多角度探究2022年新高考Ⅰ卷比大小選擇題

譚天眾 王喜建

【摘 要】 本文對2022年新高考Ⅰ卷比大小的選擇題進行多角度探究，給出一類含有對數與指數的比較大小題型的一般方法，以期幫助高三師生備考，提高復習效率.

【關鍵詞】 比較大小;放縮;構造;泰勒展開式

1 試題呈現與分析

（2022年全國新高考Ⅰ卷第7題）設a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，則

A.a

試題分析 本題以對數與指數為載體，考查實數的比較大小.該類題型往往題干簡潔，但是綜合性極強，綜合考查對數指數運算性質、函數的單調性、不等式的性質等知識點.側重考查邏輯推理素養、數學運算素養，對學生的思維能力與綜合運用能力提出比較高的要求.本題有多種解題角度，不同考生會選擇不同的切入點，是一道值得深入研究的好題.

2 多角度探究

因為a=0.1e0.1，b=19=0.10.9=0.11-0.1，c=-ln0.9=-ln（1-0.1），故可構造函數f（x）=xex，g（x）=x1-x，h（x）=-ln（1-x），則a=f（0.1），b=g（0.1），c=h（0.1）. 比較f（x），g（x），h（x）的大小關系，可有不同的角度.

角度1 放縮法

由經典切線不等式ex≥x+1，當且僅當x=0時取得等號，把x換成-x，從而有e-x≥-x+1，即1ex≥-x+1，當x∈（0，0.1]時，有11-x>ex，從而有x1-x>xex， 即g（x）>f（x）.下證x（x+1）>-ln（1-x），當x∈（0，0.1]時成立. 令p（x）=x（x+1）+ln（1-x），則p′（x）=2x+1-11-x=x（1-2x）1-x>0，當x∈（0，0.1]時成立，所以p（x）單調遞增，所以p（x）>p（0）=0.由上面分析得到，h（x）

評注 本解法先根據需要比較的數的代數結構，建構出經典切線不等式模型，需要考生對經典切線不等式相當熟悉，并能夠靈活運用，運用經典切線不等式解答比較大小的題目是個熱點問題.常見經典切線不等式有（以下圖象由幾何畫板完成）：圖（1）ex≥x+1，圖（2）ex≥ex，圖（3）ln（1+x）≤x，圖（4）lnx≤x-1，圖（5）lnx≤xe.

（2021年廣州一模第8題）已知e≈2.71828是自然對數的底數，設a=3-3e，b=2-2e，c=e2-1-ln2，則

A.a

解析 設f（x）=x-xe，求導易得f（x）在[2，3]上單調遞減，所以ab，選A.

角度2 函數單調性

f（x）-g（x）=x1-x[（1-x）ex-1]，令p（x）=（1-x）ex-1，當x∈（0，0.1]時，p′（x）=-xex<0，所以p（x）在（0，0.1]上單調遞減，p（x）0，所以m（x）在（0，0.1]上單調遞增，所以m（x）>m（0）=0，從而q′（x）>0，所以當x∈（0，0.1]時，q（x）在（0，0.1]上單調遞增，從而q（x）>q（0）=0，于是f（x）>h（x）.綜上，h（x）

評注 本解法利用導數確定構造函數的單調性，從而比較實數的大小，為解決該類問題的通性通法，需要考生根據題目構造出合適的函數，熟練運用導數工具.角度3 函數增長快慢

該角度來源于以下直觀：如果兩個物體的初速度相同，則加速度大的物體后來速度更大.

引理 若f（x），g（x）在[a，b]上連續可導，且f（a）=g（a），f′（x）>g′（x），當x∈（a，b]時恒成立，則f（x）>g（x），當x∈（a，b]時恒成立.

證明 令h（x）=f（x）-g（x），則h′（x）=f′（x）-g′（x）>0，所以h（x）在[a，b]單調遞增，所以h（x）>h（a）=0，f（x）>g（x）當x∈（a，b]時恒成立，證畢.表1

f′（x）=（x+1）ex，f′（0）=1f″（x）=（x+2）ex，f″（0）=2f（x）=（x+3）ex，f（0）=3

g′（x）=1（1-x）2，g′（0）=1g″（x）=2（1-x）3，g″（0）=2

g（x）=6（1-x）4，g（0）=6

h′（x）=11-x，h′（0）=1h″（x）=1（1-x）2，h″（0）=1

h（x）=2（1-x）3，h（0）=2

由表（1），當x∈（0，0.1]時，g（x）>g（0）=6>（0.1+3）e0.1≥f（x），且g″（0）=f″（0），根據引理得到g″（x）>f″（x），又g′（0）=f′（0），根據引理得到g′（x）>f′（x），又g（0）=f（0），根據引理得到g（x）>f（x）.同理可以得到f（x）>h（x），g（x）>h（x）.綜上，h（x）

評注 本解法通過物理直觀，將目標函數進行求導，列成表格可以快速得到答案.要求考生能夠有很好的物理直觀，建構數學模型，需要較高的綜合運用能力.

