巧用非負性解題

劉繼征山東省高級教師。從事初中數學教學和數學奧林匹克競賽輔導教學工作。多次獲得山東省數學競賽委員會頒發的優秀指導教師獎。在國內各種報刊上發表論文多篇。

實數中，實數a的絕對值︱a︱≥0、實數a的偶次方（a）2n≥0（其中n為正整數）、以及二次根式a≥0（其中a≥0）.利用實數的這種非負數性質解題，可起到化繁為簡，快捷求解的目的，現舉例加以說明.

1 利用二次根式的非負性解題

例1 若1x-2+5-x有意義，則x的取值范圍是.

分析 已知的代數式有意義，兩個被開方數x-2和5-x應都不小于0，但是x-2又充當分母，故x-2還須不等于0，只能大于0.這樣，可組成關于x的不等式組x-2>0，5-x≥0，求解該不等式組即可.

解 由題意，得

x-2>0，5-x≥0，

解得2

即為所求的x的取值范圍.

2 利用絕對值和二次根式的非負數性解題

例2 已知實數p滿足︱3-p︱+p-4=p，則p+14=.

分析 先利用二次根式求得p的取值范圍，再脫去絕對值符號，根據已知方程求得p的值，最后就可求得該二次根式的值了.

解 因為p-4≥0，

所以p≥4.

這樣原方程可變形為

p-3+p-4=p，

即p-4=3，

所以p-4=32，

則p=4+9=13，

所以p+14=27=33.

例3 已知;實數x，y滿足︱x+y+6︱+y2-4y+4=0，求代數式xy的值.

分析 由于︱x+y+6︱和y2-4y+4都是非負數，且其和為0，兩者都須是零，列出關于x，y的方程組，求解即可.

解 由題意，得

︱x+y+6︱≥0，和y2-4y+4≥0，

且兩者的和為0.

所以x+y+6=0，y2-4y+4=0，

解得x=-8，y=2.

因此xy=（-8）2=64.

3 利用完全平方數和二次根式的非負性解題

例4 已知實數x，y滿足23x+5y+2+（5x-y-6）2=0，求代數式x2021+y2022+（x+y）2023的值.

分析 利用二次根式和實數的偶次方均為非負數，可知

23x+5y+2≥0，

（5x-y-6）2≥0，

且其和為0，得出關于x、y的方程組，再求解該方程組即可.

解 由題意，知

23x+5y+2≥0，

（5x-y-6）2≥0，

且其和為0，

所以有3x+5y+2=0，5x-y-6=0，

解得x=1，y=-1，

則x+y=0.

因此x2021+y2022（x+y）2023

=12021+（-1）2022+02023=2.

注 這里構造出關于x，y的方程組是解題的關鍵.

4 利用二次根式的被開方數和二次根式的雙重非負性解題

例5 已知實數x，y和m滿足

5x+4y-4-a+4x+3y+a

=x-4048+y-4048-x-y，

求a的值.

分析 根據等式右邊的二次根式，可得出x+y的值，變形原方程，并得出a與x+y的關系，求出a的值.

解 根據題意，得

x-4048+y≥0，

4048-x-y≥0，

所以x+y=4048.

這樣，原等式可變形為

5x+4y-4-a+4x+3y+a=0，

而5x+4y-4-a≥0，

4x+3y+a≥0，

且其和等于0，

所以有 5x+4y-4-a=0，4x+3y+a=0，①②

由①-②得

x+y-4-2a=0，

即4048-4-2a=0，

解得a=2022.

注 代入法及整體求解的數學思想方法是快捷求解本題的關鍵.