傅里葉級數的教學探討：以信號對稱性為例

任蕾 薄華 金欣磊 張韻農

摘要：周期信號的傅里葉級數分析是信號處理類課程的重要教學知識點。文章總結了連續和離散實周期信號的傅里葉級數分析方法，梳理了周期信號的奇偶對稱性、奇諧信號和偶諧信號四類情況，對實周期信號傅里葉級數的影響，并通過舉例說明其頻譜的特征，闡述了連續和離散實周期信號頻譜的聯系與區別。

關鍵詞：實周期信號；頻譜分析；傅里葉級數；離散傅里葉級數；對稱性

中圖分類號：TP393? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）27-0137-05

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傅里葉級數分析是信號處理類課程的重要知識點，也是課程教學的難點之一。其基本分析工具包括連續傅里葉級數（Fourier series，FS）與離散傅里葉級數（discrete Fourier series，DFS）等。連續周期信號經過傅里葉級數分析得到的頻譜是非周期離散譜，若信號具有對稱性（本文僅指奇偶對稱、奇諧和偶諧信號四類情況），且信號是實信號，則該類信號中僅包含部分頻譜分量，利用對稱性可簡化計算過程，有利于分析連續實周期信號通過線性時不變系統的響應。離散周期序列經離散傅里葉級數分析得到的頻譜是周期離散譜，與連續周期信號類似，當離散實周期序列滿足某些對稱性時，其頻譜中也只包含部分頻譜分量。建立二者的聯系，并通過舉例闡述其頻譜的特征，有助于該知識點的教學。

國內高校對信號的頻譜分析、傅里葉變換的概念及應用的探討已有相關報道。文獻1對離散信號頻譜分析的三個基本概念：離散時間傅里葉變換、離散傅里葉變換、離散傅里葉級數進行了總結和辨析[1]。王靜等在離散傅里葉變換的講解中進行了工程實例和理論教學結合的教學實踐與探討[2]。童曉兵等詳細探討了“數字信號處理”課程中共軛對稱性，對離散時間傅里葉變換和離散傅里葉變換的共軛對稱性進行了對比，列舉了該性質在實際工程中的應用[3]。

本文梳理了連續與離散周期信號傅里葉級數分析的一般方法，總結了當信號是實數，且具備奇、偶對稱性或信號是奇諧、偶諧信號時，其包含的頻譜分量情況，同時給出了相關例題闡述二者的聯系與區別。

1 連續與離散周期信號的傅里葉級數

1.1? 連續周期信號傅里葉級數分析

根據傅里葉級數[4]的相關理論有：周期為[T]的連續周期信號[ft]的傅里葉級數展開式為：

[ft=n=-∞+∞Fnejnω0t]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

其中：[Fn=1TTfte-jnω0tdt]? ? ? ? ? ? ? ?（2）

[ω0=2πT]。

若將[ft]視作其單周期截取后的非周期信號[f0t]經周期延拓構成，即：

[ft=n=-∞+∞f0t-nT]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

其中：

[f0t=ft，?t∈t0，t0+T0 ? ，?t?t0，t0+T]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

