等效時間采樣壓縮感知高頻信號重建

景寧姚鼎一王志斌張敏娟*張瑞

等效時間采樣壓縮感知高頻信號重建

景寧1，2，姚鼎一1，王志斌2，3，張敏娟1*，張瑞1，3

（1.中北大學 信息與通信工程學院，山西 太原 030051；2.山西省光電信息與儀器工程技術研究中心，山西 太原 030051；3.中北大學 前沿交叉科學研究院，山西 太原 030051）

為在欠采樣率條件下實現高頻信號的測量與恢復，本文使用自研國產皮秒級等效時間采樣光取樣示波器對頻率10～100 GHz的簡諧波信號進行采集和恢復。該示波器中，分別采用粗、細兩級延遲進位產生延遲分辨率5 ps、動態范圍10 μs的觸發序列，驅動高帶寬取樣器對信號進行取樣，取樣信號通過50 kHz 模數轉換器輸出得到測量值，即每間隔20 μs增加5 ps延遲的方式對高頻信號進行一次取樣，壓縮比約為106，實際采樣率遠低于奈奎斯特定理限制。根據壓縮感知原理，通過傅里葉變換及等效時間采樣構成測量矩陣，構成該信號測量過程的稀疏化表示，并求解Ll范數最小化問題，恢復得到被測信號波形。結果表明，最高可實現100 GHz的高頻信號均方根誤差小于5×10-5的欠采樣恢復，拓展了該類型示波器測量的動態范圍。

光取樣示波器；壓縮感知；信號重建

1 引　言

高頻信號探測與恢復在高速光通信［1-3］、微波光子雷達［4-6］、超級運算［7-8］等領域存在廣泛的應用。根據奈奎斯特采樣定律，如需確定高頻信號的頻率、相位等信息，就要在信號的一個周期內進行至少兩次采樣。對于高頻信號的恢復，則需要高速模數轉換器（Analog-to-Digital Converter，ADC），現有高速ADC的采樣率最高可達到200 GSa/s（泰克DPO7000系列示波器），根據奈奎斯特采樣定律，其最高可恢復出100 GHz的波形（泰克DPO7000系列示波器實際帶寬最高70 GHz）。對于更高頻信號，通過這種ADC采樣的方式無法進行探測，且高速ADC的成本非常高，因此，對于高速、高頻信號的探測，探索一種低成本、高探測極限的方法尤為重要。

對于周期性、數字、簡諧等信號，基于等效時間取樣是一種低成本、高帶寬的信號測試方法，早在20世紀60年代HP公司就開始了模擬取樣示波器的研制工作。目前，Keysight、Tek公司掌握最先進的取樣示波器技術，如86100系列、N1000系列、TSO820，可以通過幾百k的采樣率對50 GHz信號進行等效采樣。此類型示波器常用于光/數字通信領域，也被稱之為“光取樣示波器”、“數字通信分析儀”等。2016年以來，國內中北大學聯合中電41所開展了這方面的研究，取得了一定的進展，目前可達到與國際相當的水平。取樣示波器對信號進行直接采集并顯示，能達到其帶寬所限的最高頻率，如進行更高頻信號的恢復，則需要一定的欠采樣恢復算法，目前，國內外的各式取樣示波器尚未有該功能報道。

華裔澳大利亞數學家T. Tao等提出的“壓縮感知”理論［9-11］，給出了在欠采樣（低于奈奎斯特采樣率）的情況下，恢復信號的方法。該方法的前提是被測信號是稀疏的，或者經某種變換（如傅里葉變換）可進行稀疏表示。如最近［12］，我們研究了彈光調制信號的稀疏表示，僅需進行5次諧波（貝塞爾展開項）的測量，即可恢復出某氣體的單一吸收光譜。對于高頻時域信號，一般來說其頻率較為單一，經傅里葉變換，可轉換為在頻域分布的稀疏信號。但對于一般的ADC，其采樣時間間隔均等，即便利用壓縮感知理論對采集信號進行更高頻的恢復，也無法完全確定其頻率。如對于頻率為和2的信號，其通過ADC欠采樣可能得到相同的測量值，因此，該方法難以對頻率成倍數關系的信號進行區分。

改變等間隔的采樣方式可為高頻信號在欠采樣條件下恢復提供可行手段。本研究利用自行研制的光取樣示波器對高頻信號進行采集，其等效時間采樣的工作原理使得所采集點之間的時間間隔不等，且采集速率遠低于奈奎斯特采樣頻率，結合壓縮感知理論建立等效取樣過程的稀疏化表示，并進行方程的求解以恢復高頻信號波形。

2 工作原理

本研究中，主要涉及壓縮感知及等效時間采樣兩部分工作。

2.1　壓縮感知

其中，?｛·｝為傅里葉變換算子，式（1）的矩陣形式表示為：

其中，代表維傅里葉變換矩陣，稀疏變換過程如圖1所示。這里，矩陣的柱體的高度代表矩陣元素的實部、顏色代表其虛部。可見，對于高頻信號，可通過傅里葉變換矩陣與其相乘，得到頻率域上的稀疏矩陣表示，滿足條件（1）。

