǎn)Q是OP上一點(diǎn);當(dāng)Q滿足為OP中點(diǎn)時(shí)，隨著點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？

分析：主動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致從動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)，應(yīng)采用從特殊位置開始分析，再聯(lián)系一般位置的方法進(jìn)行探索。

第一步，找出主動(dòng)點(diǎn)P的初始位置，畫出初始圖形，如圖3，圖中P0、Q0、OP0均固定。第二步，利用初始位置和任意位置，借助中位線（相似模型），證明動(dòng)點(diǎn)位置軌跡關(guān)系。連接Q0Q，如圖3利用中位線得到Q0Q∥AB，依據(jù)Q0定點(diǎn)、AB定線，可以得出Q0Q位置固定（實(shí)際是過定點(diǎn)Q0，且與定線OQ0成固定夾角）。第三步，利用初始位置和終止位置，得到動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度關(guān)系式。如圖4，圖中P1、Q1、OP1均固定，利用中位線得到Q0Q1∥AB且Q0Q1=AB。動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為直線（上一部分），且Q的軌跡長(zhǎng)度是P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度的一半。

由于中點(diǎn)具有特殊性，為不失一般性，因此在OP上任取一點(diǎn)進(jìn)行下一步的分析。

例2：如圖5，O為定點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB（圖中為線段，便于探索軌跡長(zhǎng)度）上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，點(diǎn)Q是OP上一點(diǎn);當(dāng)Q滿足OQ=OP時(shí)，隨著點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？

仿照例1的思路，完全類比操作。

第一步，找出主動(dòng)點(diǎn)P的初始位置，畫出初始圖形。如圖6，圖中P0、Q0、OP0均固定。第二步，利用初始位置和任意位置，借助相似模型，證明動(dòng)點(diǎn)位置軌跡關(guān)系。連接Q0Q，如圖6，利用，∠P0OP=∠Q0OQ，得到 ΔP0OP∽ ΔQ0OQ，則∠OAB=∠OQ0Q，依據(jù)Q0定點(diǎn)、可以得出Q0Q位置固定（實(shí)際是過定點(diǎn)Q0，且與定線OQ0成固定夾角）。第三步，利用初始位置和終止位置，得到動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度關(guān)系式。如圖7，圖中P1、Q1、OP1均固定，利用 ΔP0OP1∽ ΔQ0OQ1得到Q0Q1∥AB且Q0Q1=AB。動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為直線（上一部分），且Q的軌跡長(zhǎng)度是P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度的。

例1和例2中，都有位似的影子，并且可以看到整個(gè)探索過程大致分為三步：第一步，找起點(diǎn)，畫出初始圖形;第二步，利用初始圖形與任意中間位置組成相似模型，得出軌跡位置;第三步，找終止位置，利用初始位置和終止位置，求出軌跡長(zhǎng)度。

下面進(jìn)一步加入變化的因素，繼續(xù)探索。

例3：如圖8，O為定點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB（圖中為線段，便于探索軌跡長(zhǎng)度）上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，將線段OP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（可改為任意α），并放縮為原來(lái)的n倍，得到OQ，隨著點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？

第一步，找起點(diǎn)，畫出初始圖形。如圖9，實(shí)際是把OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，放縮為原來(lái)的n倍，圖中OQ0、OP0均固定。第二步，利用初始圖形與任意中間位置組成相似模型，得出軌跡位置。連接Q0Q，如圖10，利用，∠P0OP=∠Q0OQ=90°-∠POQ0，得到△P0OP∽△Q0OQ，則∠OAB=∠OQ0Q，依據(jù)Q0定點(diǎn)，可以得出Q0Q位置固定（實(shí)際是過定點(diǎn)Q0，且與定線OQ0成固定夾角）。第三步，找終止位置，利用初始位置和終止位置，求出軌跡長(zhǎng)度。如圖11，實(shí)際是把OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，放縮為原來(lái)的n倍，圖中OP1、OQ1均固定，利用ΔP0OP∽ΔQ0OQ得到Q0Q1=nAB。并由圖12可以得到Q0Q1與AB所夾的角為90°（或α）。動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為直線（上一部分），且Q的軌跡長(zhǎng)度是P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度的n倍。

