勾股定理在實際問題中的應用舉例

李念祖 王鵬程

李念祖現任教于金昌市第三中學，高級教師。于2017年9月被甘肅省人民政府授予“甘肅省優秀班主任”、“園丁獎”，主持參與省級課多項，撰寫論文多篇。

王鵬程現任教于甘肅省金昌市第三中學，中學高級教師，教育碩士學位。擔任中學數學教學及班主任工作二十年，有豐富的理論知識和教學經驗，曾在國內知名期刊上發表論文二十余篇。

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，把數與形統一了起來，利用勾股定理可以解決實際生活中的許多問題，從數學應用的角度使學生了解到數學的發展主要依賴于生產實踐.本文通過以下幾種類型的實例說明勾股定理就在我們的身邊，數學與實際生活是緊密相連，融于一體的.

類型1 構造直角三角形直接應用勾股定理

例1

如圖1所示，甲貨船以16海里/小時的速度從港口A出發向東北方向航行，另一輪船乙以12海里/小時的速度從港口A出發向東南方向航行，離開港口3小時后，甲、乙兩輪船相距多少海里？

解 如圖2所示，

因為兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，

所以∠BAC=90°，

在Rt△BAC中，

AB=16×3=48，

AC=12×3=36，

所以BC=AB2+AC2

=482+362

=60（海里）.

所以甲、乙兩輪船相距60海里.

例2 八（2）班小明和小亮同學學習了勾股定理之后，為了測得風箏的高度CE，如圖3，他們進行了如下操作：

①測得BD的長度為15米;（注：BD⊥CE）

②根據手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長為25米;

③牽線放風箏的小明身高1.6米.

求風箏的高度CE.

解 在Rt△CDB中，

由勾股定理，得

CD=CB2-BD2=252-152=20，

所以CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米），

故風箏的高度CE為21.6米.

注 利用勾股定理解決實際問題時，首先找出直角三角形，把實際問題中的數值轉化為直角三角形的三邊長，把實際問題轉化為數學問題，從而用勾股定理解決數學問題.

類型2 構造直角三角形，連續應用勾股定理

例3如圖4，一架2.5m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2m，如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？

解 由題意有

∠AOB=90°，

在Rt△AOB中，

OB=AB2-BO2

=2.52-22

=1.5，

因為AC=0.5，

所以OC=OA-AC=2-0.5=1.5，

在Rt△ODC中，

OD=CD2-OC2

=2.52-1.52

=2，

所以BD=OD-OB=2-1.5=0.5（m），

所以梯子底端也外移0.5m.

例4 如圖5所示，有一根長70cm的木棒，要放在長、寬、高分別是50cm，30cm，40cm的長方體木箱中，能放進去嗎？為什么？

圖5圖6

解 能放進去，理由如下：

如圖6所示，連接A1C1，AC1，

在Rt△A1B1C1中，

A1C21=A1B21+B1C21

=502+302

=3400，

在Rt△AA1C1中，

AC21=AA21+A1C21

=402+3400

=5000，

因為5000>702，

所以A1C1>70，

所以70cm長的木棒能放進木箱中.

注 解決此類問題時，連續運用了勾股定理，通常通過第一次在其中一個三角形中應用勾股定理，求出另一個直角三角形邊長，為下一次應用勾股定理創造了的條件.

類型3 構造直角三角形，應用勾股定理列方程

例5 小明想知道學校旗桿的高，他發現旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下端拉開5米后，發現下端剛好接觸地面，求旗桿的高度.

圖7

解 如圖7，設旗桿的高AB為x米，則繩子AC的長為（x+1）米，

在Rt△ABC中，

BC=5，

因為AB2+BC2=AC2，

所以x2+52=（x+1）2，

解得x=12，

所以AB=12.

所以旗桿的高是12米.

例6 這是一道成書于公元前一世紀，距今約兩千年的《九章算術》中記錄的一道古代趣題：

原題：“今有池，方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”

圖8

這個問題的意思是：如圖8所示，有一個水池，水面是一個邊長為1丈（10尺）的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各是多少？

圖9

解 如圖9所示，由題意可知

AC=1，

AB=5，

OB=OC.

設OA=x，則

OB=OA+AC=x+1.

在Rt△OAB中，

OA2+AB2=OB2，

所以x2+52=（x+1）2.

解得x=12.

所以x+1=12+1=13，

所以水深12尺，蘆葦長13尺.

注 利用勾股定理求線段的長時，往往利用勾股定理中的等量關系列出方程來解決實際問題.另外，當問題中沒有給出直角三角形時，常常通過作輔助線構造直角三角形，將問題轉化為直角三角形的問題.

類型4 把立體圖形側面展開成平面圖形后應用勾股定理

例7 圖10

一個圓柱形油罐，如圖10所示，要從A點環繞油罐建梯子到B點，B點在A點的正上方，已知油罐的周長為12m，AB長為5m，問：所建梯子最短需多少米？

解 把圓柱形油罐的側面沿AB展開成平面圖形，連接AB，如圖11所示是展開圖的一部分，圖11

因為AC=12，

BC=5，

所以AB=AC2+BC2

=122+52

=13（m），

所以梯子最短需要13m.

圖12

例8 如圖12所示，長方體的底面邊長為4cm，寬為2cm，高為5cm.若一只螞蟻從P點開始經過4個側面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長是cm.

解 如圖13所示，把長方體的側面沿PQ展開成平面圖形，

因為長方體的底面邊長分別為2和4，高為5. 圖13

所以PA=4+2+4+2

=12，

QA=5，

所以PQ=PA2+QA2

=122+52

=13（cm）.

所以螞蟻爬行的最短路徑長為13cm.

注 解決此類為題的關鍵是把立體圖形展開成平面圖形，根據兩點之間線段最短確定最短路線，從而利用勾股定理解決問題.