基于元認(rèn)知理論的數(shù)學(xué)解題教學(xué)探究

黃少偉

【摘 要】 波利亞說(shuō)，“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)解題”.單墫教授認(rèn)為，“解題是一門實(shí)踐性的學(xué)問”.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)是加強(qiáng)解題的訓(xùn)練，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，面對(duì)具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題，展開持續(xù)性地探索，獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和解題的成就感，通過解決問題讓學(xué)生成為學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、主動(dòng)學(xué)習(xí)的人，

【關(guān)鍵詞】 元認(rèn)知理論;數(shù)學(xué)解題;課堂教學(xué)

1 解題教學(xué)現(xiàn)狀與原因剖析

很多學(xué)生都認(rèn)為數(shù)學(xué)“難，數(shù)學(xué)知識(shí)抽象難懂.學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，也面臨讀不懂、不會(huì)做等問題.因此，解題教學(xué)顯得尤為重要.結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為學(xué)生的解題困境有以下幾點(diǎn)原因：

1.1 新課教學(xué)時(shí)間縮短

教師為趕進(jìn)度而加快上課節(jié)奏，違背學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，對(duì)于大部分初中生來(lái)說(shuō)，短時(shí)間內(nèi)吸收不了大量抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，解題能力自然下降.

1.2 概念教學(xué)一筆帶過

概念課是每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的起始，學(xué)生解題錯(cuò)誤主要源于概念不清.例如，求解含參數(shù)的一元二次方程的取值范圍問題，需要考慮二次項(xiàng)系數(shù)a≠0的情況，學(xué)生會(huì)忽略而導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò);又如題目中呈現(xiàn)“作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B"，學(xué)生往往只會(huì)作圖，但不會(huì)運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)得出l是AB的垂直平分線，進(jìn)而難以解決后續(xù)問題.

1.3 “運(yùn)算能力”和“推理能力”差

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)是學(xué)會(huì)運(yùn)算和推理.運(yùn)算要正確、合理和迅速，推理要符合邏輯規(guī)則，分析好解題思路能大大加快解題的速度.

1.4 沒有預(yù)留充足時(shí)間給學(xué)生審題

課堂觀察發(fā)現(xiàn)，很多老師在解題教學(xué)時(shí)，學(xué)生沒有讀完題目就問“你有什么想法？”，學(xué)生一時(shí)答不上來(lái)，就說(shuō)“看來(lái)大家暫時(shí)沒有想法，下面我來(lái)講！教師急于求成的行為，久而久之會(huì)影響學(xué)生的解題和思考習(xí)慣. 2 元認(rèn)知理論 元認(rèn)知的概念最早由美國(guó)心理學(xué)家Flavell提出，他將元認(rèn)知定義為：反映或調(diào)節(jié)認(rèn)知活動(dòng)的任一方面的知識(shí)或者認(rèn)知活動(dòng).簡(jiǎn)言之，元認(rèn)知就是對(duì)認(rèn)知的認(rèn)知.元認(rèn)知分為元認(rèn)知知識(shí)、元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知監(jiān)控三個(gè)要素.

在解題教學(xué)中，元認(rèn)知知識(shí)指?jìng)€(gè)體在解決問題時(shí)，調(diào)動(dòng)通過學(xué)習(xí)或生活經(jīng)驗(yàn)積累的一般性知識(shí).個(gè)體間對(duì)元認(rèn)知知識(shí)的反應(yīng)存在差異，如在解決幾何的最值問題時(shí)，有些學(xué)生喜歡利用幾何直觀轉(zhuǎn)化求最值，而有一些學(xué)生喜歡通過建立坐標(biāo)系、構(gòu)造函數(shù)求最值.元認(rèn)知體驗(yàn)指?jìng)€(gè)體在解題時(shí)產(chǎn)生認(rèn)知和情感的體驗(yàn).如在解題時(shí)，通過啟發(fā)式問題，“題目的已知條件是什么？”“要求解的問題是什么？”“通過條件，可以得到什么小結(jié)論？”“為后續(xù)解決問題，有何幫助？”等幫助自己解題，元認(rèn)知監(jiān)控則是指主體在解題時(shí)，對(duì)自己的解題活動(dòng)進(jìn)行積極而自覺地監(jiān)視、控制和調(diào)節(jié)的過程，

波利亞提出在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以利用啟發(fā)式自我提問法，主要包括四個(gè)步驟：理解問題、擬定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃與回顧[1];喻平教授認(rèn)為解題歷程分為問題表征階段、問題解決過程、解題后反思[2].筆者結(jié)合理論與教學(xué)實(shí)踐，將解題教學(xué)整理為以下5個(gè)過程：審清題意，理解問題;聯(lián)想問題，找到突破口;設(shè)計(jì)方案;執(zhí)行方案;回顧與反思.

3 例談元認(rèn)知在解題教學(xué)中的應(yīng)用

通過上述分析，筆者將以具體的解題教學(xué)實(shí)例闡述元認(rèn)知理論在解題教學(xué)中的應(yīng)用.

案例 人教版教材九年級(jí)上冊(cè)P87例4改編

如圖l，圓O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交圓O于點(diǎn)D，求CD的長(zhǎng).

