例談初中數學二次函數綜合性題目的解題技巧

季峰

【摘要】與二次函數相關的認知是人教版初中數學九年級上冊的重要內容，二次函數綜合性題目更是各市區中考中常見的壓軸題.這類綜合性題目主要考查學生的數學建模能力、抽象思維能力，通過題目的操練學生能有效地將零落的知識轉化為解決問題能力.問題是數學的心臟，對二次函數綜合性題目的研究能幫助學生挖掘題目中隱含的問題的本質，提升他們的解題技巧，進而進入二次函數的“心臟”.

【關鍵詞】二次函數;綜合性題目;解題技巧

教師指導學生掌握二次函數綜合性題目的一些解題技巧能開闊他們的思路，培養他們的創新能力，促進他們的數學素養.當學生能將二次函數中建構的圖形遷移到平時積累的模型中，在生題中找尋舊題，在多次發散與聯想中生成思路，那么他們就形成一定的解題技巧，進而在具體解題時如囊中探物.

1 與最值、定值相關的二次函數綜合性題目的解題技巧

在解決與最值、定值相關的二次函數綜合性題目時，教師先要讓學生復習初中階段有關線段最值的問題.就是通過簡單的圖形展示讓他們說出兩點之間線段最短;垂線段最短;在三角形中兩邊之和大于第三邊，求第三邊的最小值;還有綜合一點的，就是利用二次函數及其自變量取值范圍來求最值.

例1 已知拋物線C：y=ax2-2ax+c經過點C（1，2），與x軸交于A（-1，0）、B兩點，如圖1所示.

（1）求拋物線C的解析式;

（2）直線y=34x交拋物線C于S、T兩點，M為拋物線C上A、T之間的動點，過M點作ME⊥x軸于點E，MF⊥ST于點F，求ME+MF的最大值;

（3）如圖2，平移拋物線C的頂點到原點得拋物線C1，直線l：y=kx-2k-4交拋物線C1于P、Q兩點，在拋物線C1上存在一個定點D，使∠PDQ=90°，求點D的坐標.

對于第1問，利用待定系數法即可得出結論y=-12x2+x+32.

對于第2問，教師先讓學生討論，他們認為先要確定出ME，MF與t的關系，再建立ME+MF與t的函數關系式.他們設直線OT交ME于G，設M（t，-12t2+t+32），則ME=-12t2+t+32，G（t，34t），OG=54t，MG=-12t2+14t+32，sin∠OGE=sin∠MGF=45，MF=45MG=-25t2+15t+65，ME+MF=-910t2+65t+2710=-910（t-23）2+3110，

由y=34xy=x22+x+32得x1=-32x2=3，所以xS=-32，xT=3，且-32<32<3，且a<0，當t=23時，ME+MF的最大值為3110.對于第3問，如圖2所示：過D作E′F′∥x軸，作PE′⊥E′F′于E′，QF′⊥E′F′于F′，設D（a，b），P（x1，y1），Q（x2，y2），列方程組 y=kx-2k-4y=-12x2，得x2+2kx-4k-8=0進而求得x1+x2=-2k，x1x2=-4k-8.由題目中的平移條件，推出△PE′D∽△DF′Q，進而得，DE′·DF′=PE′·QF′，即，（a-x1）（x2-a）=（b-y1）（b-y2），所以，b=-12a2，y1=-12x21，y2=-12x22，最終求得（a+2）（a-2）-2k（a+2）=0.因為k為任意實數，所以a+2=0，a=-2，b=-2，最終D（-2，-2）.

2 與幾何動點相關的二次函數綜合性題目的解題技巧

動點問題可分為三個類型，動點問題、動線問題、動形問題，就動點問題而言，又可以分為單動點和雙動點.教師要讓學生在“動”中求“靜”， 進而化“動”為“靜”，把想知道的“量”用常量或含自變量的關系式表示出來.

例2 拋物線y=-x2+bx+c交x軸于點A（-4，0）和點B，交y軸于點C（0，4），如圖3所示.

（1）求拋物線的函數表達式;

（2）設點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D，當△ADC面積有最大值時，在拋物線對稱軸上找一點M，使DM+AM的值最小，求出此時M的坐標.

（3）點Q在直線AC上的運動過程中，是否存在點Q，使△BQC為等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

對于第1問，學生可以用待定系數法可求出拋物線解析式.學生由二次函數y=-x2+bx+c的圖象交x軸于點A（-4，0）和點B，交y軸于點C（0，4），就能列出式子

-16-4b+c=0

c=4，進而解得b=-3

c=4，所以二次函數的表達式為y=-x2-3x+4.對于第2問，教師先是引導學生分析解決這一問的要點是什么，學生發現要先求出直線AC的解析式，進而就可以求得由m表示的三角形ADC的面積.接著教師引導他們分析如何求得m的值.學生想到要先求D點坐標，這個由二次函數的性質可求出.教師提醒學生可再求出關于對稱軸的對稱點的坐標D1，求出直線AD1的解析式，進而求出M點的坐標.對于第3問，教師先是讓學生設出Q點的坐標，然后指導他們就CQ=BQ，BC=BQ、BC=CQ這三種情況進而討論，從而求解.學生先是設Q（a，a+4），因為C（0，4），B（1，0），所以CQ2=a2+a2=2a2，BQ2=（a-1）2+（a+4）2，BC2=42+12=17.第一種情況，當CQ=BQ時，a2+a2=（a-1）2+（a+4）2，即6a+17=0，解得a=-176，所以Q（-176，76）.第二種情況，當BC=BQ時，17=（a-1）2+（a+4）2，整理得2a2+6a=0，解得a=-3或a=0（不合題意舍去），所以Q（-3，1）.第三種情況，當BC=CQ時，2a2=1+16，整理得2a2=17，解得a=±342

，所以Q（342，4+342）或（-342，4342）.綜上所述，點Q的坐標為Q（342，4+342）或（342，4-342）或（-3，1）或（-176，76）.可見基于幾何動點相關的二次函數綜合性題目需要學生掌握運用待定系數法求函數的解析式的能力;需要他們能夠熟悉函數圖象上點的坐標特征;需要他們能夠計算三角形的面積、兩點間的距離公式;同時還需要他們學會運用分類討論思想和方程思想方法.教師需要在指導技巧的過程中不斷地培養他們這方面的素養.

參考文獻：

[1]許翠莉，王師森，于彬.“三會”視角下“二次函數與一元二次方程（1）”.教學實錄及評析[J].數學教學通訊. 2021，（29）.

[2]王亞莉.核心素養視角下數學問題解決能力提升策略與實踐——以“二次函數的概念”教學為例[J].數學教學通訊.2021，（29）.