基于稀疏迭代的非連續譜高頻雷達信號處理方法

潘孟冠 劉鵬 劉升恒，3 陳伯孝

（1. 網絡通信與安全紫金山實驗室，南京 211111；2. 陸軍工程大學指揮控制工程學院，南京 210007；3. 東南大學信息科學與工程學院，南京 210096；4. 西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室，西安 710071）

引 言

高頻超視距雷達因具有探測范圍廣、全天候、全天時等優點，被廣泛應用于海面和低空目標的探測跟蹤以及海洋表面狀態的監測[1-4]. 然而，高頻段干擾信號異常密集，雷達難以在其中找到連續的空閑大帶寬. 因此，高頻雷達的距離向分辨能力受到限制[5].

為了解決這個問題，文獻[6-10]利用射頻干擾的時域、頻域、空域、極化域特性，分別提出使用自適應波束形成[6]、自適應時頻分析[7]、極化濾波[8]、主成分分析[9]以及分數階傅里葉變換[10]等方法進行干擾抑制，然而射頻干擾抑制算法難免會在去除射頻干擾的同時，對有用的目標或海洋回波造成影響. 英國學者S. D. Green 于1995 年提出的非連續譜波形則從波形設計的角度提供了另一種解決思路[11]. 其利用密集射頻干擾環境中，若干個非連續的、較小的寂靜頻帶資源合成所需帶寬，并在接收端對多個頻帶回波信號進行相參合成處理，以提高雷達距離分辨率. 自此之后，很多學者針對非連續譜信號的譜泄露以及高旁瓣問題，對其波形設計和信號處理方法展開研究. 其中，文獻[12]對存在射頻干擾的頻帶設置懲罰函數，在發射端對非連續譜波形進行優化設計，獲得低自相關旁瓣的波形. 這類發射端優化算法在每次頻譜環境發生顯著變化時都需要重新進行優化求解，運算量較大，難以直接應用于時變的頻譜環境；文獻[13-14]針對非連續譜調頻連續波(discontinuous spectrum-frequency modulated continuous wave,DS-FMCW)信號，利用CLEAN 算法的去卷積思想在接收端優化匹配濾波輸出，然而CLEAN 算法的分辨能力有限；文獻[15]和[16]分別使用自回歸模型和正則化內插/外推算法重構非連續的信號譜，其中，自回歸模型存在階數難以確定的問題，當非連續譜信號的頻帶利用率較低時，正則化內插/外推算法的性能也難以保證；文獻[17]針對非連續譜步進頻脈沖信號，使用多快拍稀疏重構算法獲得了有益的效果.本文作者在文獻[18]中提出使用自適應迭代幅度相位估計算法直接實現DS-FMCW 信號的距離譜估計，在信號頻帶利用率較低時，也能夠獲得較好的分辨性能，然而該算法的迭代復雜度較高.

綜上，目前對DS-FMCW 信號接收端自適應處理技術的研究仍有限，而采用調頻連續波信號的雷達接收機采用去斜處理方式，和脈沖雷達差異明顯.因此，非常有必要進一步建立DS-FMCW 的信號處理模型，并設計性能和實時性均有保障的處理算法.具體地，首先，針對DS-FMCW 信號，依次建立非均勻采樣的距離譜以及距離-多普勒二維譜估計模型，并針對距離徙動問題，提出兩種距離-多普勒處理方案. 其次，為解決非連續工作頻帶來的譜泄露問題，利用目標單元相比于總距離單元或距離-多普勒單元的稀疏性，將一種迭代式稀疏重構算法引入處理方案中[19-22]，并對該算法的運算量和快速實現方式展開了討論. 最后通過計算機仿真，對以上處理方案的有效性以及算法性能和計算復雜度進行了評估和驗證.

1 DS-FMCW 信號模型

1.1 DS-FMCW 波形設計和回波分析

圖1 DS-FMCW 信號頻率-時間關系示意圖Fig. 1 Illustration of frequency-time relationship of DS-FMCW signals

1.2 采樣點平移與距離譜估計模型

如前所述，DS-FMCW 回波信號存在頻譜非連續帶來的延時依賴相位跳變，因此無法使用離散傅里葉變換/逆變換(discrete fourier transform/ inverse transform, DFT/IDFT) 來獲取目標距離.

