借關聯知整體 因說理而深刻
——《三角形》單元教學中的深度學習策略

文|金雷杰 周 蕾

深度學習是與孤立記憶和非批判性接受知識的淺層學習相對的一個概念，強調學習者積極主動地學習，靈活熟練地運用知識解決實際問題。因此，深度學習的主要特征是關注本質而非表面、實質而非形式、聯系的而非孤立的理解，關注應用與創新而非記憶與模仿，最終促進學生高階思維的發展。

數學課堂要實現真正的深度學習，一方面要尋求意義與知識、經驗的鏈接，溝通概念間的聯系，探討共同的范式與原理，建立整體、全面、深刻的認識；另一方面，不僅要知其然，還要知其所以然，強化證據的檢驗與討論的批判性，防止碎片化的學習內容和簡單記憶與再現的學習方法，防止無意義、跟從式的學習。

基于以上觀點，下面來談談《三角形》單元教學中的深度學習策略。

一、《三角形》單元教學中的主要問題

1.碎片化的內容安排，缺乏知識間的內在聯系。

四年級《三角形》單元是學生系統學習三角形知識的開始。所涉及的知識點如下：

三角形的特性（三角形的概念、三角形各部分名稱、三角形的穩定性、三角形任意兩邊之和大于第三邊）。

三角形的分類（按角分可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；直角三角形中斜邊最長；認識等腰三角形、等邊三角形）。

三角形的內角和（三角形的內角和是180 度、四邊形的內角和是360 度）。

無論是教材編排還是實際教學中，“三角形認識”的各知識點的學習都存在碎片化、孤立化的現象。比如三角形的各部分名稱：角、邊、頂點之間沒有建立必要的聯系；又如等腰三角形和等邊三角形中，邊與角對應的相等關系也沒有建立必要聯系等。這種現象造成學生對這些概念和特征的淺層理解和孤立記憶，不利于學生形成對概念本質的理解。

2.表面化地理解規律，缺少說理和論證。

教材的意圖是讓學生發現直角三角形中斜邊最長。這個規律的發現是通過測量一個直角三角形的各條邊的長度發現的，即使測量多個直角三角形，所得的結論也仍不具有一般性和說服力。其實斜邊最長，學生通過直觀觀察就能感覺到，他們缺少的是斜邊最長的道理。本單元中還有三角形的穩定性、三角形內角和以及等腰、等邊三角形關系的理解，學生往往都停留在知識表面，缺少必要的推理和證明，也錯失了發展學生數學核心素養的好時機。

二、《三角形》單元教學中的深度學習

幾乎所有的平面圖形的認識都是從研究圖形的邊和角開始，三角形也一樣。從小學階段的基礎認識到初中學習全等、相似三角形，到高中的三角函數，探索的都是三角形邊和角之間的規律。因此，三角形的邊和角之間本身存在必然聯系，不能割裂。同時，作為系統學習三角形的起始內容，《三角形》單元教學還肩負為后續深入學習三角形相關知識積累基本的數學活動經驗的任務。所以根據四年級學生特點適度溝通邊和角的聯系是必要的，也是可行的。

1.加強邊和角的關聯。

（1）三角形各部分名稱教學中邊和角的關聯。

先來看一則教學案例：

……

師：有誰知道三角形各部分名稱？上來指一指、說一說。

（學生嘗試）

師：是的，三角形有3 個頂點，3 個角，3 條邊。

（板書：3 個頂點，3 個角，3 條邊）

師：用大寫字母A、B、C 表示這個三角形的3 個頂點，這就是三角形ABC 了。3 個頂點分別是頂點A、頂點B、頂點C，3 個角分別是∠A、∠B、∠C，3 條邊分別是AB、BC、AC。

大多數教師到這一步就把三角形各部分名稱的教學完成了，顯然這些概念之間是孤立的、不相關的，造成學生的機械記憶，也不利于后續學習。此時，正是教師對三角形的頂點、角和邊三者進行必要的溝通和關聯的好時機。

