數(shù)的整除

陳永　陳春云

猜年齡

阿才班里來(lái)了一位新的數(shù)學(xué)老師。上午第一節(jié)課，陳老師走進(jìn)教室，他眼角布滿了皺紋，看起來(lái)年齡有點(diǎn)兒大。陳老師自我介紹完后，阿才好奇地問(wèn)：“陳老師，請(qǐng)問(wèn)您今年多大了呀？”

陳老師回答道：“我告訴你一些數(shù)學(xué)信息，你可以根據(jù)這些信息猜一猜。”

阿才被勾起了興趣，說(shuō)：“老師請(qǐng)出招。”

陳老師說(shuō)：“我的年齡除以3，余數(shù)是2;除以5，余數(shù)是3;除以7，余數(shù)是4。”

阿才飛快地拿起紙和筆，邊寫(xiě)邊說(shuō)：“讓我想一想……您的年齡是53歲，對(duì)嗎？”

陳老師笑著說(shuō)：“完全正確！同學(xué)們，你們知道阿才是怎么算出來(lái)的嗎？”

班長(zhǎng)不甘示弱，站起來(lái)分析道：“我從‘除以7，余數(shù)是4的數(shù)中，找出符合‘除以5，余數(shù)是3的數(shù)——18。就是在‘7+4=11的基礎(chǔ)上一直加7，直到所得的數(shù)滿足‘除以5，余3。接下來(lái)，再在18的基礎(chǔ)上一直加7和5的最小公倍數(shù)35，直到結(jié)果滿足‘除以3，余2。18+35=53，53÷3=17……2，答案就是53。這種方法就叫‘逐步約束法，它通過(guò)慢慢縮小范圍，最終得出答案。”

班長(zhǎng)有條有理的回答，贏得了陳老師和同學(xué)們的陣陣掌聲。

阿才的小姨開(kāi)了一間鮮花店。一天，鮮花店進(jìn)了一批鮮花，還接到了一個(gè)大訂單。小姨要把鮮花扎成美麗的花束，忙得午飯都吃不上。

剛好阿才過(guò)來(lái)玩，小姨就讓阿才幫忙把花扎成花束，要求每束花里的玫瑰、百合的枝數(shù)分別相同。阿才一聽(tīng)，這還不簡(jiǎn)單，左手拿了2枝玫瑰，右手拿了2枝百合就用彩帶扎起來(lái)。阿才一連扎了20束花后，往花籃一看，驚呼道：“咦，怎么玫瑰剩下的多些，百合剩下的少些啊？小姨，小姨，百合不夠用！”

小姨抬頭看了下，說(shuō)：“你啊，就沒(méi)弄明白我的意思，你這個(gè)大馬虎。不是玫瑰和百合的枝數(shù)一樣，而是每束花的玫瑰、百合枝數(shù)分別相同。百合是比玫瑰少一些，你往每束花里多加些玫瑰不就可以了嗎？”阿才聽(tīng)了小姨的解釋恍然大悟。他數(shù)了數(shù)，發(fā)現(xiàn)一共有96枝玫瑰、72枝百合。

阿才拿起筆，唰地就在紙上用短除法求出了96和72的最大公因數(shù)——24。

阿才高興地對(duì)小姨說(shuō)：“我知道了，每束花里扎4支玫瑰和3支百合，這樣一共能扎24束，花正好用完。而且每束花中玫瑰和百合的枝數(shù)都一樣。”小姨聽(tīng)了十分高興，問(wèn)道：“如果我想把每束花扎大點(diǎn)兒，花的枝數(shù)多些，又該怎么辦呢？”于是，阿才又拿起筆，在紙上迅速地列出了表格。

阿才指著表格，高興地對(duì)小姨說(shuō)：“嘿，方法還真多啊！你看，96的因數(shù)有1，2，3，4，6，8，12，16，24，32，48，96;72的因數(shù)有1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72;96和72的公因數(shù)有1，2，3，4，6，8，12，24。”

“每個(gè)公因數(shù)就代表一種扎法，如果不算最后一種，一共有7種不同的扎花方法。”看阿才說(shuō)得頭頭是道，小姨連連點(diǎn)頭，說(shuō)：“為了讓扎起來(lái)的花束好看些，我們就選第二種扎法吧，每束花里放8枝玫瑰、6枝百合。”

周末，六（2）中隊(duì)組織全班少先隊(duì)員一起去敬老院照顧老人。由于參加的人較多，老師決定將少先隊(duì)員們分成兩組，讓班長(zhǎng)負(fù)責(zé)一組，學(xué)習(xí)委員阿才負(fù)責(zé)一組，由兩人帶領(lǐng)各組隊(duì)員分批前往敬老院。老師還安排了兩個(gè)小組去敬老院的時(shí)間，班長(zhǎng)的小組每隔2天去一次，阿才的小組每隔3天去一次。為了規(guī)劃好時(shí)間，老師要求阿才做好活動(dòng)時(shí)間表。這可難不倒我們的學(xué)習(xí)委員阿才。

活動(dòng)從10月8日開(kāi)始，這一天兩個(gè)小組都去了敬老院。 10月8日到10月31日有24天，11月份共有30天，從10月8日到11月30日，共有24+30=54（天）。班長(zhǎng)的小組每隔2天去一次，即每3天去一次。54÷3=18（次），班長(zhǎng)的小組要去18次。同理，阿才的小組每隔3天去一次，即每4天去一次，54÷4≈14（次），阿才的小組要去14次。

如果兩組人同時(shí)前往敬老院，會(huì)讓場(chǎng)面變得過(guò)于混亂，所以阿才和班長(zhǎng)還要約定好時(shí)間，分配好上午和下午的活動(dòng)時(shí)間。如果兩組人要在同一天前往敬老院，那這天與10月8日間隔的天數(shù)必須是4和3的公倍數(shù)，即間隔的天數(shù)是12的倍數(shù)。54÷12≈4（次），再加上10月8日的1次，所以他們一起去敬老院的情況一共有5次。

根據(jù)以上分析計(jì)算，阿才很快就做好了活動(dòng)時(shí)間表。