聚焦數學核心素養，培養學生數學思想
——以“植樹問題”為例

□廣州市黃埔區黃陂小學 莊琪

教育部提出的立德樹人的根本任務，是把核心素養和學業質量要求落實到各學科教學中。數學核心素養離不開數學的本質和數學思想，培養學生的數學思想，讓學生會用數學的眼睛觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界，是許多教師的目標。雖然不容易實施，但只要教師潛心教育，用心實施，一定能促進學生全面發展。

2014 年3 月，《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》印發，提出“各級各類學校要從實際情況和學生特點出發，把核心素養和學業質量要求落實到各學科教學中”。史寧中教授在《推進基于學科核心素養的教學改革》報告中指出，“學生核心素養的培養，最終要落在學科核心素養的培育上”。“數學核心素養”一詞也成為廣大數學教師耳熟能詳的詞，《義務教育數學課程標準（2011 年版）》明確提出了10 個核心素養，但卻沒有加以闡釋。馬云鵬教授認為“數學核心素養可以理解為學生學習數學應當達成的有特定意義的綜合性能力，核心素養不是指具體的知識與技能，也不是一般意義上的數學能力。

核心素養基于數學知識技能，又高于具體的數學知識技能。核心素養反映數學本質與數學思想，是在數學學習過程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性。”《禮記》中提到“君子之教，喻也。道而弗牽，強而弗抑，開而弗達。道而弗牽則和，強而弗抑則易，開而弗達則思。和易以思，可謂善喻矣。”“善喻”道出了教師的“教”的最高境界——教學生悟思想，教師的“舉一”，學生學會“反三”。數學課堂教學生知識——授之以魚，教學生解題方法——授之以漁，這些都可考查，可評價。授之以“喻”較前兩樣來說難多了，要靠學生在學習的過程中只可意會、不可言傳地悟出來。“喻”對于一線教師來說就是要重視數學課堂培養學生的數學思想。如何培養學生的思想是需要教師在課堂教學中解決的一個難題。史寧中教授指出：數學教育的終極目標是，一個人學習數學之后，即便這個人未來從事的工作和數學無關，也應當學會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界（以下簡稱“三會”），數學核心素養的確定要基于這個目標。下面，筆者以人教版五年級上冊數學廣角“植樹問題”為例，談談數學廣角中培養學生思想的一點見解。

一、設懸念，以疑促思

“學起于思，思源于疑”思維總是由于問題引起的，問題是思維的原動力。現在的學生學習知識有多種途徑，學生不再是白紙一張，而是擁有不同的見解。如何調動學生的學習興趣，引發學生的思考，也是教師需要考慮的問題。課堂伊始，教師開門見山地拋出問題“對于植樹問題，你已經知道些什么？你有什么問題？”“你知道其中的數學思想方法嗎？”個別學生在校外培訓機構學習了植樹問題的知識，但校外機構的學習更多的是讓學生記住公式，進行大量的解題訓練，讓學生掌握解題方法，對這部分知識能讓學生學到的數學思想方法并不重視。學生只知其然，卻不知其所以然，對所學內容更多地處在“授之以魚”的狀態，只會依葫蘆畫瓢，解決和所學例題一樣的類型題，稍做變化，便束手無策。教師可以通過提問，激起學生的好奇心，如植樹問題還有什么我們不知道的數學思想方法呢？讓學生帶著問題開始數學的探究之旅。

二、拋難題，化繁為簡

課本例題（見圖1）“同學們在全長100 米的小路一邊植樹，每隔5 米栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？”再通過學生的對話“每隔5 米栽1 棵，共栽100 ÷ 5=20（棵）”“對嗎？怎樣檢驗呢？”得出畫線段圖檢驗，“100 米太長了，可以先用簡單的數試試。”看例題這樣的編排，不由得引發筆者的思考：例題為什么要用100 米的數據，不用20 米作為例題路長的數據？從20 米開始，接著再驗證路長25 米、30 米……的植樹棵數，這樣不是由淺入深、循序漸進教學嗎？這里蘊含編者什么意圖？

圖1 教材例題圖

帶著這些疑問，筆者再次研讀《教師教學用書》，從書中可以找到編者的意圖：引導學生通過觀察、猜測、試驗、推理等活動，初步體會解決植樹問題的模型思想，培養學生從實際問題中探索解決問題有效方法的能力。植樹問題還承載著學生“化繁為簡”“數形結合”“一一對應”“數學建模”和推理等數學思想。數學來源于生活。認知心理學認為：學生學習數學的認知過程，是一個把教材知識結構轉化為自身數學認知結構的過程。100 米的小路植樹比20 米更接近于生活實際，學生根據數據進行畫圖驗證時，會覺得100 米數據太大，不好畫圖，從而引發學生的認知沖突，激發學生迫切要改小數據的欲望，讓學生從解決生活實際問題中融會貫通：碰到不能或不容易用已有的知識解決問題時，嘗試著把問題轉化成已學或比較容易解決的問題，再進行解決。如果用較小的數據20 米、30 米……枚舉驗證，降低了難度，會導致學生體會不到化繁為簡應用于解決問題的妙處，難于達成化歸思想的滲透。

