開展度量實驗 感悟數學模型
——《長（正）方形面積計算》教學思考與實踐

文|韋波富

《長（正）方形面積計算》是蘇教版三年級下冊的教學內容，該內容是面積計算教學的種子課，其探究的經驗對以后其他圖形面積計算教學有著引領、啟示作用，因而顯得尤為重要。該內容也是學生從長度的一維度量走向面積的二維度量的起始課，長×寬=長方形面積，這個結論看似簡單，實際理解起來比較困難。面積是量出來的，為什么兩個一維的長度相乘就得到二維圖形的面積？兩個長度單位的量相乘（如2 米×3米）其結果為什么是面積單位（如平方米）？這些問題需要教師幫助學生在學習過程中厘清。長方形面積的計算方法是一種間接的測量方法，是在直接測量的基礎上總結出來的一個簡捷的、優化了的、具有一般性的數學模型，這個模型反映了長方形面積與長方形要素之間的內在關系，其模型的建構過程對學生數學素養的發展具有非常重要的價值。基于以上認識，以數學度量實驗活動為學生主要學習方式，進行了教學上的改進設計。

一、調動長度測量經驗，突出圖形測量的原理

奧蘇泊爾說：假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學習的唯一最重要的因素，就是學生已經知道了什么，要探明這一點，并應據此進行教學。圖形的測量對象主要有長度、角度、面積和體積，其測量的原理是一致的，即用具有同一屬性的測量單位去覆蓋、填充、匹配。學生在學習長方形面積計算前已經具備長度測量的經驗，這對面積測量的學習具有正向的遷移價值，符合學生認知發展的階段性以及方法原理的一致性。

在課始階段安排學生對線段的測量進行回顧和梳理，以期調動學生關于長度測量的基本經驗，為下面學習面積的測量提供原理上的支撐。出示一條6 厘米長的線段，組織學生圍繞以下三個問題進行交流：你準備怎樣量這條線段的長度？如果不以0 刻度為起點，怎樣確定長度值？測量更長的或者更短的長度，可以選擇什么長度單位去量？通過交流，學生進一步明確測量長度需要用測量工具——尺，以及測量單位，測量的結果是多少就是看它有多少個這樣的長度單位，即單位的累加。這一原理將貫穿學生圖形測量學習的始終。

二、設計面積測量實驗，發現單位測量的方法

本節課的一個顯性目標就是引導學生發現長方形面積的間接測量方法：長×寬。如何讓學生發現？不同版本的教材有著不盡相同的設計理念。比如蘇教版教材與人教版教材，蘇教版是通過用面積單位測量三個不同的長方形面積發現的，而人教版則是通過用面積單位擺出幾個不同的長方形發現的。我認為蘇教版教材的設計更符合度量的原理和學生的認知起點。用面積單位去度量，這是學生解決問題的原點。在用面積單位直接度量的過程中發現可以通過長度計算的方法得到長方形的面積，這是基于測量原理又不囿于測量原理的一種策略選擇。長方形面積的測量方法就是看一行有幾個面積單位、有幾行，需要學生能夠在實際測量過程中逐步發現并進行抽象。

教學中，我首先讓學生思考：要知道一個圖形的面積有多大，怎么辦？在形成“用面積單位去量這個圖形，看有多少個這樣的面積單位”共識的基礎上，組織學生開展下面的小組實驗活動。

實驗材料是6 個1 平方厘米的小方塊和3 個長方形。三個長方形大小不一（實際使用時長和寬的長度不標出來）。學生在測量的過程中會發現：①號長方形用6個小方塊正好覆蓋，面積就是6平方厘米；②號長方形，6 個小方塊只夠量長邊或短邊，需要想其他辦法去量，如一行一行地量，或者先量一行可以擺幾個，再量有幾行等；③號圖形的測量難度更大，難就難在6 個小方塊既不夠擺一行，也不夠擺一列，有了②號圖形的測量基礎和經驗，學生想出了多種辦法，如通過移動小方塊方法量出一行有幾個，有幾行，或者直接用直尺量出長是幾厘米就是一行可以擺幾個，寬是幾厘米就是可以擺幾行。至此，“長×寬=長方形面積”已經呼之欲出。三個長方形的設計是有梯度的，旨在引導學生在實驗的過程中不斷產生沖突，在解決困難的過程中發現每行的個數、行數與長方形長、寬的聯系，既突出了度量的原理，又發展了學生的空間想象能力和創新的意識。在這個活動中還突出了長方形面積單位的確認，以及為什么是平方厘米的追問，讓學生明白用平方厘米這個面積單位去量，其結果就是多少平方厘米。