且該信號的傅里葉變換（Fourier transform， FT）為：

[f0t?F0jω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

則根據連續信號傅里葉變換和傅里葉級數的關系有：

[Fn=1TF0jnω0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

因此，連續周期信號的傅里葉級數可以直接利用變換式求解，也可通過式（6）計算獲得，該式反映了連續非周期信號的連續譜與連續周期信號頻譜之間的聯系。

1.2 離散周期序列的傅里葉級數分析

類似地，周期為[N]的離散周期序列[xn]的傅里葉級數展開式[5]為：

[xn=1Nk=0N-1Xkej2πNnk]? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

其中：[Xk=n=0N-1xne-j2πNnk]? ? ? ? ? ? ? ?（8）

同樣，若將[xn]視作其主值區間截取后的非周期序列[xn]經周期延拓構成，即：

[xn=m=-∞+∞xn-mN]? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

其中：

[xn=xnRNn]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（10）

且該有限長序列的離散時間傅里葉變換（Discrete time Fourier transform，DTFT）為：

[xn?Xejω]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （11）

則根據離散時間傅里葉變換和離散傅里葉級數的關系有：

[Xk=Xejωω=2πNk]? ? ? ? ? ? ? ? ?（12）

即離散周期序列的傅里葉級數是對離散非周期序列的連續周期譜的采樣。

2 信號對稱性在實周期信號傅里葉級數分析中的應用

實際應用中，線性時不變系統的激勵和響應信號一般為實數信號，同時，實信號的頻譜具有幅度譜偶對稱、相位譜奇對稱的特征。下面我們總結了實周期信號的四類對稱性以及在傅里葉級數分析中的一般結論，可用以簡化頻譜分析，了解實周期信號中所包含的頻譜分量，為后續的系統分析奠定基礎。

2.1? 對稱性在連續實周期信號傅里葉級數分析中的應用

當實周期信號[ft]滿足某些對稱性時，對其進行傅里葉級數展開得到的頻譜中只包含某些頻率分量。本文我們討論信號對整周期而言的奇偶對稱性以及對半周期而言的奇諧函數和偶諧函數共四類情況。圖1示出了連續實周期信號在上述四類對稱性情況下傅里葉級數對應的頻譜類型。

1）連續實偶周期信號的傅里葉級數

當周期信號[ft]為實偶函數時，其頻譜為實偶函數，有[Fn=F?n=F-n]，FS展開式中無正弦項，僅包含余弦項，可能包含直流分量。

證明：由于[ft=f?t]且[ft=f-t]，因此有：

[Fn=1TTfte-jnω0tdt=1T-T2T2fte-jnω0tdt=1T-T2T2ftcosnω0tdt=2T0T2ftcosnω0tdt=F?n=F-n]

2）連續實奇周期信號的傅里葉級數

同理，周期信號[ft]為實奇函數時，其頻譜為虛奇函數，有[Fn=-F-n]，FS展開式中無直流分量，也無余弦項，僅包含正弦項。

證明：由于[ft=f?t]且[ft=-f-t]，有：

[Fn=1TTfte-jnω0tdt=1T-T2T2fte-jnω0tdt=-j1T-T2T2ftsinnω0tdt=-j2T0T2ftsinnω0tdt=-F-n]

3）連續、實奇諧信號的傅里葉級數

若周期信號[ft]是實信號，同時滿足[ft=-ft±T2]時，稱該類信號為奇諧信號，該類信號無直流分量和偶次諧波分量，僅含有奇次諧波分量。

證明：當信號是實信號，且滿足平移半周期后奇對稱時，有：

[Fn=1TTfte-jnω0tdt=1T0T2fte-jnω0tdt+1TT2Tfte-jnω0tdt=1T0T2fte-jnω0tdt-1TT2Tft-T2e-jnω0tdt=1T0T2fte-jnω0tdt-e-jnπ1T0T2fte-jnω0tdt=0，n=2m2T0T2fte-jnω0tdt，n=2m-1]

需要注意的是，部分連續實周期信號當去除直流分量后才是奇諧信號，在分析時需進行信號去直流的預處理，以方便后續的頻譜分析。

4）連續、實偶諧信號的傅里葉級數

同理，實周期信號[ft]滿足[ft=ft±T2]時，該信號中無奇次諧波分量，僅含有偶次諧波分量，可能包括直流分量，該類信號稱為偶諧信號。

證明：當信號是實信號，且滿足平移半周期后重合時，有：

[Fn=1TTfte-jnω0tdt=1T0T2fte-jnω0tdt+1TT2Tfte-jnω0tdt=1T0T2fte-jnω0tdt+1TT2Tft-T2e-jnω0tdt=1T0T2fte-jnω0tdt+e-jnπ1T0T2fte-jnω0tdt=0，n=2m-12T0T2fte-jnω0tdt，n=2m]