2.2　等效時間采樣（光取樣示波器）

光取樣示波器常用于通信、特別是光通信領域，以對周期性、序列、數字信號進行測量。與通常使用的實時示波器不同，光取樣示波器的工作原理為“等效時間采樣”［14-15］，對于數字信號或者周期性信號，如果采樣周期與信號周期一致，取樣點將等效遍歷被測信號，其原理如圖2所示。每產生一次觸發進行一次信號的取樣，觸發序列相對于固定的采樣周期的起點，依次增加的精密時延，取樣值通過采樣頻率1/的ADC輸出。矩陣表示為：

圖2　等效時間采樣原理

對于一般光取樣示波器的ADC實際采樣率約為200 kHz，即，～5 μs，延遲約為5 ps。壓縮比約為/～106，即<<，通過測量矩陣得到的取樣值長度為，實現遠低于奈奎斯特采樣率的取樣。如圖3所示，測量矩陣的行數遠遠小于列數，為以多個值為1的時間間隔逐漸增加的矩陣，及其自/互相關系數（部分）［16］，滿足條件（2）。

圖3　測量矩陣特性

3 信號采集及恢復

等效時間取樣的關鍵是延遲觸發序列、被測信號、取樣及采集之間的同步，該過程時序如圖4所示，通過時鐘恢復及分頻得到以頻率范圍為5 MHz到10 GHz的輸入時鐘（Input Clock），輸入時鐘驅動PLL（Phase Lock Loop）以125 MHz（8 ns）時鐘工作，并通過FPGA進行周期計數（counter1、counter2）。由于ADC的采樣率為50 kHz，計數器每累積達到其采樣周期（20 μs），驅動兩個級聯10 bit、5 ps分辨率的精密延遲芯片（SY89297U）產生5 ps～8 ns精細延遲。當精細延遲達到8 ns后歸零，同時計數器進行+1進位，產生8 ns的粗延遲，精密延遲芯片再進行工作。

圖4　粗，細兩級延遲觸發序列產生

通過粗，細兩級延遲組合形成分辨率5 ps、動態范圍10 μs的延遲序列。利用此延遲序列作為觸發，驅動取樣器對高頻信號進行取樣，取樣值由ADC轉換輸出，達到了被測信號、延遲觸發序列、取樣及采集之間的同步。

3.1　信號的恢復

利用延遲觸發序列驅動取樣系統進行等效時間采樣，即每20 μs進行一次采樣，每次采樣間隔增加5 ps。結合傅里葉變換公式（3）及等效取樣過程公式（4）可以得到測量方程：

3.2　結果與分析

通過上述等效時間欠采樣恢復方案，對10～100 GHz波形進行了測量和恢復，其中，50 GHz、100 GHz恢復結果如圖5所示，可見，該方法可以非常低的采樣率進行工作而恢復出高頻信號?？尚蜗蟮睦斫鉃橐钥臻g（增加采樣點）換時間（降低采樣率）。

圖5　50 GHz和100 GHz信號恢復數據點及波形

利用均方誤差（Mean Square Error，MSE）對10～100 GHz信號恢復誤差進行了表征，如圖6所示，恢復精度隨著信號頻率提高而變差。當頻率大于50 GHz時誤差超過10-5，頻率達到100 GHz，誤差接近5×105。

圖6　MSE與信號頻率關系

4 結　論

通過光取樣示波器等效時間采樣及傅里葉變換矩陣，構建滿足壓縮感知理論的高頻信號采集方程，通過L1-Magic算法對該方程進行求解，結果表明，光取樣示波器可以106壓縮率對10～100 GHz信號進行采集并有效恢復，由于實際采樣率為50 kHz，即實現了在遠低于奈奎斯特采樣頻率的情況下，均方根誤差小于5×105的100 GHz信號的恢復。

［1］ IMAI T， KITAO K， TRAN N，. Development of high frequency band over 6 GHz for 5G mobile communication systems［C］. 20159（）1317，2015，，IEEE， 2015： 1-4.

［2］ 李志勇. 基于5G技術的光通信視頻同步傳輸研究［J］. 激光雜志， 2021， 42（8）： 98-103.

LI Z Y. Research on synchronous transmission of optical communication video based on 5G technology［J］.， 2021， 42（8）： 98-103.（in Chinese）

［3］ 劉翠微，余建軍. 結構簡單的D波段矢量毫米波信號產生的方法［J］. 光學學報， 2021， 41（4）： 0406001.

LIU C W， YU J J. A new scheme of D-band mm-wave vector signal generation with simple structure［J］.， 2021， 41（4）： 0406001.（in Chinese）

［4］ YAN J Y， DENG X， LAN A L，. The digital beam forming technique in AgileDARN high-frequency radar［J］.， 2021， 28： 100595.

