對2022年數學新高考卷Ⅰ的思考

【摘 要】 本文主要從2022年新高考Ⅰ卷試題入手剖析，從試題考查立足點，分析試題考查出發點，得到試題考查本質，以期對高三復習和新高考教學有所幫助.

【關鍵詞】 核心概念;建模能力;數學思想;整合應用;數學思維

2022年新高考Ⅰ卷，考生普遍反映難，和21年新高考Ⅰ卷相比，去年試題易中難的比例是5∶3∶2，今年約為4∶3∶3，基礎試題的分值約有60分. 今年試題綜合性的考查要求較強，突出對關鍵能力的考查，和去年試題相比試題整體難度有所提升. 對學生各個方面的能力考查更全面.本文對今年全國新高考1卷的考點進行分析，考生覺得難，往往由于沒有養成良好數學思維而缺乏靈便方法，只講究機械做題，因此在對試卷進行分析后，筆者從核心概念、數學建模、數學思想、整合應用四個方面進行剖析.

1 核心概念

今年命題知識覆蓋面廣，突出了對數列、三角、立體幾何、概率統計、解析幾何以及函數與導數的考查，后面的六道解答題也是這六大版塊各一道題. 分數分配上，函數與導數（第7，10，12，15，22題共32分）、立幾（第4，8，9，19題共27分）、解幾（第11，14，16，21題共27分）、三角（第6，18題共17分）、概率統計（第5，20題共17分）、數列（第17題共10分）. 從試題形式上看，試卷在選擇題、填空題、解答題起始部分起點低、入口寬，從數學概念、數學方法入手，重點考查核心概念. 如試卷第1至5題、第9題、第10題、第13題、第14題、第17至19題，都是有注重考查基礎知識、回歸教材的特點. 例1 （2022年新高考Ⅰ卷第2題）若i（1-z）=1，則z+=（? ）.A.-2?? B. -1?? C. 1?? D. 2

分析 這道題考查對共軛復數的定義核心概念的理解，利用復數的除法可求z，從而可求z+.由題設有1-z=1i=ii2=-i，得z=1+i，故z+=（1+i）+（1-i）=2. 故選D.

例2 （2022年新高考Ⅰ卷第5題）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（? ）.

A.16?? B. 13?? C. 12?? D. 23

分析 這道題考查學生對古典概型核心概念，互質的定義、通過列舉法即可得解.

從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，共有C27=21種不同的取法，

若兩數不互質，不同的取法有：（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7種，

故所求概率P=21-721=23.

故選D.

另外，第10題考查極值點、零點的核心概念;第11題考查拋物線的定義核心概念、準線方程的核心概念;第12題考查偶函數、導函數的核心概念;第13題考查展開式中項的系數的核心概念;第19題考查點到面的距離以及二面角的核心概念;第17題和第22題都考查等差數列的核心概念;第20題考查的是獨立性檢驗核心概念.

2 數學建模

根據高考評價體系的整體框架，結合《數學課程標準》提出的學科核心素養，高考對數學建模能力的考查力度在今年試卷中有較大提升. 今年試題難度大，就是因為加大了對數學建模學科素養和關鍵能力的考查力度.

例3 （2022年新高考Ⅰ卷第4題）南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5 m時，相應水面的面積為140.0 km2;水位為海拔157.5 m時，相應水面的面積為180.0 km2，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時，增加的水量約為（7≈2.65）（? ）.

A.1.0×109 m3??? B. 1.2×109 m3

C. 1.4×109 m3?? D. 1.6×109 m3

分析 考查臺體的體積計算，但并沒有直接考查，而是以我國的重大建設成就“南水北調”工程為素材，此知識融入到實際生活背景中，融合考查考生的基本空間想象能力和掌握棱臺的體積公式的運算能力;將考查學生的數學建模能力，將實際問題抽象為數學問題來解決.

