圓的“切線”在中考

李孝英中教一級教師，1998年畢業(yè)于山東師范大學(xué)，1998年至今在山東省棗莊市第二中學(xué)從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作， 棗莊市骨干教師，曾獲得棗莊市優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)，師德標(biāo)兵。

在歷年各地的中考試卷中，有關(guān)圓的證明與計(jì)算型問題中，多數(shù)都涉及圓的切線，總結(jié)起來主要有以下幾種題型.

題型1 直線與圓位置關(guān)系的判定

例1 已知平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA=3cm，OB=2cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（）

（A）相離. （B）相交.

（C）相切.（D）相交或相切.

分析 根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷.

解 ⊙O的半徑為2cm，線段

OA=3cm，OB=2cm，

即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，

所以點(diǎn)A在⊙O外，點(diǎn)B在⊙O上，

所以直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，

故選（D）.

題型2 利用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明

例2 圖1

如圖1，在△ABC中，AB=6，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓與邊BC相切于點(diǎn)D，與AC，AB分別交于點(diǎn)E，G，點(diǎn)F是優(yōu)弧GE上一點(diǎn)，∠CDE=18°，則∠GFE的度數(shù)是（）

（A）50°.（B）48°.

（C）45°.（D）36°.

分析 要求圓周角∠GFE，可先求圓心角∠GAE，可以連接AD， 這樣∠GAE=∠GAD=∠DAE，而∠GAD可在Rt△BAD中求得，∠DAE可在等腰三角形ADE中求得.

圖2

解 如圖2，連接AD，因?yàn)锽C與⊙A相切于點(diǎn)D，

所以AD⊥BC，

所以∠ADB=∠ADC=90°，

因?yàn)锳B=6，

AG=AD=3，

所以AD=12AB，

所以∠B=30°，

所以∠GAD=60°，

因?yàn)椤螩DE=18°，

所以∠ADE=90°-18°=72°，

因?yàn)锳D=AE，

所以∠AED=∠ADE=72°，

所以∠DAE=180°-∠ADE-∠AED

=180°-72°-72°

=36°，

所以∠GAE=∠BAD+∠DAE

=60°+36°

=96°，

所以∠GFE=12∠GAE=12×96°=48°，

故選（B）.

題型3 利用添加輔助線來輔助證明圓的切線

例3 圖3

如圖3，O為線段PB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB長為半徑的⊙O交PB于點(diǎn)A，點(diǎn)C在⊙O上，連接PC，滿足PC2=PA·PB.

（1）求證：PC是⊙O的切線;

（2）若AB=3PA，求ACBC的值.

分析 （1）已知條件PC2=PA·PB可轉(zhuǎn)化為

PAPC=PCPB，

能說明△PAC∽△PCB，

再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等以及直徑所對的圓周角是直角證明過點(diǎn)C的半徑OC⊥PC.

（2）由AB=3PA可得PB=4PA，OA=OC=1.5PA，根據(jù)勾股定理求出PC=2PA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出ACBC的值.

圖4

解 （1）如圖4，連接OC.

因?yàn)镻C2=PA·PB，

所以PAPC=PCPB，

因?yàn)椤螾=∠P，

所以△PAC∽△PCB，

所以∠PCA=∠B，

因?yàn)椤螦CB=90°，

所以∠CAB+∠B=90°，

因?yàn)镺A=OC，

所以∠CAB=∠OCA，

所以∠PCA+∠OCA=90°，

所以O(shè)C⊥PC，

所以PC是⊙O的切線.

（2）因?yàn)锳B=3PA，

所以PB=4PA，

OA=OC=1.5PA，

PO=2.5PA，

因?yàn)镺C⊥PC，

所以PC=PO2-OC2=2PA，

因?yàn)椤鱌AC∽△PCB，

所以ACBC=PCPB=2PA4PA=12.

題型4 切線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用

例4 圖5

如圖5，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)A作⊙O的切線AC，點(diǎn)P是射線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，過點(diǎn)B作BD∥OP，交⊙O于點(diǎn)D，連接PD.

（1）求證：PD是⊙O的切線;

（2）當(dāng)四邊形POBD是平行四邊形時(shí)，求∠APO的度數(shù).

分析 （1）要證PD是⊙O的切線，應(yīng)證明OD⊥PD，而由已知得∠PAO=90°，可考慮證明△PAO≌△PDO.

（2）根據(jù)全等得出PA=PD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出PD=OB，求出PA=OA，再求出答案即可.

圖6

解 （1）如圖6，連接OD，

因?yàn)镻A切⊙O于點(diǎn)A，

所以PA⊥AB，

即∠PAO=90°，

因?yàn)镺P∥BD，

所以∠DBO=∠AOP，

∠BDO=∠DOP，

因?yàn)镺D=OB，

所以∠BDO=∠DBO，

所以∠DOP=∠AOP.

在△AOP和△DOP中，

AO=DO，∠AOP=∠DOP，PO=PO，

所以△AOP≌△DOP（SAS），

所以∠PDO=∠PAO，

因?yàn)椤螾AO=90°，

所以∠PDO=90°，

即OD⊥PD，

所以PD是⊙O的切線;

圖7

（2）由（1）知：

△AOP≌△DOP，

所以PA=PD.

因?yàn)樗倪呅蜳OBD是平行四邊形，

所以PD=OB，

因?yàn)镺B=OA，

所以PA=OA，

因?yàn)椤螾AO=90°，

所以∠APO=∠AOP=45°.

上述幾種題型答題的核心問題是：

1.切線的判定方法有三種：①利用切線的定義，即與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線;②到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線;③經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

2.證明一條直線為圓的切線時(shí)，必須兩個(gè)條件缺一不可：①過半徑外端點(diǎn);②垂直于這條半徑.

3.常用輔助線的添加方法：①有切點(diǎn)連圓心，證垂直;②無切點(diǎn)作垂直，證相等.

4.利用切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)（勾股定理、三角函數(shù)等）進(jìn)行計(jì)算.