數形結合在初中數學解題中的運用探究

劉思宇

【摘? 要】數學是一門關于空間形態與數量關系的學科，是描述自然和社會規律的一種科學，數學知識是一種非常有用的工具，但數學知識并不局限于學生學習數學知識，而是要提升學生的數學能力，這兩者聯系在一起，就是數形結合的思維方式。

【關鍵詞】數形結合;初中數學

數學是一種非常合理的科學，它涉及大量的空間形態，它的終極目標是讓學生在現實中運用數學，解決現實中的問題，而數學思維則是控制數學的關鍵，它是學生在現實中解決問題的關鍵。數形結合思想能夠將繁雜的問題簡單化。

一、數形結合的教學方式在初中數學教學中的意義

數與形是數學的基礎，是對客觀事物的抽象和反射，是數學的基礎，目前初中數學課程的“數與代數”“數與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”四大部分，都離不開“數”和“形”。

初中教學過程中滲透數形結合的思想是實現數學教學面向全體學生的重要內容，數形結合是一種行之有效的數學教育方式，在數學發展史上有著卓越的成績和巨大的貢獻。中國著名數學家祖沖之，將割圓與運算相結合，將圓周率推算至小數點后7位數，這是在沒有現代計算機技術之前，數學史上的一項了不起的成就。阿基米德用浴缸中的王冠，終于研究出了一種新的平衡，這是一種形式上的數字和形的結合，它不僅解決了許多著名的數學問題，還極大地推動了數學的發展。

初中教學過程中滲透數形結合的思想是素質教育的重要內容，數形與思維相融是數理思維方式中的一種，在不同的階段都有反映，顯示出了其重要性，初中是從小學到中學的過渡時期，中學的數學水平將會對學生中學乃至未來的學習產生很大的影響。所以，數形結合的思維方式是一種很好的教學手段。

初中教學過程中滲透數形結合的思想是提倡高效課堂的需要。教師在平時的教學過程中，必須對課堂的質量給予足夠的關注，而要提高教學質量，必須要有一支優秀的教師隊伍。在教學過程中，教師要緊緊跟隨教材的培養目標，使其能夠順利地完成教學任務，并在此基礎上，充分發揮其潛能，激發學生數理思維。

初中教學過程中滲透數形結合的思想可以培養學生的數學思維。對學生來說，數學教育的首要目的是培養他們的學習習慣，培養他們的學習興趣，培養他們的數學思維，提高他們的數學能力。而數與形的結合，在激發學生的數理思維、培養學生的數學興趣等方面起到了很大的作用。在教學過程中，把數形結合的思維與教學內容有機地結合起來，不僅可以減少教學的負擔，而且使知識以更加直觀的形式呈現，有利于學生的理解與學習。

要增強分析問題的能力和解決問題的靈活程度，也必須讓學生充分認識數形結合的思想。對于一個學生來說，如何將自己所學到的數學知識運用到實際應用中，是一件很困難的事情，誰都知道，學生的思維還很簡單，行動能力較差，思維也比較懶散，所以，要養成良好的學習習慣和邏輯思考能力，就更難了。運用數形結合的思維，可以使問題變得簡潔、明了，使學生更好地掌握題的含義和考試內容，提高解題技巧，使學生更好地解決問題。綜上所述，數形結合是數學發展中的一項重要理念，它在現代數學教育中具有舉足輕重的地位。將數形結合的思想引入到學習中，可以有效地提高學生的學習效率，提高他們的解題能力，同時也可以促進他們的數理思考，從而促進他們的數學思維系統的形成。

二、數形結合的思想方法在解決問題中的運用

（一）數形結合思想方法在實數中的運用

數與形的結合，始終堅持從“數”與“形”兩個層面來剖析問題的本質，例如，函數對應的圖像、實數與數軸，要從現有圖像的特性中分析對應的代數特性，就必須采用“數形結合”的形象思維;而把代數問題轉換為對應的幾何問題，就必須把形象思維與創造性思維有機地結合起來，從而達到“數形結合”的目的。

（二）數形結合的思想在整式中的運用

數形結合有助于學生理解知識的本質，學生在學習知識時，常常無法理解知識的本質，但是，通過數字和圖形的結合，可以讓學生認識到知識的本質。例如，學生在學習方程式的性質時，若將“等式”與“不等式”的性質告知給學生，則會使他們機械地記憶，而無法明白其中的緣由。在這種情況下，教師可以用“平衡”的實例引導學生將其理解為等式，并以此來描述其特性，從而幫助學生內化知識。

（三）數形結合的思想方法在平面直角坐標系中的運用

在中學數學中，由于采用了平面直角坐標系，建立了數與形的連接，從而使我們能夠利用幾何學的方法來研究代數問題，同時也能用代數的方法來研究。

（四）數形結合的思想在方程（組）中的運用

將數字與思維相結合，最重要的是建立相應的一次函數，然后通過一次函數的圖像來解釋。圖像的解法通常不能很方便地解決問題，并且由于圖像的錯誤，通常會使解的結果不精確。在日常生活中，類似這樣的直接解題方式也很常見，是一種很重要的技能，所以我們要注意學習和運用數形結合思維來解決問題。