3.1 審清題意，理解問題

在解題前，一定要給學(xué)生留足時(shí)間思考.解題教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題的好習(xí)慣.在這個(gè)階段，學(xué)生充分理解題意，圈畫關(guān)鍵詞，幾何圖形標(biāo)記相等線段、相等角等.這里要引導(dǎo)學(xué)生，理清題目條件（包括顯性條件和隱形條件）是什么？目標(biāo)是什么？能畫一個(gè)草圖或使用其他記號(hào)簡(jiǎn)化問題嗎？

3.2 聯(lián)想問題，找到突破口

通過條件梳理，教師利用啟發(fā)式問題幫助學(xué)生聯(lián)想，找到解題的突破口，如：之前見過這個(gè)類型的問題嗎？你能發(fā)現(xiàn)一個(gè)用得上的定理嗎？可以從哪一個(gè)條件出發(fā)？

求CD前的準(zhǔn)備：利用勾股定理和等腰直角三角形可以求得BC=8 ，AD=BD=5，√2.

概念 角平分線、等腰、勾股定理求線段長(zhǎng)

聯(lián)想1 √ACD=45°是一個(gè)特殊角，可以利用特殊角，求長(zhǎng)度.

聯(lián)想2 CD是角平分線，可以利用角平分線的性質(zhì)定理.

聯(lián)想3 等腰直角三角形ADB，DA=DB.

3.3 設(shè)計(jì)方案

通過上述的聯(lián)想，設(shè)計(jì)方案，方案的設(shè)計(jì)依據(jù)是？預(yù)測(cè)可以執(zhí)行嗎？如果都能執(zhí)行，你會(huì)選擇哪一個(gè)？

方案1 以∠ACD=45°特殊角為切人點(diǎn)，作垂直，利用勾股定理求長(zhǎng)度.

方案2 以CD是角平分線為切入點(diǎn)，利用角平分線的性質(zhì)定理，構(gòu)造輔助線.

方案3 以DA=DB共點(diǎn)等長(zhǎng)為切入點(diǎn)，構(gòu)造旋轉(zhuǎn).

3.4 執(zhí)行方案

方案是否具有可操作性？實(shí)際操作時(shí)，是否碰壁？需要調(diào)整解題方向嗎？

3.5 回顧與反思

以上三種解法都各有優(yōu)點(diǎn)，直接解法簡(jiǎn)單明了;利用角平分線定理求長(zhǎng)度，設(shè)未知數(shù)會(huì)使解題過程更加清晰;利用共點(diǎn)等長(zhǎng)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，需利用內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)證明三點(diǎn)共線.對(duì)于不同的問題，結(jié)合已知條件，可以選擇不同的方案解決問題，

此題本質(zhì)是對(duì)直角的四邊形加一組等邊求長(zhǎng)度的問題，因此在解題教學(xué)的最后，可將題中的圓隱去，并改變其中部分條件，得到如下變式題，加深學(xué)生對(duì)此類問題的理解.

4 數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生利用元認(rèn)知解題的策略

元認(rèn)知理論認(rèn)為，人是積極主動(dòng)的機(jī)體，其主體意識(shí)監(jiān)控現(xiàn)在、計(jì)劃未來(lái)，有效地控制自己的思維和學(xué)習(xí)過程.教師如果能在解題教學(xué)中利用元認(rèn)知理論引導(dǎo)學(xué)生解題并進(jìn)行自我反思，那么學(xué)生不僅能掌握解決問題的突破口與方法，更快地解決問題，還能提高學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力，以下提供幾個(gè)教學(xué)策略.

4.1 有意識(shí)地運(yùn)用元認(rèn)知理論進(jìn)行解題教學(xué)

教師在解題教學(xué)中，運(yùn)用元認(rèn)知理論的5個(gè)階段，不斷追問，逐步引導(dǎo)學(xué)生解決問題，當(dāng)學(xué)生獨(dú)立解題時(shí)，也能潛移默化地使用元認(rèn)知理論，通過啟發(fā)式問題引導(dǎo)自己，提高解題的速度與正確率.

4.2教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)反思

解題教學(xué)中的最后一環(huán)是學(xué)會(huì)反思，通過解決問題的過程，幫助學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)鼗仡欁约旱乃季S過程，思維是否清晰、連貫、深刻，有沒有抓住問題的本質(zhì)與規(guī)律.也可以在教學(xué)中，嘗試學(xué)生的錯(cuò)誤想法，弄清弄懂錯(cuò)因，幫助學(xué)生理解易錯(cuò)點(diǎn)，引起反思.

4.3 注重變式與遷移

教師設(shè)計(jì)多方位、多角度的解題突破口，旨在殊途同歸的思維程序.在解題教學(xué)中，教師要精心創(chuàng)設(shè)一個(gè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，能激發(fā)學(xué)生求知欲的由淺人深的問題情境，啟發(fā)探索，誘導(dǎo)反思，養(yǎng)成多角度分析數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣，并在解題后，可以設(shè)計(jì)變式題，修改題中的條件，再次引發(fā)學(xué)生思考，提高學(xué)生的知識(shí)遷移能力，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

參考文獻(xiàn)：

[1]（美）波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)[M].北京：科學(xué)出版社，2001

[2]喻平.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2010