三、控制實驗對象變量，感悟間接測量的模型

幾何學就是研究如何構建空間度量方法的學科。把長方形面積和它的長與寬建立實質聯系，是本節課重點研究的問題。而這種聯系不是硬生生的，需要一個逐步感悟的過程。于是對現有教材進行了補充，設計了第二個測量實驗活動。

這個實驗的變量是什么？

第一，從“活動一”用平方厘米量推廣到用平方分米和平方米量，通過這一變化讓學生體會到雖然度量單位不一樣，但都要將長與寬劃分成若干個小單位，然后將若干個面積單位進行累加，即度量的原理是一樣的，只不過用平方分米量的結果就是多少平方分米，用平方米量的結果就是多少平方米。③號圖形的面積究竟是用平方米還是平方分米來測量？學生在選擇時是有一個糾結過程的。這個設計是基于平時對學情的了解。大家知道，有些練習題需要將長度單位統一后再計算面積，但至于為什么要這樣做，教師和學生卻不甚清楚。其實這是度量的一種需要。③號圖用平方米來測量顯然不合適，因為沿著寬不夠擺一個，沿著長擺的話夠擺一個但不夠擺兩個，而用平方分米測量時，寬正好擺6 個，長可以擺幾個呢，這時候就需要將1米5 分米轉化成15 分米，就能知道一行可以擺的個數。

第二，從“活動一”的動手測量實驗，到“活動二”學生需要在頭腦里進行分的操作，想象出一行擺幾個，可以擺幾行，再將每行的個數與行數相乘。通過這種變化讓學生體會到用面積單位測量后的計算方法是相同的，都是用：每行擺的面積單位的個數×擺的行數。通過這個活動，進一步強化了面積與長和寬的關系，形成一種強烈的心理傾向，即用長乘以寬就是長方形的面積，從而建構起長方形面積的數學計算模型。這樣的數學模型不是冰冷的公式，而是與度量過程相伴相生的，是有意義的，是可以用度量原理解讀的。

四、聚焦面積測量本質，追求測量方法的共存

在以往的教學中往往會發現這樣一種現象，當長方形面積的計算方法總結出來后立即組織運用公式進行面積計算的練習，把用單位測量累加的度量原理完全拋之腦后，前后教學要求界限非常明顯，有一種大功告成的感覺。這樣安排學生獲得的是運用公式機械計算的技能，而與“度量”的本質無關，不利于學生量感的培養以及后續的平行四邊形、三角形等圖形面積測量的教學。從學生認知的特點來看，一個規律的發現或者一個結論的得出需要一個逐步內化的過程。從解決問題的方法來看，通過面積單位直接測量和運用公式間接測量這兩種方法在面對不同的問題時會呈現出各自的優勢。如何組織教學才能讓面積公式運用與測量原理共存并重？于是設計組織了第三個數學活動。

三個問題的設計始終沒有離開用面積單位累加這一度量本質，讓它伴隨著學生的認知活動“再多飛一會兒”，不斷地得以內化。在此過程中面積計算公式也時常登場，交替使用，融為一體。第3題結合生活場景解決實際問題，學生可以在頭腦中擺一擺、量一量解決問題，也可以運用公式算一算找到答案，將計算公式與度量原理之間實現了有機對接，使得解決問題的方法途徑更為靈活。

結合這三個問題的討論，教師引導學生圍繞“長和寬都是邊的長度，相乘后為什么是長方形面積”這個問題對長（正）方形面積計算的公式進行解讀，進一步明確：“長”實際上是指用相應的面積單位去量，得到的是每行可以擺的個數，“寬”實際上是指用面積單位去量，得到的是可以擺的行數；長×寬，實際上是“每行的個數”ד行數”。 經過這一討論，就賦予了長方形面積計算公式以實質性的內涵，不再是單純字面上的含義。

法國偉大的數學家龐加萊說：如果沒有測量空間的工具，我們便不能構造空間。這句話啟示我們，學生空間觀念的形成不是憑空實現的，需要在度量的實踐中培養和造就，而間接的度量方法則需要在大量的實驗中發現和提煉，使這一度量模型真正成為溝通現實世界與數學之間的橋梁。