依題意，可以建立一個棱臺模型，如圖1，可知棱臺的高為MN=157.5-148.5=9（m），所以增加的水量即為棱臺的體積V.

棱臺上底面積S=140.0 km2=140×106 m2，下底面積S′=180.0 km2=180×106 m2，所以V=13h（S+S′+SS′）=13×9×（140×106+180×106+140×180×1012）=3×（320+607）×106≈（96+18×2.65）×107=1.437×109≈1.4×109（m3）.故選C.

例4 （2022年新高考Ⅰ卷第7題）設a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，則（? ）.A.a

分析 考生根據條件，構造函數模型f（x）=ln（1+x）-x， 導數判斷其單調性，由此確定a，b，c的大小.

設f（x）=ln（1+x）-x（x>-1），因為f′（x）=11+x-1=-x1+x，當x∈（-1，0）時，f′（x）>0，當x∈（0，+∞）時，f′（x）<0，所以函數f（x）=ln（1+x）-x在（0，+∞）上單調遞減，在（-1，0）上單調遞增，所以f19ln109=-ln0.9，即b>c，所以f-110

設g（x）=xex+ln（1-x）（0

當0

當2-10，函數h（x）=ex（x2-1）+1單調遞增;

又h（0）=0，所以當00，函數g（x）=xex+ln（1-x）單調遞增，所以g（0.1）>g（0）=0，即0.1e0.1>-ln0.9，所以a>c.故選C.

本題主要考查函數與方程的綜合應用，涉及到構造函數，利用函數的單調性比較大小，是一道中檔題.學生能不能構造f（x）=ln（1+x）-x函數模型是解決這道題的關鍵.

另外，第9題通過建立正方體模型，對正方體中異面直線和線面角的考查，無需計算就能得分.

3 數學思想

本試卷的數學思想體現化整為零、積零為整兩個方面，注重條理、邏輯，能訓練學生的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置，很多方法來源對數學思想的深層次理解.

例5 （2022年新高考Ⅰ卷第22題）寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程.分析 這是一道結論開放型試題，要求已知兩圓的公切線方程，通過數形結合數學思想可快速寫出其中的一條公切線方程. 如圖2，先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.

圓x2+y2=1的圓心為O（0，0），半徑為1，圓（x-3）2+（y-4）2=16的圓心O1為（3，4），半徑為4，兩圓圓心距為32+42=5，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切.

當切線為l時，因為kOO1=43，所以kl=-34.設方程為y=-34x+t（t>0），O到l的距離d=t1+916=1，解得t=54，所以l的方程為y=-34x+54.

當切線為m時，設直線方程為kx+y+p=0，其中p>0，k<0.

由題意p1+k2=1，

3k+4+p1+k2=4，解得k=-724，p=2524，故y=724x-2524.

當切線為n時，易知切線方程為x=-1，故答案為y=-34x+54或y=724x-2524或x=-1.

例6 （2022年新高考Ⅰ卷第22題）已知函數f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值.（1）求a;

（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

分析 （1）根據導數可得函數的單調性，從而可得相應的最小值，根據最小值相等可求a.注重分類討論數學思想;

（2）根據（1）可得當b>1時， ex-x=b的解的個數、x-lnx=b的解的個數均為2，構建新函數h（x）=ex+lnx-2x，利用導數可得該函數只有一個零點且可得f（x），g（x）的大小關系，根據存在直線y=b與曲線y=f（x）、y=g（x）有三個不同的交點可得b的取值，再根據兩類方程的根的關系可證明三根成等差數列.考查函數與方程的數學思想.

解 （1）f（x）=ex-ax的定義域為R，而f′（x）=ex-a，

若a≤0，則f′（x）>0，此時f（x）無最小值，故a>0.

g（x）=ax-lnx的定義域為（0，+∞），而g′（x）=a-1x=ax-1x.

當xlna時，f′（x）>0，故f（x）在（lna，+∞）上為增函數，故f（x）min=f（lna）=a-alna.

