一道高等數學求極限習題的不同解法背后所蘊含的數學知識與原理

摘要：本文研究了普通高等學校少數民族預科教程（修訂版）《高等數學配套練習冊》中的一個求極限練習題的不同解法，引出一類分式（分子和分母至少有一個為幾個式子的代數和）是否能直接利用等價無窮小代換求極限的兩種情形的問題.情形一，分子或分母只有其中一個可化簡成乘積的形式，而另一個不能;情形二，分子和分母都不能化簡成乘積的形式.結合例題，本文進一步分析，分別討論了在這兩種情形下，如何利用等價無窮小代換求極限的方法，回答了教學過程中學生的一系列相關疑問.

關鍵詞：極限;無窮小;等價代換;四則運算

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）15-0062-03

收稿日期：2022-02-25

作者簡介：李霞（1985.10-），女，云南省楚雄人，碩士，從事數學教學研究.

1 由一題多解引發的疑問

普通高等學校少數民族預科教程（修訂版）《高等數學配套練習冊》（人民出版社）第一章函數與極限中，第8頁的一個練習題.此題屬于“0/0”型，在學生還未學習洛必達法則求極限時，有以下幾種解法：

利用等價無窮小代換求極限可以使得計算簡化，從以上幾種方法比較來看，方法三與四應該是所有解法中較簡單的，但是卻很少有甚至沒有同學用這兩種方法做.

在講課本第一章第3節無窮大與無窮小，利用無窮小量進行等價代換求極限時，我們通常對學生強調，可以對分式的整個分子或分母進行等價代換，也可以代換分子或分母中的因式，但分子或分母為多個式子的代數和的時候，一般不能代替其中的一項，否則就易出錯.為什么不能代換，很多書上避而不談，可為什么如上問題結論又是對的，那樣做到底對不對，這或許就是很多同學迷惑的原因.

2 解決疑問有妙招：極限四則運算法則來幫忙

例1利用等價無窮小求極限的問題，可以歸結為分式中分子或分母只有其中一個可直接等價代換或只有其中一個可化簡成乘積的形式進行代換的情形，怎么求極限呢，我們可以結合極限的四則運算法則來解決.

總之，使用等價無窮小代換，是求函數極限常用的一種方法之一，在一定條件下，恰當地利用等價無窮小代換求極限，可以很大程度上簡化極限的計算.當然，等學生學習了第二章導數及第三章微分中值定理以后，對于這種“0/0”型的極限計算，也可以考慮用洛必達法則求極限.

參考文獻：

[1] 羅守山.普通高等學校少數民族預科教材（修訂版）高等數學[M].北京：人民出版社，2006.

[2] 羅守山.普通高等學校少數民族預科教程（修訂版）高等數學配套練習冊[M].北京：人民出版社，2006.

[3] 祝微，楊春艷.等價無窮小代換定理的拓展[J].長春師范學院學報（自然科學版），2010，29（1）：12-14.[責任編輯：李璟]B847C921-F4F9-4BE3-B4E4-9109C39FC643