角度4 “高觀點”

先給出高等數學中的泰勒展開式定理[1]：對于函數f（x），設其在點x0處的某個鄰域（x0-d，x0+d）存在直到n+1階的連續導數，則對于任意x∈（x0-d，x0+d）有

f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）（x-x0）22！+…+f（n）（x0）（x-x0）nn！+o（（x-x0）n），其中o（（x-x0）n）為皮亞諾余項（為無窮小量），特別地，當x0=0時，有

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）x22！+…+f（n）（0）xnn！+o（xn）.

由表（1），可得f（0.1）≈0+1×0.1+2×0.122！+3×0.133！，

g（0.1）≈0+1×0.1+2×0.122！+6×0.133！，

h（0.1）≈0+1×0.1+1×0.122！+2×0.133！.

對比三個式子，很容易得到h（0.1）

評注 本解法利用高等數學的泰勒展開式對a，b，c分別進行估算，簡單明了，過程極其簡潔！適當借助高等數學知識，使得解題效率更高.3 真題回顧

（2021年高考全國乙卷理科第12題）設a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1，則（? ）.

A.a

C.b

（2020年全國Ⅰ卷理科第12題）若2a+log2a=4b+2log4b，則（? ）.

A. a>2b??? B. a<2bC. a>b2???? D. a

（2020年全國Ⅲ卷理科第12題）已知55<84，134<85.設a=log53，b=log85，c=log138，則（? ）.

A.a

（2017年全國Ⅰ卷理科第11題）設x，y，z為正數，且2x=3y=5z，則（? ）.

A.2x<3y<5z?? B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x?? D.3y<2x<5z

以上題型都是含有指、對、冪函數值比較大小的問題，都可以根據題目條件構造目標函數，利用放縮、函數單調性、函數增長快慢、泰勒展開式、構造中間值等方法求解，此處不一一作答.4 備考建議

與指、對、冪函數值相關的比較大小題型，往往集各個知識點于一身，比如指、對、冪運算性質，函數分布規律，函數單調性，導數，不等式等，綜合性較強，考查考生的基本知識與基本技能，對考生的思維能力與綜合運用能力提出較高要求.解題關鍵是直接構造函數、或作差（作商）后構造函數、利用函數圖象性質以及運算性質解題. 對該專題復習提出三個建議：

4.1 重視指、對、冪運算性質及其函數性質教學萬變不離其宗，該題型背后的知識點是作為高中階段重要的三種函數的運算性質與運算規律，以及三種函數的圖象性質，所以關注試題背后的知識點是備考的原則.備考的方式可以是：選用歷年高考題進行一題多解、一題多思、一題多變教學，在解題教學中鞏固知識點，爭取做一題得一類.

4.2 重視函數構造過程教學

該類題目的解答中有很關鍵的一環是構造出合適的函數，然后對函數進行研究，在日常教學中應重視函數構造過程，展示思維形成過程，函數憑空而降是教學大忌，應該盡量避免.4.3 輔助高等觀點教學

泰勒展開式是賦小值型比較大小題目的強有力工具，比如2021年全國高考乙卷理科第12題也可以用泰勒展開式進行解答，對于一些學有余力的學生，可以要求其掌握，熟練掌握可以使得解題更便捷.

參考文獻

[1] 肖正昌.數學分析（上冊）[M]. 廣州：廣東科技出版社，1999.

[2] 王勇強，吳凱.高觀點下的三角函數與指數函數綜合的導數問題初探[J].數學通訊.2021（09）：45-51.[3] 閆偉.多視角探究一道2021年高考數學選擇題[J].中學數學雜志.2021（07）：51-54.

作者簡介 譚天眾（1982—），男，廣東懷集人，碩士，中學一級教師，多次被評為中山市優秀教師;研究方向：中學數學教學;多篇論文發表.

王喜建（1980—），男，廣東惠州人，碩士，五邑大學計算數學副教授，2010年歐美留學歸國人員，江門市高層人才;研究領域為計算數學和數學教育;主持多項省部級課題，多次榮獲廣東省教育廳和五邑大學教學成果獎;公開發表論文多篇.