師：（在黑板上邊指邊說）請同學們繼續觀察這些頂點、角和邊，頂點A 所在的角是∠A，∠A 的對邊是BC，它們是一組好朋友。

（板書：點A ∠A BC）

師：你還能在三角形ABC 中找到這樣的對應關系嗎？

根據學生回答，完整板書如下：

這樣，既為后續學習作“高”時的“對邊”提前鋪墊，也使三角形中的頂點、邊和角建立有機聯系，形成完整的知識鏈。

（2）特殊三角形教學中邊和角的關聯。

三角形按邊分類的教學環節一般是這樣設計的：

師：關于等腰三角形和等邊三角形的知識有哪些呢？請同學們自學課本第64 頁。

師：你能向大家介紹一下嗎？

學生介紹：

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，三條邊都相等的三角形是等邊三角形。

②等腰三角形各部分名稱、等邊三角形各部分名稱。

③等邊三角形是特殊的等腰三角形。

教師在黑板上的等腰三角形和等邊三角形上分別標注各部分名稱。

師：等腰三角形和等邊三角形還有什么特點呢？請同學們量一量、折一折，看看有什么發現？

得出：等腰三角形兩個底角相等；等邊三角形三個角都相等；等腰三角形和等邊三角形都是軸對稱圖形。

教學到此結束，學生雖然已經比較全面地知道了等腰、等邊兩種特殊三角形的特點，但這兩種特殊三角形邊和角的特點各自獨立，還是割裂開來的，邊是邊的特點、角是角的特點，邊和角之間沒有建立關聯。此時，教師只要稍微進行延伸和拓展，教學效果就完全不一樣了。

師：請同學們繼續觀察等腰三角形的腰和底角，你又有什么新的發現？

生1：腰和底角是相對的。

師：你能上來指一指嗎？

生2：我還發現，腰相等，所以相對的底角也相等。底邊和腰不相等，所以頂角和底角也不相等。

師：把邊和角聯系起來看是我們研究三角形的好方法，你能用這樣的眼光再來看看等邊三角形嗎？

生3：我知道了，因為等邊三角形的三條邊相等，所以三個角也全都相等了。

師：看來邊和角之間確實有緊密聯系，讓我們再回過頭來看看我們研究過的鈍角三角形和直角三角形吧。

生4：我發現鈍角三角形中鈍角所對的這條邊最長。

生5：我發現直角三角形中直角所對的斜邊最長。

生6：我發現三角形中長邊對大角，短邊對小角，它們是相互關聯的。

雖然只是在原來教學基礎上增加了一個邊和角溝通的小環節，但學生對三角形邊和角的認識卻邁出了一大步。學生不僅認識了各種特殊三角形的邊和角各自的特點，而且建立了邊和角的聯系，使邊和角之間產生因果關系，直接指向三角形特點的本質，真正實現了融會貫通、深度理解。

（3）不同分類標準下各類三角形之間的關聯。

三角形按角分，可分為三類，分別是銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；按邊分，可分為兩大類，即三條邊都不相等的三角形（一般三角形）和等腰三角形，其中等腰三角形又可分為一般等腰三角形及等邊三角形。三角形的分類教學僅限于此是不夠的，應用關聯的眼光看待不同分類標準下的各類三角形，結合邊與角的因素，邊想象邊連線，如下圖所示，在溝通不同類三角形之間關系的同時，豐富學生頭腦中三角形形狀的素材庫。同時，通過適時追問“等邊三角形會是直角三角形或鈍角三角形嗎？”“等腰直角三角形3 個角的度數有什么特殊之處？”進一步挖掘等腰直角三角形、等邊三角形這些特殊三角形邊、角的特點。

2.適度進行“所以然”的解釋。

小學數學教學中，教師往往只關注“是什么”，而不關注“為什么”，關注“為什么”就是深度學習的具體體現。適度的證明和解釋既能加深對知識的理解，又能培養學生的邏輯推理能力。教學中把所要學習的知識與原有知識進行關聯，并加以解釋是開展深度學習的常用方法。

（1）三角形穩定性的解釋。

用這樣的3 根小棒，搭三角形；用這樣的4 根小棒，搭平行四邊形。

你有什么發現？

……

三角形中，確定3 條邊的長度，只能得到一種形狀的三角形，形狀不會變，這就是人們常說的：三角形具有穩定性。

而平行四邊形呢，確定4 條邊的長度，能得到無數種不同形狀的平行四邊形，形狀不能確定，所以我們常說，平行四邊形容易變形。

一般，教師到此就結束三角形穩定性的研究，馬上進入穩定性應用的環節。其實利用學生搭三角形的經驗繼續追問：為什么3 條邊確定了，三角形的形狀也就確定了呢？學生雖然不能規范說理，但通過操作和討論能夠得出：用兩條邊搭出的是角，開口是不確定的，有了第三條邊，就把原來的開口給固定了，因此三角形的形狀是唯一的、固定的。三角形的唯一性決定了三角形的穩定性。這樣的教學可以使學生更深刻地理解三角形的唯一性，也能更好地理解在實際生活中穩定性的應用。