（五）數形結合的思想方法在不等式中的運用

數形組合是一種思維的方法，雖然有時效果不佳，但是卻可以作為一種方法，找到一個問題的答案。對于一元二次方程的求解，這個問題在解決了代數問題后，又進行了一次新的研究。轉換思維，找到了解決問題的新思路，把二次方程和二次函數聯系在一起，把二次方程的根看成是二次函數和軸線的交叉點。

（六）數形結合的思想方法在函數中的運用

“數”與“形”相結合的思維方式，能極大地豐富學生的“數學表象”。數字與圖形相結合的思維方式，通過對表象的積累，推動形象思維的發展。所有的定理都以圖形的形式為依據，而在求解問題時，往往會先從定義開始;在實際操作中，許多問題都是通過圖表的方式轉化成了推理的線索和載體。在教學中，教師要從概念的建立、定理的證明、解的過程中，認真地發掘形象思維的知識，并以數字的形式結合，增強學生的表象能力。

（七）數形結合的思想方法在勾股定理中的運用

首先，教師將著名的畢達哥拉斯公式圖展示在大熒幕上，讓學生看圖中三個方塊組合在一起的面積和三個方塊之間的相互關系。不管圖片是正方形，還是由三個正方形組成三角形，都需要學生自己觀察發現，大部分學生的思想則是停留在“圖”的階段，教師需要簡單地描述一下畢達哥斯拉在他朋友家里的地板上看到的三個直角三角形而后發現它們之間的關系。在這個故事的啟發下，學生在心中建立起了“圖”和“數”的聯系，并產生了“數”的概念。之后，讓學生再看一遍，并運用數量關系來證明三個方塊之間的面積關系。于是，學生就用“數數法”“割補法”，對三個正方形的面積關系進行研究，得到了“兩個小正方形的面積之和與大正方形的面積相等”的結論。在此基礎上，老師在教學設計中，引導學生認識“形”中的“數”，并根據“數”的關系來判定“形”的種類，并借助課堂導入環節的平臺，使數形融合的思維得以滲透和運用。

（八）數形結合的思想在解直角三角形中的運用

在三角函數的學習中要充分應用數、形的概念，將三角函數的圖形和屬性相結合，即通過對圖形的直觀分析，得到一個函數的函數屬性，或者用一個三角形的函數，得到一個函數的屬性。

（九）數形結合的思想方法在統計中的運用

數形組合是數學教學中應用最為廣泛的一種教學手段，它是一種將抽象知識和復雜知識通俗化、簡單化、生動化的有效途徑。全概率公式是概率論和數理統計領域的一個重要內容，但對于學生來說，這是一個非常困難的問題。學生學習全概率公式的難點是：不了解其推導過程，不了解其適用的環境和情況。藉由數形結合的直覺思維，使學生能夠更容易地了解公式的推導過程，進而掌握其運用。

三、在教學中滲透數形結合思想方法的教學策略

（一）學生初步感受數形結合的數學思想方法

在數形結合的思維方式中，“數”是一種由人的左腦思考而產生的抽象思維;“形”是形象思維的一種，它起源于人類的右腦思考，它是以幾何、圖形、數字相結合的思維方式，能夠充分地利用彼此間的關系;右腦的思維能力是通過兩種不同的方式進行交互作用，從而促進人類的數學思維能力的全面、協調和深入發展。

（二）通過對比、運用、合作交流，進一步深化理解數形結合的數學思想方法

利用數字與圖形的結合，可以揭示出數學的本質，幫助學生認識和接受數學的概念，例如，在古代，人們已經學會了用圓心來衡量一個物體的重量，用一個圓心來代表一個物體的重量，用一個圓心代表一個物體的溫度，用一個圓圈代表一個水平線?！岸攘科瘘c”“度量單位”“確定的增減方向”三種不同的元素，它們的概念可以用一條直線上的點來表達，并在一條線上指定一個原點（測量起點）、長度（測量單位）和方向（確定增加或減少），最終得出一個數字的坐標。

（三）通過學生獨立思考和合作交流進一步理解和掌握數形結合思想

數與形的結合，可以加深和發展學生原有的認識層次，讓他們對數學的知識有更深入、更透徹的了解;在表達方法上，學生會將所有的概念都儲存在自己的腦海中，在學習過程中，他們會根據自己所學到的知識來儲存知識。問題的癥結在于對概念的認識太淺薄和表達方法的單一，所以，在實際教學中，教師要把握好時機，利用數形結合的思維，做到引導學生對概念進行深入全面的挖掘、體驗、反思和評價，從而提高學生對概念理解的深度。

（四）主動運用數形結合的數學思想方法來解決實際問題

采用數形組合的數學思維方式，逐步進行定量驗證;通過合作探究、推理歸納等方法，發現問題，并利用課件說明原因，使學生能夠應用數學思維解決問題。

隨著素質教育的深入，初中數學教學改革的深入，教育不僅僅是傳授知識，更是指導學生的思考方式，在中學數學中不但要把數形結合的思想融入到課堂中，還要運用數形結合的多種教學方式，充分發揮數形結合的魅力，進一步強化抽象思維和形象思維。讓學生放棄死記硬背的學習方式，讓枯燥的學習變得生動，改變學生的學習態度，使學生從被動學習向積極學習轉變。由此提升學生的學習興趣，培養學生的思維能力。

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