偶諧信號本質上周期減半，基波頻率是原來的兩倍，因此僅含有偶次諧波分量。

2.2 對稱性在離散實周期序列傅里葉級數分析中的應用

與連續周期信號類似，離散實周期序列，根據對稱性不同，其傅里葉級數對應的頻譜也包括四類情況，具體的如圖2所示。

1）離散實偶周期序列的傅里葉級數

根據DFS的共軛對稱性可得：實偶周期序列的DFS滿足：[Xk=X-k=X*-k]，即[Xk]是實偶序列。

2）離散實奇周期序列的傅里葉級數

同理，根據DFS的共軛對稱性等有：實奇周期序列的DFS滿足：[Xk=-X-k]，且[Xk]是純虛數序列。進一步，實奇周期序列的DFS展開式中無直流分量。

3）離散實、奇諧序列的傅里葉級數

當離散實周期序列滿足[xn=-xn±N2]、且[N]為偶數時稱為離散奇諧序列，即該類序列平移半周期后與原序列關于時間軸鏡像對稱。

此類序列其DFS中僅包含奇次諧波分量，不包含直流分量和偶次諧波分量。

證明：

[Xk=n=0N-1xne-j2πNnk=n=0N2-1xne-j2πNnk+n=N2N-1xne-j2πNnk=n=0N2-1xne-j2πNnk+n=N2N-1-xn-N2e-j2πNnk=n=0N2-1xne-j2πNnk-n=0N2-1xme-j2πNm+N2k=n=0N2-11--1kxne-j2πNnk=n=0N2-12xne-j2πNnk，k=2m-10 ，k=2m]

即此類實周期序列不存在偶次諧波分量，只包含奇次諧波分量。同時，該類序列也不存在直流分量，但有些實周期序列在去除直流分量后可轉變為奇諧序列，只要進行如下預處理即可：

[xn-1Nn=0N-1xn=xn-1NX0]? ? ?（13）

4）離散實、偶諧序列的傅里葉級數

類似地 ，若離散實周期序列滿足[xn=xn±N2]，且[N]為偶數時稱為離散偶諧序列，此時序列的實際周期已減半為[N2]。該類序列的DFS中僅包含偶次諧波分量，不包含奇次諧波分量。

證明：

[Xk=n=0N-1xne-j2πNnk=n=0N2-1xne-j2πNnk+n=N2N-1xne-j2πNnk=n=0N2-1xne-j2πNnk+n=N2N-1xn-N2e-j2πNnk=n=0N2-1xne-j2πNnk+m=0N2-1xme-j2πNm+N2k=n=0N2-11+-1kxne-j2πNnk=n=0N2-12xne-j2πNnk，k=2m0 ，k=2m-1]

即此類序列不存在奇次諧波分量，只有偶次諧波分量，原因是此時周期序列其實際的基波頻率是原來的兩倍導致不可能存在奇數次諧波分量。

通過上述總結可見，連續和離散周期信號的傅里葉級數有相似的性質。它們的主要差別在于離散序列的頻譜是周期譜，這是由于時域中連續信號采樣導致的。

3 舉例與分析

為驗證上述實周期信號的對稱性和傅里葉級數的相關結論，我們分別舉例說明。并對比連續和離散信號的傅里葉級數，闡述二者的聯系與區別。

3.1? 連續實周期信號的FS分析舉例

在下列例題中我們首先定義脈沖信號：

[Gτt=ut+τ2-ut-τ2] ? ? （14）

例題１：已知如圖3所示的連續實周期信號：[ft=n=-∞+∞G4t-8n]，求其傅里葉級數。

解：該信號是實偶連續周期信號，同時去除直流分量后也是奇諧信號，故其FS是實偶信號，且僅包含奇次諧波余弦項和直流分量。利用公式（6）有：

[G4t?4Sa2ωFn=1TF0jnω0=18×4Sa2n×2π8=12Saπn2]