（2）直角三角形中斜邊最長的解釋。

前文中已提到過，課本是用測量的方法讓學生發現直角三角形中斜邊最長，對四年級學生來說，略顯幼稚且不具說服力和一般性。其實完全可以利用四年級學過的“直線外一點向這條直線所作的垂直線段最短”這一性質來解釋說明（如下圖）。

先讓學生觀察下圖，你覺得哪條邊最長？能利用原有的知識來說說為什么嗎？部分學生經過思考能夠回答。

因為點A 與線段BC 所作的兩條連線AB 和AC，AB 是垂直線段，所以AC 比AB 長；同理,BC 是點C 向線段AB 所作的垂直線段，所以AC 比BC 長。由此得到直角三角形中斜邊最長。這樣得出的結論具有一般性，適用于任意直角三角形。

通過說理，學生不僅深刻理解了直角三角形中斜邊最長的特點，而且培養了學生演繹推理的能力,發展了學生的數學核心素養。

（3）等邊三角形是特殊等腰三角形的再解釋。

早在三角形分類的教學中，學生就已經基于定義知道了等邊三角形是特殊的等腰三角形，從邊的特點理解兩類三角形的關系：等腰三角形中如果第三條邊也相等就是等邊三角形。而這兩類三角形之間的關系，還可以從角的特點加以理解，在“三角形內角和”的教學之后，教師設計了如下探究問題，引導學生證明說理。

師：我們知道等腰三角形僅兩條邊相等，而等邊三角形需三條邊都相等，也就是，若等腰三角形增加“第三條邊也相等”的條件，就是等邊三角形。這是從邊的特點說明了等邊三角形是特殊的等腰三角形。那么，從角的特點思考，等腰三角形增加什么條件，就能變成等邊三角形呢？

生：（脫口而出）三個角都是60°。

師：真要這么多嗎？少一些可以嗎？大膽猜想一下，最少增加幾個60°的角，等腰三角形就變成等邊三角形了？

通過推理計算，學生發現只需知曉一個角是60°即可，即有一個角是60°的等腰三角形，就是等邊三角形。分類思考可知：若60°角是等腰三角形的頂角，則兩底角度數為（180°－60°）÷2＝60°，三個角相等，都是60°，可知三條邊也相等，該三角形為等邊三角形；若60°角是等腰三角形的底角，則頂角度數為180°－60°×2＝60°，同樣可知該三角形為等邊三角形。在這個過程中，學生應用已有的內角和知識、三角形邊角之間的關系，不僅對等腰、等邊三角形的包含關系有了更深入的理解，更為重要的是經歷了一次難得的推理與證明過程。

雖然小學階段大多是通過歸納、類比等合情推理方式讓學生發現規律，但像這樣適時地利用原有知識基礎或生活經驗對發現的結論進行說理或解釋，進行必要的演繹推理，不僅能加深對知識的理解，發展學生的推理能力，而且還能主動與初中教學銜接，培養思維的邏輯性、條理性，提升思維品質，減少小升初后的不適應。

總之，加強知識間的關聯，用聯系的眼光來學習、觀察，學會用已有知識和經驗來解釋發現的結論，既是完整深刻掌握知識、學會學習的需要，也是開展深度學習、發展學生數學核心素養的正確途徑。

欄目介紹

【教學策略】透視教學現象，探尋教學方法，求索教學規律。

【典型課例】展示經典課例，領略名家風采；推介成功教例，凸顯不同風格。

【教案精選】突出自身教學特點，融合課程理念，讓讀者有所得、有所思。

【課堂再現】緊扣課標理念，注重實踐過程，強調可操作性。

【磨課手記】典型課例的教學改進，一課多教的案例剖析。

【感悟名師】感悟名師教學的精彩設計，領悟課標理念的靈活體現。

【教例反思】探究教學設計的成敗得失，反省教學過程的點點滴滴。

【教學一得】教研活動中形成的點滴心得或隨筆。