當0

當x>1a時，g′（x）>0，故g（x）在1a，+∞上增函數，

故g（x）min=g1a=1-ln1a.

因為f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值，

故1-ln1a=a-alna，整理得到a-11+a=lna，其中a>0，

設g（a）=a-11+a-lna，a>0，則g′（a）=2（1+a）2-1a=-a2-1a（1+a）2≤0，故g（a）為（0，+∞）上的減函數，而g（1）=0，故g（a）=0的唯一解為a=1，故1-a1+a=lna的解為a=1.

綜上，a=1.

（2）由（1）可得f（x）=ex-x和g（x）=x-lnx的最小值為1-ln1=1-ln11=1.

當b>1時，考慮ex-x=b的解的個數、x-lnx=b的解的個數.

設S（x）=ex-x-b，S′（x）=ex-1，

當x<0時，S′（x）<0，當x>0時，S′（x）>0，

故S（x）在（-∞，0）上為減函數，在（0，+∞）上為增函數，所以S（x）min=S（0）=1-b<0.

而S（-b）=e-b>0，S（b）=eb-2b，

設u（b）=eb-2b，其中b>1，則u′（b）=eb-2>0，

故u（b）在（1，+∞）上為增函數，故u（b）>u（1）=e-2>0，T′（x）<0.

故S（b）>0，故S（x）=ex-x-b有兩個不同的零點，即ex-x=b的解的個數為2.

設T（x）=x-lnx-b，T′（x）=x-1x，

當01時，T′（x）>0，故T（x）在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上為增函數，

所以T（x）min=T（1）=1-b<0.

而T（e-b）=e-b>0，T（eb）=eb-2b>0，

T（x）=x-lnx-b有兩個不同的零點即x-lnx=b的解的個數為2.

當b=1，由（1）討論可得x-lnx=b，ex-x=b僅有一個零點.

當b<1時，由（1）討論可得x-lnx=b，ex-x=b均無零點.

故若存在直線y=b與曲線y=f（x），y=g（x）有三個不同的交點，則b>1.

設h（x）=ex+lnx-2x，其中x>0，故h′（x）=ex+1x-2.

設s（x）=ex-x-1，x>0，則s′（x）=ex-1>0，

故s（x）在（0，+∞）上為增函數，故s（x）>s（0）=0即ex>x+1.

所以h′（x）>x+1x-1≥2-1>0，所以h（x）在（0，+∞）上為增函數，

而h（1）=e-2>0，h1e3=e1e3-3-2e3

故h（x）在（0，+∞）上有且只有一個零點x0，1e3

當0

當x>x0時，h（x）>0即ex-x>x-lnx即f（x）>g（x），

因此若存在直線y=b與曲線y=f（x），y=g（x）有三個不同交點，故b=f（x0）=g（x0）>1，此時ex-x=b有兩個不同的零點x1，x0（x1<0

又ex1-x1=b可化為ex1=x1+b，即x1-ln（x1+b）=0即（x1+b）-ln（x1+b）-b=0，故x1+b為方程x-lnx=b的解，同理x0+b也為方程x-lnx=b的解，所以{x1，x0}={x0-b，x4-b}，而b>1，故x0=x4-b，x1=x0-b，即x1+x4=2x0.

另外，17題（數列）數列求通項考到了常用的累乘法，第二問考到了數列求和中的裂項相消法;18題（三角）考查了函數與方程數學思想，第二問求最值轉化為角的函數，用基本不等式求最值;19題（立體幾何）、21題（解析幾何）考查了數形結合數學思想、轉化與化歸數學思想，考查學生的直觀想象素養.4 整合應用

今年高考題試卷重視難度和思維的層次性，數學概念的理解、基本數學方法的掌握、數學素養的養成等與思維水平有高度的關聯性，給學生更廣闊的思考空間、更多的思考角度以及基于自己認知水平的發現和探索解題方法的不同平臺，具有高度整合性和應用性.例7 （2022年新高考Ⅰ卷第18題）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.

