高中數學數列問題的有效解決方法研究

摘要：高中數學的數列教學中，其教學目標主要是指導學生經過式子轉變，學會與掌握規律尋找的方法，以實現具體問題解決的同時，促進學生自身的數學思維開發與拓展.鑒于此，本文主要對高中數學的數列教學的影響因素及教學創新策略進行分析，并提出高中數學中數列問題的解決方法.

關鍵詞：高中數學;數列;問題;影響因素;解決方法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）15-0005-03

收稿日期：2022-02-25

作者簡介：鄧璇（1981.4-），女，甘肅省慶陽市環縣人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

數列作為高中數學課堂教學的主要內容，大部分數列知識都較為抽象難懂，是學生課堂學習的難點，許多學生在遇到數列相關問題時，都會覺得不知所措，成為各種測試題中重要的失分題型.在高中數學的教學實踐中，教師需通過理論與實踐結合的形式，促進學生對數列問題的解答技巧和方法的總結，從而使學生實現高效解題.

1 高中數學數列教學的影響因素

1.1 教師因素

首先，高中數學的傳統化教學中的教學觀念是將教師作為中心，而學生是被動接受者，是課堂教學的客體，這通常與新課改是存有矛盾的.在新課改下，學生應作為課堂教學的主體，在實際學習過程中，教師應更注重學生的主動性，加強交流與反饋，從而使教育實現雙向傳播.鑒于此，數學教師需注重學生在課堂上的主體性，開展數列知識講解的時候，注重自身已有教學觀念的轉變，融入新型教學理念，以促使高中數學的教學效果得到切實提高.

其次，數學教師具備良好的教學方法與教學能力是數列教學成功的一半，其中包含了課堂教學中的教學方法高效以及課下教學的有效監控.數學課堂上的教學方法高效，通常指數學教師在課堂上對數列知識進行完整、系統的教學，以促使學生清楚的了解到教師講了些什么，從而使學生對數列問題的解答一目了然，并促使學生在數學課堂上獲得與掌握相關知識，以促使學生對于數列問題的解答水平得到切實提高.數學課堂下的監控則是指數學教師對學生課下學習與鞏固數列知識實施有效控制與監督，從而實現教學方法的完善.同時，教師還能對課堂上學生沒聽懂的數列問題實施檢查，并經過反饋對課堂的教學活動加以調節，最終實現數學教師的教學改善.

數學教師自身的知識水平通常會對教師講解數列知識的情況造成直接影響，若數學教師不具備講解數列相關專業知識的能力，不僅會影響到數列教學水平的提高，而且還會影響到學生的解題能力.

1.2 學生因素

首先，學生的心理原因通常會對數學數列知識的學習造成阻礙.面對數列知識，喜歡學習的則對數列知識具有較高的學習熱情，且學習態度積極，就能取得顯著的成績，而不愛學習數列的，對數列知識的學習興趣較低，就會影響到學生的學習成績提升.

其次，每個學生的課堂學習方法與能力都不同，這就使學生對于數列知識的學習進度也都不同.同時，每個學生的起點都有所不同，腦力也都不同，這就使學生的學習能力存有一定的差異，從而影響到學生學習數列的有效性.

另外新課改下，高中數學的數列教學當中，課程資源不夠全面，類似于教學素材、網絡資源等還較為傳統，缺乏系統性概括，這種狀況下，也會影響數列教學的順利開展.

2 高中數學數列教學創新策略

首先，高中數學的數列教學需注重創設問題情境.數學教師創設合作、自主、探索性的學習氛圍極其重要.數學教師在對問題情境進行創設時，可考慮下述幾點：即學生已具備的生活與知識經驗;數學知識具備的趣味性;新舊知識點銜接;教學內容及教學特色.

其次，基于創新理念的“數學概念”.對于數學對象的本質屬性實施反映的一種思維方式就是數列的概念.在對數學概念進行學習時，需明確數列的名稱、了解到數列涉及的范圍、數列的本質屬性.對于數學概念而言，其主要包含了等比數列、等差數列、數列與通項公式.

3 高中數學數列問題的有效解決方法

3.1 基于整體思想的數列問題解決

通過等差數列、等比數列具備的性質，可順利的求解相關數列題目，但是，許多的數列問題解決更多是套用數列的性質，因此，數列性質的巧妙、靈活應用就顯得極其重要.通常來說，不論使用等差數列，還是等比數列，在通項公式當中通常涉及到許多量，在對數列問題進行解答時，通常不用求解出各個量，而是立足于整體思想運用數列公式，這不僅能確保數列問題的解答準確性，而且還能促進學生的解題效率提高.

