“三問”——讓數學思維向縱深發展

許敬

[摘 要]發展學生的逆向思維一直是教師追求的核心目標。在實現這一目標的過程中，教師可以引導學生將“倒過來推想”理解為：從情境現有的狀態和經歷的過程出發，去倒推之前的狀態，即逆向思考，也就是要知道一個物體原來有多少的問題，必須要知道這個物體現在的狀態和經歷的變化過程。

[關鍵詞]問題;倒推;逆向思考

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）08-0042-03

我們常常會被公開課中展現的“流暢”所迷惑。如，在我校的公開課“解決問題的策略——倒推”中，課堂上出現了一個共性的現象：教師自始至終都按照事先設計好的思路“牽著學生的鼻子走”，即便到了要放手讓學生自主去探究的環節，依然不忘要引導學生幾句;在問題拋出后，只要有小部分學生能夠答出預設的知識點，教師就理所當然地認為全部學生都懂了，馬上進入下一個環節。在這樣流暢自然的課堂中，那些沒有發言的學生真的聽懂了嗎？他們在思考的過程中遇到了哪些障礙？與此同時，那些發言的學生答出預設的知識點之后，是否都真正理解了？這些潛在的、有價值的問題往往隨著下課鈴聲的響起，就再也沒人過問了。

那么，究竟該如何做，才能讓學生的數學思維在課堂教學中向縱深處發展呢？筆者將上述“流暢”的教學設計過程進行了舍棄，重新從本課的教學主體出發，采用“三問”的教學方式：1.啟問，創設合適的情境，引導學生自覺思考“為什么要用倒推的策略”;2.追問，通過在新知的探究過程中，對學生進行抽絲剝繭式的追問，讓學生在解決問題的過程中真正感受“怎樣的情境才需要用倒推的策略來解決”，認識到此類問題的本質特征;3.自問，在新知建構的各個環節中合理設計反思、比較環節，讓學生在自問中思考，使數學思維真正向縱深處發展。

基于以上“三問”，筆者重新確定本課的教學目標：第一，使學生認識倒推問題的特點，學會用倒推的思維分析問題，并確定解決問題的思路，最終根據問題的特點采用具體的倒推方法來解決問題;第二，使學生經歷用倒推策略解決問題，豐富倒推策略的體驗過程，感受倒推的知識與方法之間的聯系，從而體會倒推這種逆向思維的好處，積累數學活動的基本經驗，發展思維的靈活、敏捷等品質;第三，使學生在經歷用倒推策略解題的過程中，感受倒推策略的應用價值，培養克服困難、學好數學的信心。同時，筆者還將本課的教學重點改為理解和認識倒推策略，將教學難點改為根據題目條件找到能夠應用倒推策略的方法，并確定具體的解題步驟。

在觀摩了多位教師的倒推策略主題教學之后，筆者從學生的實際出發，對之前的教學過程進行了調整和重新設計，現將再次執教這節課的過程整理如下。

一、情境導入，讓啟問引發學生思考

出示問題：今天天氣特別熱，李明在放學的路上買了一個冰激凌，此時他的口袋里還剩15元，想知道他的口袋里原來有多少錢，缺什么條件呢？

師：要想知道李明的口袋里原來有多少錢，不僅要知道現在的情況，還要知道原來口袋里的錢經歷了哪些變化。（板書：買冰激凌花掉了5元）現在，你知道李明的口袋里原來有多少錢了嗎？