對式(5)進行變形，為簡化公式，本節暫不考慮目標速度，1.3 節將對速度的影響進行討論，有

1.3 距離-多普勒二維譜估計模型

常規高頻雷達通過對掃頻周期間相同距離單元的距離變換結果進行DFT 來實現多普勒處理，由于距離單元較大且考慮的海面目標速度較小，一般無需考慮距離徙動問題[25]. 然而，DS-FMCW 雷達利用了多個不連續的頻帶，相比于常規FMCW 雷達，總帶寬變大，距離單元減小，距離徙動變得不可忽略.

式中，i的取值可根據快時間采樣點n推算. 與常規FMCW 雷達不同，由于存在距離徙動項，式(17)表示的DS-FMCW 去斜數據中，快、慢時間項難以分離，無法通過兩級級聯傅里葉變換實現距離-多普勒處理. 此時，需根據采集的去斜數據，對距離和多普勒頻率組成的參數對進行同時估計，即需要解決二維譜估計問題.

2 DS-FMCW 信號的距離-多普勒處理方案

2.1 處理方案一——二維聯合處理

2.2 處理方案二——級聯處理

當CPI 較長時，方案一的CPI 矩陣向量化會導致巨大的向量維度. 本小節提出一種先進行多普勒處理，再進行距離處理的級聯處理方案，其中，在多普勒處理的同時完成距離徙動補償以及快時間和慢時間的解耦.

根據式(17)，Y的列元素相位差由v～l確定. 將第n個距離單元的慢時間維匹配矢量記為aslow,n(v)：

綜上，本節所提出的先多普勒處理再距離處理的DS-FMCW 級聯處理方案具體流程如表1 所示.

表1 DS-FMCW 信號距離-多普勒級聯處理方案Tab. 1 Range-Doppler cascading processing scheme of DS-FMCW signals

將兩種DS-FMCW 信號距離-多普勒處理方案進行對比：

1)級聯處理方案的時間和空間復雜度都遠低于聯合處理方案.

2)級聯處理方案中，在多普勒維采用的是匹配濾波法，沒有使用超分辨算法. 由于高頻雷達CPI 通常較長，因此此時匹配濾波結合窗函數已能夠獲得較好的結果；而當CPI 較短時，聯合處理方案則能夠實現距離維和多普勒維的同時超分辨估計.

3 基于SLIM 算法的DS-FMCW 距離-多普勒處理

第2 節給出的兩種DS-FMCW 信號距離-多普勒處理方案最終都需要解決一個譜估計問題，見式(22)和式(32)，該譜估計問題的特點是采樣序列存在非均勻性，且僅有一個快拍. 在采樣序列非均勻的情況下，LS 法/匹配濾波法存在旁瓣高的問題；而快拍數少則限制了子空間類算法[26-27]以及自適應濾波器組類算法[28-29]等依賴于采樣協方差矩陣的算法的使用.

在DS-FMCW 信號的距離-多普勒處理中，目標相比于場景中的距離和多普勒頻率柵格點，存在明顯的稀疏性. 因此，可以使用稀疏信號恢復技術，來對式(22)和(32)進行求解，以抑制譜泄露帶來的高旁瓣問題，提高分辨能力和精度.

基于迭代最小化的稀疏學習(sparse learning via iterative minimization, SLIM)算法最早應用于多輸入多輸出雷達成像領域，該算法基于貝葉斯框架，并使用循環最小化(cyclic minimization, CM)算法[30]迭代地求解問題的稀疏最大后驗解[19-21]，因此也稱為自適應迭代最大后驗概率算法[22]. 其具有適用于單快拍、收斂速度快等優點. 本文使用SLIM 算法求解所提出的兩種DS-FMCW 處理方案中的譜估計問題.

