指數式的變化技巧

徐連升

1 化為同底數

例1 已知25x=2 000，80y=2 000，求1x+1y.

解 由25x=2 000，80y=2 000，可得

（25x）y=2 000y，（80y）x=2 000x，

即25xy=2 000y，80xy=2 000x，

二式相乘得2 000xy=2 000x+y，

所以xy=x+y，

所以1x+1y=x+yxy=1.

2 化為同指數

例2 已知a=355，b=444，C=533，則有（）

（A）a

（C）c

解 因為a=355=（35）11，

444=（44）11，533=（53）11，

即a=24311，b=25611，c=12511，

因為256>243>125，

所以c

故選（C）.

3 因式分解法

例3 求證：對于任何整數x和y，下式的值不會等于33：

x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5.

證明 當y=0時，原式=x5≠33.

當y≠0時，原式

=（x5+3x4y）-（5x3y2+15x2y3）+（4xy4+12y5）

=x4（x+3y）-5x2y2（x+3y）+4y4（x+3y）

=（x+3y）（x4-5x2y2+4y4）

=（x+3y）（x2-y2）（x2-4y2）

=（x+3y）（x-y）（x+y）（x-2y）（x+2y），

當y≠0時，x+3y，x-y，x+y，x-2y，x+2y互不相同，而33不可能分解為3個以上因式的積，所以原式不會等于33.

4.錯位相減法

例4 觀察下列運算過程：

S=1+3+32+33+…+32015，①

①×3，得 3S=3+32+33+…+32016，②

②-①，得2S=32016-1，S=32016-12.

根據上面的計算方法計算：

1+5+52+53+…+52015.

解 設S=1+5+52+53+…+52015，①

①×5，得 5S=5+52+53+…+52016，②

②-①，得 4S=52016-1，S=52016-14，

即1+5+52+53+…+52015=52016-14.

5.整體代入法

例5 設二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，記S1=x1+1993x2，S2=x21+1993x22，…，xn=xn1+1993xn2，則aS1993+bS1992+cS1991=.

解 因為x1，x2是方程ax2+bx+c=0的兩根，所以ax21+bx1+c=0，

ax22+bx2+c=0.

所以原式

=a（x19931+1993x19932）+b（x19921+1993x19922）+c（x19911+199319912）

=（ax19931+bx19921+cx19911）+（1993ax19932+1993bx19922+1993cx19912）

=x19911（ax21+bx1+c）+1993x19912（ax22+bx2+c）

=0.

6.巧取特殊值

例6 m，n，p，q為自然數，對一切x>0，（x+1）mxn-1=（x+1）pxq恒成立，則（m2+2n+p）2q=.

解 由于（x+1）mxn-1=（x+1）pxq對一切x>0恒成立，取x=1，則有2m-1=2p，

由于2p≠0，2m-1為奇數，因此m=1，p=0.

再取x=2，則有32n-1=12q，

即3-2n=2n-q，

當n>q時，則上式左邊為奇數，右邊為偶數，矛盾.

當n

所以只能n=q=1，

于是原式=32=9.

7.巧用乘法

例7 若x，y，z，w為整數，且x>y>z>w，2x+2y+2z+2w=2058，求（x+y+z+w-1）2010的值.

解 已知等式兩邊同乘以8，得

2x+3+2y+3+2z+3+2w+3=165，

因為x>y>z>w且為整數，

所以x+3>y+3>z+3>w+3，且為整數，

因165為是奇數，

所以w+3=0，

所以w=-3.

所以2x+3+2y+3+2z+3=164，

所以2x+1+2y+1+zz+1=41，

所以z+1=0，z=-1.

所以2x+1+2y+1=40，

兩邊都除以8，得

2x-2+2y-2=5，

所以y-2=0，y=2.

所以2x-2=4，

所以x-2=2，x=4.

所以原式=（4+2-1-3-1）2010=1.

8.配方法

例8 求證：x4+y4+z4-2x2y2-2x2z2-2y2z2能被x+y+z整除.

證明 原式

=x4+2x2y2+y4-（2x2z2+2z2y2）+z4-4x2y2

=（x2+y2）2-2z2（x2+y2）+z4-4x2y2

=（x2+y2-z2）2-（2xy）2

=（x2+2xy+y2-z2）（x2-2xy+y2-z2）

=[（x+y）2-z2][（x-y）2-z2]

=（x+y+z）（x+y-z）（x-y+z）（x-y-z），

所以x4+y4+z4-2x2yx2-2xx2zx2-2yx2zx2能被x+y+z整除.