生1：原來有5+15=20（元）。

師（追問）：明明“花掉了5元”，為什么還用加法計算？

生2：因為花掉的5元是這筆錢原有的一部分。

生3：因為求原來的錢數，就要把花掉的錢還回去，所以要用加法。

師：請大家在頭腦中想象一下問題情境的變化過程——原來有一些錢，花掉了一部分，剩下一部分，要求原來有多少錢，實際就是要將花掉的錢——

生（齊）：再放回口袋里。

【設計構想】策略的形成，一定是學生在充分體驗解題過程的基礎上，發現這類問題的特點，從而激活已有的經驗來獲得相應的解決辦法。本節課一開始，筆者以學生熟悉的“求口袋里原來有多少錢”為素材，出示一個缺少信息的問題，引發學生對錢數變化的關注。該設計屬于“三問”中的啟問環節，讓學生自覺進入思考的場域，同時題目的設計考慮到了用倒推策略來解決的問題所具有的典型特征：結果是怎樣的，經過了怎樣的變化過程，最終求的是最初的狀態。使學生在明確特點的基礎上，自動抽象出數學模型。接著，筆者通過追問，引導學生理解“求口袋里原來有多少錢”就是要將花掉的錢還回去，讓學生在簡單、熟悉的生活場景中初步體驗倒推的策略，為廣泛、靈活地應用倒推策略解決問題奠定基礎。

二、自主探究，讓追問深化探究過程

出示問題1：今天，王芳和蕭桐來到李明家做客，李明家有一多一少兩杯果汁，共400毫升。如果用這一多一少的兩杯果汁招待兩位客人，合適嗎？聰明的李明從甲杯里倒40毫升果汁到乙杯里，這時兩杯果汁就同樣多了。（出示圖1）

師：仔細看圖1，你能提出哪些問題？

生1：現在甲、乙兩杯果汁各有多少毫升？

生2：原來甲、乙兩杯果汁各有多少毫升？

師：請大家以這兩個問題為線索，先獨立思考，有想法后再嘗試在小組內討論，必要時也可以通過畫圖、列表等策略來幫助自己厘清思路。（給學生提供盡可能多的表達方式，從而發散學生的思維）

師：哪個小組來匯報你們討論的結果？

生3：因為400÷2=200（毫升），所以現在甲、乙兩杯果汁各有200毫升。

師（追問）：為什么要用除法計算呢？

生3：因為這時候兩杯果汁是同樣多的。

師：那么“原來甲、乙兩杯果汁各有多少毫升”又該如何求呢？

生4：可以用列表的方式。（如圖2）

生5：也可以用畫圖的方式。（如圖3）

（教師結合學生的發言，用動畫演示將倒入乙杯的40毫升果汁倒還給甲杯的過程）

師：根據這樣的倒推過程，你能列式計算嗎？

生6：能?，F在甲、乙兩杯果汁各有400÷2=200（毫升），那么甲杯原來有200+40=240（毫升），乙杯原來有200-40=160（毫升）。

師：求原來有多少果汁，都是從哪里入手的？從現在的果汁怎么能得到原來的果汁？（板書：現在[]原來）

師：今天這節課，我們就重點來探討像上面這樣從結果出發，根據題中的變化步驟一步一步倒過來思考的策略——倒過來推想，也就是我們數學中常說的倒推、還原。（板書：倒推、還原）

【設計構想】教學任何解決問題的策略，都不能僅靠教師去講授，而應是讓學生在經歷抽絲剝繭的過程中找到解題方法，由內而外獲得真實感受和體驗，這樣的思維過程更清晰，學生對解題步驟的感知也更明確。與此同時，不同題目情境的復雜性不一樣，學生在面對復雜問題時，會出現對題干信息處理不全面，解題思路不明朗的情況，而追問環節的設計則起到了引導的作用，讓學生的探究和建構過程清晰可見。