為簡化論述，兩種距離-多普勒處理方案需要解決的譜估計問題可統一表述為

4 運算量分析與快速算法

4.1 運算量分析

以每次迭代所需要的復數乘法個數來描述SLIM 算法用于DS-FMCW 信號譜估計的復雜度. 根據表2 可知，SLIM 算法的運算量主要集中在協方差矩陣R(i)的計算以及譜值γ(i+1)的計算，兩者的復乘個數分別為PJ2+PJ、J3. 經分析，單次迭代SLIM的總復乘個數為PJ2+J3+3PJ. 一般認為柵格數遠大于信號維度，即P?J，因此SLIM 算法的計算復雜度可記為O(PJ2).

表2 SLIM 譜估計算法Tab. 2 SLIM algorithm for spectral estimation

針對距離-多普勒聯合處理和級聯處理方案，基于SLIM 算法進行譜估計的總運算量分別可記為O(PQ(MN)2)和O(QMN)+O(QPN2)，可以看到，由于采用了分級處理，且速度維采用的是常規匹配濾波算法，級聯處理方案的運算量遠低于聯合處理方案.

4.2 基于共軛梯度最小二乘(CGLS)法的快速算法

4.3 基于快速傅里葉變換的快速算法

文獻[21]研究了缺失數據下用于合成孔徑雷達成像的SLIM 算法，并利用了二維匹配矩陣結構對算法進行加速. 對距離-多普勒聯合處理方案而言，由于距離徙動項以及快時間多普勒項的存在，快、慢時間的匹配因子難以分離，因此難以根據匹配矩陣的結構進一步進行算法加速. 而對級聯處理方案而言，經多普勒處理，各速度通道的多普勒項均已補償，匹配矩陣結構由快時間采樣序列所確定. 對DS-FMCW而言，經采樣點平移運算后的快時間采樣序列呈現間斷均勻的特點. 據此，本小節利用間斷序列的匹配矩陣結構特征并結合快速傅里葉變換/逆變換(fast fourier transform/inverse transform, FFT/IFFT)算法 實現DS-FMCW 的快速距離譜估計.

首先，根據1.2 節引入的采樣點平移方法以及圖2的示意，經采樣點平移后DS-FMCW 去斜序列呈現為間斷均勻分布，設采樣序列和間斷序列共同組成虛擬完整序列. 記快時間的虛擬完整序列構成的向量為yc∈CNc×1，其中Nc為虛擬完整序列的長度. 顯然有N≤Nc.yc和快時間采樣序列y通過選擇矩陣J相聯系，即

圖2 采樣點平移方法示意圖Fig. 2 Illustration of sampling points displacement method

式中：IFFT(a,P)表示對向量a進行P點IFFT 運算，若向量a元素少于P，則進行補零. 根據式(45)，計算R(i)的復雜度現為O(Plog2P).

進一步，表2 中 γ(i+1)的 迭代式中，R-1(i)y的結果可通過共軛梯度(conjugate gradient, CG)法對方程組R(i)u=y求解得到，計算復雜度為O(nCGN2). 記計算結果為u?=R-1(i)y，則有

計算 γ(i+1)的 復雜度現為O(Plog2P)+O(nCGN2).

最后，表2 中η(i+1)的迭代式中，Aγ(i+1)=J(Fγ(i+1))， 其中d=Fγ(i+1)可使用FFT 進行快速計算：

式中： FFT(a,P)表示對向量a進行P點FFT 運算，若向量a元素少于P，則進行補零.

綜上，將這種利用了間斷均勻特性，并使用FFT/IFFT 進行加速的DS-FMCW 信號快時間維SLIM譜估計算法記為FFT-SLIM 算法，具體算法步驟如表3 所示. 根據以上分析，總計算復雜度為O(Plog2P+nCGN2).

表3 FFT-SLIM 譜估計算法Tab. 3 FFT-SLIM algorithm for spectral estimation

綜上分析，使用不同的SLIM 實現方式，本文所提出的兩種DS-FMCW 信號距離-多普勒處理方案的運算量分別如表4 所示. 可以看到：

1)級聯處理方案的運算量整體上低于聯合處理方案；

2)聯合處理方案無法使用FFT 進行加速；

3)基于FFT-SLIM 的級聯處理方案具有最低的運算量.

