從一題多解看中點的常見用法

杜會久石家莊市第四十中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科一級教師，區(qū)骨干教師，所帶的學(xué)生多次在希望杯、華杯賽中獲獎，在各類國家級、省級刊物中發(fā)表多篇文章。

“中點”是初中階段幾何題目中非常常見的一個已知條件，它的用法比較多，也比較靈活，相關(guān)的基本圖形也比較多.下面借助一道幾何題目的多種解法來對中點的各種用法進(jìn)行簡單的介紹.

圖1

例 如圖1，已知AB=AC=BE，CD為△ABC中AB邊上的中線，求證：CE=2CD.

1 倍長中線，構(gòu)造中心對稱的全等三角形

證法1

如圖2，延長CD至點F，使DF=CD，連接AF，則

CF=2CD，圖2

在△ADF和△BDC中，

AD=BD，∠ADF=∠BDC，CD=DF，

所以△ADF≌△BDC，

所以AF=BC，

∠FAD=∠CBD，

所以AF∥BC，

所以∠ FAC+∠ACB=180°，

因為AB=AC，

所以∠ ABC=∠ ACB，

又因為∠ ABC +∠CBE=180°，

所以∠ FAC=∠CBE，

又因為AF=BC，AC=BE，

所以△FAC≌△CBE，

所以CF=CE，

又因為CF=2CD，

所以CE=2CD.

圖3

證法2 如圖3，延長CD至點F，使DF=CD，連接BF，則

CF=2CD，

在△ADC和△BDF中，

AD=BD，∠ADC=∠BDF，CD=DF，

所以△ADC≌△BDF，

所以BF=AC=BE，

∠CAD=∠FBD，

所以BF∥AC，

所以∠ FBC+∠ ACB=180°，

因為AB=AC，

所以∠ ABC=∠ACB，

又因為∠ ABC+∠EBC=180°，

所以∠ FBC=∠EBC，

又因為BF=BE，BC=BC，

所以△FBC≌△EBC，

所以CF=CE，

又因為CF=2CD，

所以CE=2CD.

2 倍長已知線段得第二個中點，構(gòu)造中位線

證法3 圖4

如圖4，延長AC至點F，使CF=AC，連接BF，則

AF=2AC=2AB，

因為AB= BE，

所以AF=AE，

在△ABF和△ACE中，

AB=AC，∠A=∠A，AF=AE，

所以△ABF≌△ACE，

所以BF=CE，

因為AD=DB，CF=AC，

所以BF=2CD，

所以CE=2CD.

（本證法中也可以借助△BCF≌△CBE來證明BF=CE）

圖5

證法4 如圖5，延長BC至點F，使CF=BC，連接AF，

因為AD=DB，

CF=BC，

所以AF=2CD，

因為AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB，

所以∠EBC=∠ACF，

在△EBC和△ACF中，

BE=AC，∠EBC=∠ACF，BC=CF，

所以△EBC≌△ACF，

所以CE=AF，

又因為AF=2CD，

所以CE=2CD.

3 取第二個中點，構(gòu)造中位線

證法5 圖6

如圖6，取CE的中點F，連接BF，

因為AB=BE，

CF=FE，

所以BF=12AC=12AB，

又因為BD=12AB，

所以BF=BD，

因為AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB，

因為AB=BE，CF=FE，

所以BF∥AC，

所以∠CBF=∠ACB，

所以∠CBF=∠ABC，

在△CBF和△CBD中，

BF=BD，∠CBF=∠ABC，BC=BC，

所以△CBF≌△CBD，

所以CF=CD，

又因為CE=2CF，

所以CE=2CD.

圖7

證法6 如圖7，取AC的中點F，連接BF，

因為AB=BE，

AF=FC，

所以BF=12CE，

因為AB=AC，

所以∠ABC=∠ACB，

因為BD=12AB，

CF=12AC，

所以BD=CF，

在△DBC和△FCB中，

BD=CF，∠ABC=∠ACB，BC=CB，

所以△DBC≌△FCB，

所以CD=BF，

又因為BF=12CE，

所以CE=2CD.

4.過已知中點作平行線，構(gòu)造平行線等分線段定理的基本圖形

證法7 如圖4，過點B作BF∥DC交AC的延長線于點F，

因為AD=DB，BF∥DC，

所以AC=CF，

所以AF=2AC=2AB=AE，

在△ABF和△ACE中，

AB=AC，∠A=∠A，AF=AE，

所以△ABF≌△ACE，

所以BF=CE，

因為AD=DB，CF=AC，

所以BF=2CD，

所以CE=2CD.