出示問題2：趙蕾原來有一些郵票，又收集了35枚，發現部分與之前搜集的有重復，就送給了鐘晴20枚，最后還剩下64枚。求趙蕾原來有多少枚郵票？

師：這個問題與剛才的情境相比，有什么不同？

生7：信息變多了，而且數量之間的關系沒有剛才圖示的那樣直觀。

師：你打算怎樣處理題目中的條件，使問題看起來更加直觀、簡潔？

（教師根據學生的回答寫出流程：趙蕾原有？枚→得到35枚→送出20枚→現有64枚）

師：要求趙蕾原來有多少枚郵票，可以從哪里開始思考？

生8：把變化的過程還原回去。

三、比較反思，讓自問觸及知識本質

師：剛才我們研究了關于求錢數、倒果汁和集郵這樣三個用倒推策略解決的實際問題，誰能說說這三個問題有什么異同點？

生9：求錢數和倒果汁的問題信息量相對較少，條件之間的數量關系也比較簡單，解決起來相對容易。

生10：集郵問題的信息量比較大，條件之間的關系較復雜，理解時存在一定的難度。

師：這三個問題的解決思路有什么一樣的地方？

生11：都是從現在出發，運用倒推的策略解決。

生12：結果都可以用正推的方法來加以驗證。

師：需要運用倒推的策略來解決的實際問題，有什么典型的特征？

生13：不論是哪個情境，其典型特征都是在知道事物經歷了怎樣的變化過程和現有結果的基礎上，求原來的狀態。

【設計構想】本節課在教學的多個環節中設計了及時的自問，讓學生去回顧、比較、反思不同情境下，用倒推策略解決問題所具有的共同點，使學生能夠站在一定的高度真正地去觸摸倒推策略的實質，慢慢養成縝密的數學思維，提高數學思考的能力。

四、聯系生活，讓倒推策略發揮作用

出示問題1：王芳每天起床穿衣服要用10分鐘，吃早飯要用15分鐘，步行去學校要用20分鐘，她需要在8：00前抵達學校，那么王芳每天早上最遲什么時候起床？

師：要解決這個問題，你準備從哪里開始思考，打算運用什么策略？

出示問題2：花果山上有棵蟠桃樹，孫悟空天天來這棵樹上摘桃吃，第一天吃了樹上的一半多1個桃，第二天又吃了樹上剩下的一半多1個桃，最后樹上還剩下17個桃，這棵蟠桃樹上原來有多少個桃？

師：請你嘗試用不同的方法來解，并比較用倒推策略解題的方法，看哪一種更有優勢。

出示問題3：星期天，李強和王芳相約一起去郊游，出發時他們乘坐的1路公交車上有48人，到圖書館站下車11人，到少年宮站上車15人，這時1路公交車上有多少人？

出示問題4：星期天，李強和王芳相約一起去郊游，出發時他們乘坐的1路公交車上原來有一些人，到圖書館站下車11人，到少年宮站上車15人，現在車上還剩52人，他們出發時1路公交車上有多少人？

師：問題3和問題4兩個情境的特征有什么不同？什么樣的情況下需要用倒推的策略來解決？

五、回歸反思，提升對倒推策略的認識

通過對本課的設計，筆者逐漸意識到，策略單元的教學如果不能讓學生真正地認識情境的特征，明確解題的思路，那么是無法讓他們真正做到觸摸知識本質的。那么，如何在教學中讓學生認識情境特征，明確解題思路呢？筆者將方法總結為以下三點。

一是通過創設合適的情境，設計具有挑戰性的啟問，讓思考成為可能。從本課的教學設計思路和具體安排可以看到，開頭通過求錢數這一生活化的情境創設，引發學生自覺進入思考：要想解決原來有多少錢，必須怎么樣？在研討時，將“倒過來推想”分解為思維方式的逆向思考和具體運算的逆向運算兩層含義。筆者基于這樣的思考進行教學設計，真正做到了良好的開端是成功的一半。二是通過在學生合作探究的過程中，恰到好處地設計追問，讓學生的思維向深處發展。本課將倒推策略的相關內容“鑲嵌”在倒果汁和集郵這兩個情境中，通過一系列追問的實施，讓學生的思維不是僅僅停留在表面，而是沉下去找到需要用倒推策略解決的問題的本質特征，從中感知策略、認識策略，最終深化策略。三是通過安排適時的自問，讓聯結知識的本質浮現出來，為綜合應用各種策略解決問題打下堅實基礎。學生在經歷自主探究之后，能夠適時自問，問學到的知識，問掌握的方法，問如何進行思考，還會問今天這節課獲得了怎樣的經驗和體會。如此，學生便能在策略意識形成的過程中繼續成長。

總之，教學設計的出發點是以學生為主體，通過創設合適的情境，為學生提供自覺思考的空間和時間。通過教師的追問和引導，學生在自主建構知識的過程中，思維不再浮于表面，而是向下去探尋問題更為普遍的共性特征。最后，讓學生通過及時的自問來形成核心思維，從而真正做到舉一反三、觸類旁通。

（責編 李琪琦）