［5］ 潘時龍，張亞梅. 微波光子雷達及關鍵技術［J］. 科技導報， 2017， 35（20）： 36-52.

PAN S L， ZHANG Y M. Microwave photonic radar and key technologies［J］.， 2017， 35（20）： 36-52.（in Chinese）

［6］ 何剛，瞿鵬飛，孫力軍. 微波光子技術應用現狀及趨勢［J］. 半導體光電， 2017， 38（5）： 627-632.

HE G， QU P F， SUN L J. Application status and trend of microwave photonic technology［J］.， 2017， 38（5）： 627-632.（in Chinese）

［7］ RAJ K， SHUBIN I， CUNNINGHAM J E. Chip package to support high-frequency processors： US8982563［P］. 2015-03-17.

［8］ 劉奇，李璞，開超，等. 基于時延光子儲備池計算的混沌激光短期預測［J］. 物理學報， 2021， 70（15）： 154209.

LIU Q， LI P， KAI C，. Short-time prediction of chaotic laser using time-delayed photonic reservoir computing［J］.， 2021， 70（15）： 154209.（in Chinese）

［9］ CANDES E J， ROMBERG J， TAO T. Robust uncertainty principles： exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information［J］.， 2006， 52（2）： 489-509.

［10］ DONOHO D L. Compressed sensing［J］.， 2006， 52（4）： 1289-1306.

［11］ DUARTE M F， DAVENPORT M A， TAKHAR D，. Single-pixel imaging via compressive sampling［J］.， 2008， 25（2）： 83-91.

［12］ JING N， YU C， LI K W，. Compressive sensing absorption spectroscopy based on photoelastic modulation and single-pixel detection［J］.， 2021， 21（8）： 9885-9889.

［13］ 陳明惠，王帆，張晨曦，等. 基于壓縮感知的頻域OCT圖像稀疏重構［J］. 光學精密工程， 2020， 28（1）： 189-199.

CHEN M H， WANG F， ZHANG C X，. Sparse reconstruction of frequency domain OCT image based on compressed sensing［J］.， 2020， 28（1）： 189-199.（in Chinese）

［14］ WILLIAMS D， HALE P， REMLEY K A. The sampling oscilloscope as a microwave instrument［J］.， 2007， 8（4）： 59-68.

［15］ SASAKI Y， ZHAO Y J， KUWANA A，. Highly efficient waveform acquisition condition in equivalent-time sampling system［C］. 2018271518，2018，，IEEE， 2018： 197-202.

［16］ JING N， MIDIDODDI C K， WANG C. Compressive sensing detection of RF signals by all-optically generated binary random patterns［C］. 201921113，2019，，IEEE， 2019： 1-4.

High frequency signal reconstruction based on compressive sensing and equivalent-time sampling

JING Ning1，2，YAO Dingyi1，WANG Zhibin2，3，ZHANG Minjuan1*，ZHANG Rui1，3

（1，，030051，；2，030051，；3，，030051，），：7745163

A simple harmonic wave with frequency 10–100 GHz is collected by a domestic equivalence time optical sampling oscilloscope to measure and recover high-frequency signals in undersampling situations. There is a trigger sequence with a 5 ps delay resolution and 10 μs dynamic range in the oscilloscope. The trigger sequence， generated by two steps of coarse and fine delayers， is used to drive the high band-wide sampler， and the sampling value is output by an ADC with a frequency of 50 kHz. In this advancement， the high-frequency signal is sampled with an increasing 5 ps delay every 20 μs. The compress ratio is approximately 106， and the sampling rate is far below the Nyquist law. With compressive sensing theory， the measurement matrix is constructed by Fourier translation and equivalence time sampling sequence and sparsify the signal measurement process. The measurement signal is reconstructed by solving an Ll-norm minimum problem. The results demonstrate that the signal with a frequency of 100 GHz can be undersampled and reconstructed with a mean square error below 5×105， implying that the dynastic range of the sampling oscilloscope should be expanded.

optical sampling oscilloscope； compressive sensing； signal reconstruction

TH73

A

10.37188/OPE.20223010.1240

1004-924X（2022）10-1240-06

2021-12-29；

2022-01-26.

國家自然科學基金項目（No.62105302，No.62105305）；山西省基礎研究計劃資助項目（No.20210302123068，No.20210302124269）

景寧（1985），男，遼寧遼陽人，博士，副教授，碩士生導師，2015年畢業于吉林大學，主要從事光通信技術研究。E-mail： jingning@nuc.edu.cn

張敏娟（1977），女，山西運城人，博士，副教授，碩士生導師，2000年于太原理工大學獲得學士學位，2005年于河海大學獲得碩士學位，2012年于中北大學獲得博士學位，主要研究方向為光信息獲取與數據處理、電路與系統設計的研究。E-mail： zmj7745@163.com