因此該信號的FS展開式為：

[ft=n=-∞+∞12Saπn2ejnπ4t=12+n=1+∞Saπn2cosnπ4t]

其FS的幅度譜如圖4所示，其中紅色曲線是信號[G4t]的連續譜，可見周期信號[ft]的FS頻譜是對其的采樣，而本信號中僅包含直流和奇次諧波分量。

例題2：已知如圖5所示的連續實周期信號：[ft=n=-∞+∞ut+2-4n-2ut-4n+ut-2-4n]，求其傅里葉級數。

解：該信號是實奇信號，同時也是奇諧信號，因此其FS中僅包含奇次諧波正弦項、無直流分量，且其FS是純虛信號（注：該題解法不唯一，此處僅考慮對稱性的應用）。利用公式（6）有：

[ut+2-2ut+ut-2?2Saω×2jsinωFn=1TF0jnω0=14×4jSan×2π4sinn×2π4=jSaπn2sinπn2]

因此該信號的FS展開式為：

[ft=n=-∞+∞jSaπn2sinπn2ejnπ2t=2jn=1+∞Saπn2sinπn2sinnπ2t]

其FS的幅度譜如圖6所示，其中紅色曲線是信號[ut+2-2ut+ut-2]的幅度譜，可見周期信號[ft]的FS頻譜是對其的采樣，而本信號中僅包含奇次諧波分量。

3.2? 離散實周期序列的DFS分析舉例

例題3：已知如圖7所示的離散實周期序列：[xn=m=-∞+∞R5n+2-9m]，求其離散傅里葉級數。

解：該離散實周期序列是偶對稱序列，因此根據前述結論可得：該序列的DFS是實偶信號。利用公式（11）（12）有：

[R5n+2?sin52ωsinω2Xk=Xejωω=2πNk=sin52×2π9ksin12×2π9k=sin5π9ksinπ9k]

[xn=19k=08sin5π9ksinπ9kej2π9nk]

其DFS的幅度譜如圖8所示，其中紅色曲線是非周期序列[R5n+2]的連續周期幅度譜，可見周期序列[xn]的DFS頻譜是對前者的采樣，且是實偶頻譜。

例題4：已知如圖9所示的離散實周期序列：[xn=m=-∞+∞R4n-8m]，求其離散傅里葉級數。

解：該離散實周期序列的直流分量為0.5，去除后的序列是奇諧信號，因此根據前述結論可得：該序列的DFS中只有奇次諧波分量和直流分量。利用公式（11）（12）有：

[xn=18k=07e-j38πksinπ2ksinπ8kej2π8nk]

其DFS的幅度譜如圖10所示，其中紅色曲線是非周期序列[R4n]的連續周期幅度譜，可見周期序列[xn]的DFS頻譜是對前者的采樣，本序列僅包含直流分量和奇次諧波分量。

4 結束語

總結并梳理了實周期信號的傅里葉級數分析中，信號對稱性導致的一般性結論，本文討論了信號的奇偶對稱性和奇諧信號、偶諧信號四類情況。應用上述對稱性可以在傅里葉級數分析中簡化運算，為后續分析周期信號通過線性時不變系統提供基礎。此外，我們還對比了連續和離散周期信號傅里葉級數的聯系和區別。

參考文獻：

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[2] 王靜，楊玲君，劉開培.基于工程實例的DFT教學實踐與探索[J].電氣電子教學學報，2021，43（1）：69-72.

[3] 童曉兵，徐以濤，張玉明.“數字信號處理”課程中共軛對稱性的探討[J].電氣電子教學學報，2014，36（3）：19-21.

[4] A.V.奧本海姆. 離散時間信號處理（第2版）[M]. 北京：電子工業出版社，2011.

[5] 程佩青.數字信號處理教程Matlab版[M].5版.北京：清華大學出版社，2017.

【通聯編輯：王力】