由例3可以知道，即使加入旋轉(zhuǎn)放縮的因素，整個(gè)探索的過程也不會(huì)發(fā)生變化，雖然結(jié)論上發(fā)生了變化，但依舊可以得出以下結(jié)論：①軌跡相對(duì)位置不變;②軌跡長(zhǎng)度與旋轉(zhuǎn)放縮的比例有關(guān)。

接下來(lái)以一個(gè)具體題目為例開展演練，進(jìn)而總結(jié)題目滿足什么條件、結(jié)論具有什么特征。

例4：如圖13，在正方形ABCD中，AB=1，P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到C停止。連接AP，以AP為直角邊向右側(cè)作等腰直角三角形，另一個(gè)頂點(diǎn)為Q。則點(diǎn)P從B運(yùn)動(dòng)到C的過程中，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為__________。

該題依舊有動(dòng)態(tài)的變化，因此仍采用“特殊聯(lián)系一般”的分析方法。第一步，找起點(diǎn)，畫出初始圖形。如圖14，點(diǎn)P的初始位置為B，此時(shí)以AP為直角邊作的等腰直角三角形即為△ABC。第二步，利用初始圖形與任意中間位置組成相似模型，得出軌跡位置。連接CQ，如圖15，利用，∠BAP=∠CAQ=45°-∠PAC，得到ΔBAP∽ΔCAQ，則∠ABP=∠ACQ=90°，由AC為定線，可知Q始終在固定直線上運(yùn)動(dòng)。第三步，找終止位置，利用初始位置和終止位置，求出軌跡長(zhǎng)度。如圖16，點(diǎn)P的終止點(diǎn)為C，此時(shí)以AP為直角邊作的等腰直角三角形記為ΔACE，從圖形位置可以直接得點(diǎn)Q的軌跡為CE，長(zhǎng)度為。

仿照前面4個(gè)例題，把點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)（CE）與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)（BC）聯(lián)系在一起。利用，

∠BAC=∠CAE=45°，得ΔBAC∽ΔCAE，得到，即得到動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為直線（上一部分），且Q的軌跡長(zhǎng)度是P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度倍。

實(shí)際上，例4為例3的一種情況：主動(dòng)點(diǎn)P在定線段BC上運(yùn)動(dòng)，連接AP后，將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，并擴(kuò)大為原來(lái)的倍，得到從動(dòng)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡也為線段（且與點(diǎn)P軌跡夾角為45°），且點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度是點(diǎn)P軌跡長(zhǎng)度的倍。由此可見與題目是否描述為旋轉(zhuǎn)沒有關(guān)系。

1.3? “瓜豆原理”解題思路總結(jié)

通過前面例題的探索，可以得出一個(gè)關(guān)于“瓜豆原理”的結(jié)論：分析背景條件后，若主動(dòng)點(diǎn)P、從動(dòng)點(diǎn)Q與定點(diǎn)A連線的夾角為定值（可以看作旋轉(zhuǎn)角，記為α），且從動(dòng)點(diǎn)Q、主動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)A連線的比值為定值（不妨記），則從動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡與點(diǎn)P保持一致，即當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到如下結(jié)論：①點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動(dòng);②運(yùn)動(dòng)軌跡的夾角α，從動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度與主動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度的比值為定值k。

2? ?總結(jié)

動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考數(shù)學(xué)經(jīng)常考查的重要知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也是學(xué)生縱向調(diào)用知識(shí)的難點(diǎn)，本文不斷添加變化的條件、提取特征、總結(jié)方法的整個(gè)過程是可以遷移的。

“瓜豆原理”既是結(jié)論，也是探索過程，尤其當(dāng)中涉及化動(dòng)為靜、動(dòng)靜結(jié)合的操作原則以及“從特殊到一般”的探索方法，是初中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中務(wù)必要掌握的內(nèi)容。

【參考文獻(xiàn)】

[1]何華軍.凸顯思維過程，提升解題能力——對(duì)一道直線型軌跡問題的探究[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2020（11）.

【作者簡(jiǎn)介】

李寶娜（1988～），女，漢族，河南安陽(yáng)人，碩士研究生，助教。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

趙繼仙（1991～），女，漢族，河南洛陽(yáng)人，碩士研究生，助教。研究方向：思想政治教育。