二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問(wèn)題4例

陳毅貞任教于廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)，碩士研究生，中學(xué)二級(jí)教師，現(xiàn)主要研究初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)，多次獲“區(qū)優(yōu)秀教師”稱號(hào)。

二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問(wèn)題不論在初中或高中都是常考的內(nèi)容. 此類問(wèn)題一般分為四類：定軸定區(qū)間、定軸動(dòng)區(qū)間、動(dòng)軸定區(qū)間、動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間. 解題步驟可歸納為：一、判斷二次函數(shù)開(kāi)口方向，二、求對(duì)稱軸，三、分類討論二次函數(shù)對(duì)稱軸與區(qū)間或區(qū)間中點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系，四、判斷圖象在閉區(qū)間的單調(diào)性，五、求得最值. 下面舉例說(shuō)明.

1 定軸定區(qū)間二次函數(shù)的最值問(wèn)題

例1 已知二次函數(shù)y=x2-x-2，求函數(shù)在-1≤x≤1上的最大值.

解 由y=x2-x-2可知二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=-b2a=12.

因?yàn)?1≤x≤1，

所以對(duì)稱軸在閉區(qū)間內(nèi)部，當(dāng)-1≤x≤12時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)12

方法1 判斷對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的遠(yuǎn)近，近小遠(yuǎn)大.

因?yàn)?-12<12-（-1），

所以當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得最大值，即ymax=0.

方法2 判斷對(duì)稱軸與區(qū)間中點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系，區(qū)間中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

x=-1+12=0.

因?yàn)?<12，

所以當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得最大值，

即ymax=0.

2 定軸動(dòng)區(qū)間二次函數(shù)的最值問(wèn)題

例2 已知二次函數(shù)y=x2-2x+2，求函數(shù)在t≤x≤t+1上的最大值.

解 由y=x2-2x+2可知二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸x=-b2a=1.

方法1 根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系，分三類情況討論：對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊、內(nèi)部、右邊.

（1）軸在區(qū)間右：當(dāng)t+1<1，即t<0時(shí)，函數(shù)y在t≤x≤t+1上隨著x的增大而減小. 所以當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)取得最大值，即ymax=t2-2t+2.

（2）軸在區(qū)間內(nèi)：當(dāng)t≤1≤t+1，即0≤t≤1時(shí)，

①當(dāng)t+1-1≤1-t，即0≤t≤12時(shí)，

當(dāng)x=t時(shí)函數(shù)取得最大值，即ymax=t2-2t+2.

②當(dāng)t+1-1>1-t，即12

ymax=（t+1）2-2（t+1）+2=t2+1.

（3）軸在區(qū)間左：當(dāng)t>1時(shí)，函數(shù)y在t≤x≤t+1上隨著x的增大而增大. 所以當(dāng)x=t+1時(shí)，函數(shù)取得最大值，即

ymax=（t+1）2-2（t+1）+2=t2+1.

綜上所述，函數(shù)的最大值

ymax=t2+1，t>12，t2-2t+2，t≤12.

方法2 根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間中點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系，分兩種情況討論. 因?yàn)閰^(qū)間中點(diǎn)的橫坐標(biāo)

x=t+t+12=t+12，

所以（1）軸在中點(diǎn)右：當(dāng)t+12≤1，即t≤12時(shí)，當(dāng)x=t時(shí)函數(shù)取得最大值，即ymax=t2-2t+2.

（2）軸在中點(diǎn)左：當(dāng)t+12>1，即t>12時(shí)，當(dāng)x=t+1時(shí)函數(shù)取得最大值，即

ymax=（t+1）2-2（t+1）+2=t2+1.

綜上所述，函數(shù)的最大值

ymax=t2+1，t>12，t2-2t+2，t≤12.

3 動(dòng)軸定區(qū)間二次函數(shù)的最值問(wèn)題

例3 已知二次函數(shù)y=x2+ax+3，求函數(shù)在-1≤x≤1上的最大值.

解 由y=x2+ax+3可知二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=-a2.