化歸思想是數學分析問題、解決問題的一種策略和藝術，也是人人應該具備的數學素養。如果說數學思想是數學的靈魂，那么可以不夸張地說化歸思想就是數學思想的核心，是數學思想的精髓。化歸思想，是將一個問題由難化易，由繁化簡，由陌生化熟悉，由抽象化具體的過程。化繁為簡是化歸思想一種重要的數學思想方法，在數學各個領域中都會用到。但平時的課堂中學生更多地處于被動接受的狀態，讓學生自發去做得相對少一些。在解讀教材的設計意圖后，筆者在設計例題時，特意把例題“同學們在全長100 米的小路一邊植樹”的數字由100 米調整為200 米。因為100 米的數據不大不小，對學生來說畫20 格線段圖也不是一件麻煩的事情，但是改成200 米，要畫40 個格子學生就會覺得麻煩了，進而逼著學生用更簡單的數據來推出規律，再根據規律算出大的數據的結果。

教學片段：

“同學們在全長200 米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？”

教師：預測一下，可能種幾棵樹？

學生1：我認為40 棵。

學生2：我認為41 棵。

學生3：我認為39 棵。

教師：種樹的棵數與什么有關？

學生4：路長和間距有關。

教師：怎樣驗證這個結果？

學生（集體）：畫線段圖。

教師：怎么畫？畫200 米嗎？

學生5（搖頭）：太麻煩了，畫20 米。

教師：就只能畫20 米嗎？

學生：不是，可以畫15 米、30 米、40 米……

教師：為什么找15 米、20 米、30 米、40 米？

學生：這些數都是5 的倍數。

……

通過例題數據調整為較大的數據200 米，讓學生感到畫圖200 米存在困難，從而自覺地把大的數據轉化成較小的數據進行解決，達到了化繁為簡的目的，也讓學生從中收獲到在遇到比較復雜的問題時可以轉化成已有的知識或較為簡單的問題進行解決，達到授之以“喻”的教學效果。

三、解問題，數形結合

如果說化歸思想是數學思想的核心，是數學思想的精髓。數形結合就是化歸思想中實現從抽象化到具體的過程的重要橋梁。數形結合是數學解決問題中必不可少的思想方法。“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合千般好，數形分離萬事休。”我國數學家華羅庚道出數形結合的重要性。

學生用畫線段圖驗證結果，就是數形結合幫助學生理解題意，驗證方法。學生每個人都舉2～3 個數據例子，進行畫圖嘗試，驗證結果，發現規律。學生發現20 米的路長，4 個間隔，植樹5 棵（見圖2）；25米的路長，5個間隔，植樹6棵；30米的路長，6 個間隔，植樹7 棵……并根據發現的規律完成表格（見表1）。

圖2 學生探究過程圖

表1 學生探究過程表

通過數形結合，再讓學生在畫一畫、圈一圈，用一一對應的方法發現規律，總結出兩端都栽的方法：

路長÷間距=間隔數；間隔數+1=棵數。

學生用總結出的規律求出：

200 ÷ 5=40；40+1=41（棵）。

對于抽象的植樹問題，學生通過畫一畫、圈一圈，用數形結合、一一對應的思想方法發現規律，降低了學習的難度，在解決問題中體會到了數形結合的方法帶來的成功和解決問題的樂趣。

四、促遷移，建立模型

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》在前言中指出：在數學課程中，應當重視發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，建立和求解模型的過程有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。由此可見，模型思想在培養學生數學素養中有著重要的意義，模型思想的滲透能夠幫助學生了解數學與生活的聯系，感受數學應用價值，同時提升學生的思維抽象水平。“植樹問題”最重要的數學思想就是模型思想，讓學生從實際問題中抽象出植樹問題的模型是教學的難點。教材用形象的植樹線段圖過渡到抽象的線段圖教學，利用幾何直觀地幫助學生理解兩端都栽的植樹問題的模型，讓學生通過畫20 米、25 米……的線段圖，圈一圈棵數與間隔數，用數形結合、一一對應的思想方法發現棵數總比間隔數多1 的規律。學生抽象出兩端都栽的植樹問題的模型：間隔數+1=棵數，并能遷移運用到公共汽車站（地鐵站）的設立，架設電線桿、路燈的安裝，爬樓梯、敲鐘、鋸木頭等問題上。用線段圖直觀地幫助學生理解植樹問題的模型思想，還有一大好處：學生能看圖得出兩端都栽植樹問題模型的逆運用：（棵數-1）×間距=路長。當學生建立起兩端都栽的植樹問題的模型后，兩端都不栽、一端栽另一端不栽、封閉曲線植樹問題都能根據已有知識進行遷移，從而建立植樹問題的數學模型。

五、結語

總而言之，數學核心素養反映數學本質與數學思想，數學課堂培養學生的數學思想并非一蹴而就的事，需要教師潛心教學，用心培養，讓數學思想融進課堂，促進學生的發展。