例1等差數列{a_n}的前n項和為S_n，若S₆>S₇>S₅，那么，想要實現S_kS_k+1<0的正整數k是多少？

解析本題的條件信息都較為簡單，有些學生在解題時，通常會覺得無從下手，依據等差數列的前n項和通項公式之間的關系可知，a₆=S₆-S₅>0，a₇=S₇-S₆<0，a₆+a₇>0，這個時候，立足于整體思想可得：S₁₁=11（_a1+_a11）/2 =11_a6>0，S₁₂=12（a₁+a₁₂）/2 = 12（a₆+a₇）/2 >0，S₁₃=13（a₁+a₁₃）/2 =13a₇<0，此時，S₁₂S₁₃<0，就能符合S_kS_k+1<0，因此，正整數k為12.E803DFA5-6A19-45A0-84CB-BA0EC8985198

由此可知，本題類型和傳統題目是有所不同的，在解答的時候，需有相應的技巧，解題技巧需靈活的運用相關數列知識，避免被傳統化解題思維所限制，在實際解題的時候，不用直接求取數列當中某項的具體值，而是通過整體思想的運用實施整體代換，將難轉易.因此，數學教師在課堂教學時，可依據數列教學，對學生進行引導，避免學生盲目的套用公式，在遇到數學題時，不能著急動筆，需注重思考與分析，明確解題的切入點，避免受思維定式的影響，而步入解題誤區.

3.2 基于放縮法的數列問題解決

數列的證明題屬于數列問題當中較為常見的一種題型，在各級考試當中，有較高的出現頻率，由于其具備較強綜合性，因此，可以對學生運用技巧解答數列問題的能力進行考查.有些學生在遇到類似的數列問題時，通常都不知道應該怎么證明，或在證明的時候，證明過程相對模糊，也不夠規范，雖然能獲得最終的結果，但卻無法得到滿分，對其原因分析，主要是學生的解題思路不夠清晰.相關實踐顯示，放縮法屬于數列證明過程中的一種常見方法，教師可指導學生經過模仿、思考，把學生的數列知識轉變成能力，以實現有效解題.

例2數列{a_n}通項公式是a_n=2×3ⁿ/（3ⁿ-1）²，若S_n是數列的前n項和，證明：所有n∈N^*都存有S_n<2.

解析對數列{a_n}的通項公式以及需證明的結論進行分析，通過通項公式的運用開展求和證明一般是行不通的，此處則可對數列的通項公式實施放縮，也就是2×3ⁿ/（3ⁿ-1）²= 2×3^n-1/[（3ⁿ-1）（3^n-1-1/3）]<2×3^n-1/[（3ⁿ-1）（3^n-1-1）]=1/（3^n-1-1）-1/（3ⁿ-1），通過相應放縮可知，n=1的時候，分母是0，n≥2的時候，分母非0;通過n=1與n≥2兩種狀況加以分類討論：即n=1的時候，a₁=3/2=S₁<2成立;n≥2的時候，Sn=3/2+2×3²/（3²-1）²+…+2×3ⁿ/（3ⁿ-1）²<3/2+[1/（3¹-1）-1/（3²-1）] +…+[1/（3^n-1-1）-1/（3ⁿ-1）]=2-1/（3ⁿ-1）<2，即對所有n∈N^*都有S_n<2.

本題難點就是準確的實施放縮，在具體解題中，因為對放縮的尺度無法準確把握，就會造成放縮失敗而無法準確解題.就理論來講，這種放縮的前后兩項之間的差異愈小愈好，且需做到具體問題具體分析，如1/n²放縮存有1/n² < 1/ [n（n-1）]，（n≥2），1/n²< 1/ [（n+1）（n-1）]等形式，在實際解題的時候，可選擇些合適的放縮實施解題，放縮節點的選擇作為解題成敗的重中之重，教師應提供給學生相應的訓練以及思考案例，以促使學生通過放縮法的運用過程，實現解題技巧以及解題能力的提升.

3.3 基于變式訓練的數列問題解決

高中數學的數列內容通常只有兩種形式，即等比數列與等差數列，不論從何種角度出發，都是對等比數列或等差數列的變式展示，這就需注重核心內容的掌握，通過不變的內容進行多變題目的解決，依據基本內容的具體變化找出規律.因此，數學教師在課堂教學時，需通過變式訓練的運用，引導學生與題目內容相結合加以轉化，試著變式解決，以體會到規律的尋找過程，并了解到數列的相關內容，深化學生對相關數列知識的學習與應用.

例3成等差數列的三個正數的和為15，并在這三個數的基礎上，分別加上2、5、13之后，成為等比數列當中的b₃、b₄、b₅，（1）求數列{b_n}的通項公式;（2）數列{b_n}前n項和為S_n，求證：數列{S_n+5/4}為等比數列.

解析問題（1）可應用等差數列知識加以解決，也就是將三個數設為a-d、a、a+d，經過已知條件加以解答，可計算得出數值a是5，然后將其分別代入b₃、b₄、b₅，就能實現數列問題的直接解決;問題（2）則是實施變式解答，也就是把等差數列轉變成等比數列加以求解.這種情況下，只有充分掌握等比數列、等差數列的實際應用特點，才能更加輕松的解決變式內容，從而實現學生自身的數學思維拓展，并實現數學知識的有效應用.

綜上所述，高中數學的數列問題通常具有較大的難度，且題型多變，這就使許多學生都不易掌握，因此，數學教師需與學生的實際狀況及數列性質相結合，通過高效化教學法，引導學生明確數列題的解答思路，以促使學生充分掌握數列問題的解答方法與技巧，從而掌握數列問題命題規律的同時，實現數列知識的靈活運用，從而實現高效解題.

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