方法1 根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系，分三類情況討論：對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊、內(nèi)部、右邊：

（1）軸在區(qū)間右：當(dāng)1<-a2，即a<-2時(shí)，函數(shù)y在-1≤x≤1上隨著x的增大而減小. 所以當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得最大值，即

ymax=4-a.

（2）軸在區(qū)間內(nèi)：當(dāng)-1≤-a2≤1，

即-2≤a≤2時(shí)，

①當(dāng)1--a2≤-a2-（-1），即-2≤a≤0時(shí)，當(dāng)x=-1函數(shù)取得最大值，即ymax=4-a.

②當(dāng)1--a2>-a2-（-1），即0

（3）軸在區(qū)間左：當(dāng)-a2<-1，即a>0時(shí)，函數(shù)y在-1≤x≤1上隨著x的增大而增大，所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值，即ymax=4+a.

綜上所述，ymax=4-a，a≤0，4+a，a>0.

方法2 根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間中點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系，分兩種情況討論. 因?yàn)閰^(qū)間中點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=-1+12，所以

（1）軸在中點(diǎn)右：當(dāng)0≤-a2，即a≤0時(shí)，當(dāng)x=-1函數(shù)取得最大值，即ymax=4-a.

（2）軸在中點(diǎn)左：當(dāng)-a2<0，即a>0時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值，即ymax=4+a.

綜上所述，ymax=4-a，a≤0，4+a，a>0.

4.動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間二次函數(shù)的最值問(wèn)題

例4 已知二次函數(shù)y=x2-2（2t+1）x+1，求函數(shù)在t≤x≤t+2上的最大值.

解 由y=x2-2（2t+1）x+1可知二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=2t+1.

方法1 討論對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系，分三類情況討論：對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊、內(nèi)部、右邊：

（1）軸在區(qū)間右：當(dāng)t+2<2t+1，即t>1時(shí)，函數(shù)y在t≤x≤t+2上隨著x的增大而減小. 所以當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)取得最大值，即

ymax=t2-2（2t+1）t+1=-3t2-2t+1.

（2）軸在區(qū)間內(nèi)：當(dāng)t≤2t+1≤t+2，即-1≤t≤1時(shí)，判斷對(duì)稱軸與兩個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的遠(yuǎn)近，近小遠(yuǎn)大.

①當(dāng)t+2-（2t+1）≤2t+1-t，即0≤t≤1時(shí)，

當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)取得最大值，即

ymax=t2-2（2t+1）t+1=-3t2-2t+1.

②當(dāng)t+2-（2t+1）>2t+1-t，即-1≤t<0時(shí)，

當(dāng)x=t+2時(shí)，函數(shù)取得最大值，即

ymax=（t+2）2-2（2t+1）（t+2）+1

=-3t2-6t+1.

（2）軸在區(qū)間左：當(dāng)2t+1

ymax=（t+2）2-2（2t+1）（t+2）+1

=-3t2-6t+1.

綜上所述，ymax=-3t2-2t+1，t≥0，-3t2-6t+1，t<0.

方法2 判斷對(duì)稱軸在區(qū)間中點(diǎn)的左邊或右邊.因?yàn)閤=t+t+22=t+1，所以

①軸在中點(diǎn)右：當(dāng)t+1≤2t+1，即0≤t≤1時(shí)，

當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)取得最大值，即

ymax=t2-2（2t+1）t+1

=-3t2-2t+1.

②軸在中點(diǎn)左：當(dāng)2t+1

當(dāng)x=t+2時(shí)，函數(shù)取得最大值，即

ymax=（t+2）2-2（2t+1）（t+2）+1

=-3t2-6t+1.

綜上所述，ymax=-3t2-2t+1，t≥0，-3t2-6t+1，t<0.

解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于分類討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系或?qū)ΨQ軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系. 本文對(duì)二次函數(shù)在閉區(qū)間求最值的幾類情況進(jìn)行歸納總結(jié)，從變化中發(fā)現(xiàn)不變性，動(dòng)中取定，多題一解，以期提高學(xué)生的歸納和解題能力.