（1）若C=2π3，求B;

（2）求a2+b2c2的最小值.

分析 此題不是常規地利用正余弦定理與面積公式求解三角形，而是考查了函數與方程思想. 第二問求最值轉化為角的函數，用基本不等式求最值或構造函數求解最值. 此題也不是單純地考查運算能力，還要求具有很強的分析問題的能力，具有高度整合性. 所以考生備考時應注意內外角平分線定理、托勒密定理、斯特瓦爾特定理、米勒定理的證明，加強正余弦定理三角公式的靈活運用，加強對圖形進行分解、組合等知識的整合.

（1）根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將cosA1+sinA=sin2B1+cos2B化成cos（A+B）=sinB，再結合0

詳解 （1）因為cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，即sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=-cosC=12.

而0

（2）由（1）知，sinB=-cosC>0，所以π2

所以C=π2+B，即有A=π2-2B.

所以a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cos22B+1-cos2Bcos2B

=（2cos2B-1）2+1-cos2Bcos2B=4cos2B+2cos2B-5≥28-5=42-5.

例8 （2022年新高考Ⅰ卷第20題） 一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據：

不夠良好良好病例組4060對照組1090

（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”.

P（B|A）P（|A）與P（B|）P（|）的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R.

（ⅰ）證明：R=P（A|B）P（|B）·P（|）P（A|）;（ⅱ）利用該調查數據，給出P（A|B），P（A|）的估計值，并利用（ⅰ）的結果給出R的估計值.

附K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），

P（K2≥k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

分析 以獨立性檢驗和條件概率為原型，設計概率統計應用題，也以真實的某種疾病與衛生習慣的關系情境來考查，這些都體現出高考命題注重應用性. 考查考生對獨立性檢驗、條件概率、數據處理等知識的理解和應用，引導考生重視數學實驗和數學的應用. （1）由所給數據結合公式求出K2的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異;（2）（ⅰ） 根據定義結合條件概率公式即可完成證明;（ⅱ）根據（ⅰ）結合已知數據求R.

詳解

由已知K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）=200（40×90-60×10）250×150×100×100=24，又P（K2≥6.635）=0.01，24>6.635，

所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異.

（ⅰ）因為R=P（B|A）P（|A）·P（|）P（B|）=P（AB）P（A）·P（A）P（A）·P（）P（）·P（）P（B），

所以R=P（AB）P（B）·P（B）P（B）·P（）P（）·P（）P（A），

所以R=P（A|B）P（|B）·P（|）P（A|）.

（ⅱ）由已知P（A|B）=40100，P（A|）=10100，

又P（|B）=60100，P（|）=90100，

所以R=P（A|B）P（|B）·P（|）P（A|）=6.

另外，例如19題立體幾何，第1問考查等體積法求點到面的距離，重視往年文科考題，對“點到面的距離”的解法感到陌生;第21題解析幾何也是一個整合，與2009年遼寧高考數學試題和2011年全國高中數學聯賽試題有相同點. 這些既有整合，也突出知識應用.

今年2022新高考Ⅰ卷數學試題體現了從“知識立意”到“能力立意”，再到“素養導向”，從“解題”到“解決問題”的思維躍升，從數學角度發現和提出問題、分析和解決問題，已使單純的知識記憶和刷題失效. 所以高三備考應注重養成獨立思考和深入思考的習慣，發展思維的全面性與深刻性， 要能在思路受阻時進行靈活地調整與變通，使其意志品質和思維品質得到培養和提升.

參考文獻

[1] 2022新高考Ⅰ卷數學卷試題，2022.6.

作者簡介 潘冬麗（1989—），女，廣西南寧人，碩士，高中數學一級教師;研究方向為課堂教學研究.