5 仿真實驗

5.1 基于SLIM 算法的DS-FMCW 距離譜估計性能仿真

實際的高頻電磁環境復雜且時變，DS-FMCW 雷達需要根據實際的頻譜監測結果改變信號的頻帶利用率ρ 以及頻帶分布. 因此，首先采用蒙特卡洛方法驗證不同頻帶分布下，SLIM 算法的距離譜估計性能.具體而言，考慮4 組頻帶利用率，分別為ρ = 20%、50%、80%、100%，在每組的每次實驗中，固定頻帶總跨越帶寬ΔF為500 kHz，且根據ρ 值，隨機模擬DSFMCW 信號的占用頻帶分布；設置兩個相距100 m的目標，它們相距雷達站的距離分別為50 km、50.1 km.

距離譜估計過程中，搜索網格大小對譜估計結果影響很大：一方面，為降低離格誤差，應盡量減小網格大小；另一方面，當網格過小時，匹配矩陣中各列的相關性太大，稀疏信號重構的有限等距屬性(restricted isometry property, RIP)難以滿足，重構效果變差[32-33]. 因此，實際應用中，需依據信號的固有分辨能力選取合適的網格大小. DS-FMCW 信號固有距離分辨率為ΔR=c/(2ΔF)，在本實驗中為ΔR= 300 m，因此，在蒙特卡洛實驗中，將搜索網格大小固定為信號固有分辨率的1/10，即30 m.

實驗中采用測距均方根誤差(root-mean-square error, RMSE)作為性能評估標準，多目標的RMSE 定義為

式中：Z為蒙特卡洛實驗次數；L為目標數；為第z次蒙特卡洛實驗對第l個目標的距離估計結果；Rl為第l個目標的距離真實值. 同時，采用式(23)的LS 方法以及經典的正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit, OMP)算法[34]對DS-FMCW 的距離譜估計模型也進行了求解，作為對比實驗. 三種方法在-4～20 dB的信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)區間結果分別如圖3(a)、(b)、(c)所示.

圖3 LS、OMP 以及SLIM 算法的距離估計RMSEFig. 3 Range estimation RMSE of LS, OMP and SLIM algorithms

根據圖3 中三種方法距離估計RMSE 結果，在任意的SNR 和頻帶利用率下，SLIM 算法的RMSE性能均比LS 和OMP 算法更優. 這是由于常規的LS 算法無超分辨能力，而貪婪類OMP 算法在采樣序列非均勻且僅有單觀測向量時，對靠得較近的兩個目標的分辨能力有限. 因此兩者的距離估計結果中存在較為明顯的偏差，在總跨越帶寬不變的情況下，隨著頻帶利用率和SNR 的提高，該偏差難以改善. SLIM 算法則能夠有效分辨這兩個目標，即使頻帶利用率只有20%，仍能夠在SNR 大于0 dB 時，對兩個距離相近的目標獲得低于200 m 的測距RMSE；當SNR 大于10 dB 時，測距RMSE 進一步降低至80 m.

隨后，對第4 節介紹的兩種適用于DS-FMCW 信號的SLIM 快速算法的運行時間進行統計，并和原始SLIM 算法以及常規LS 算法進行對比，四種算法的單次迭代運行時間統計結果如圖4 所示. 可以看到：CGLS-SLIM 算法可以節省2～3 倍的運行時間，而使用FFT 后，FFT-SLIM 算法比原始算法節省了10 倍左右的運行時間，且單次迭代的運行時間小于傳統LS 算法的1.5 倍，有效證明了基于SLIM 算法的DS-FMCW 信號處理方法的可行性.

圖4 算法運行時間對比Fig. 4 Comparison of running time

5.2 DS-FMCW 波形設計與距離-多普勒處理案例

根據文獻[5]表2 中給出的1999 年夏季加拿大紐芬蘭島某處3.00～6.00 MHz 帶寬內的寂靜頻帶分布監測結果設計DS-FMCW 信號，所設計的信號占據了5.11～5.80 MHz 頻帶內的10 段不連續的寂靜帶寬，每段帶寬最小為10 kHz，最大為50 kHz，總工作帶寬為220 kHz. 調頻周期設置為128 ms. 綜上，發射波形的時頻關系如圖5 所示，波形的頻帶利用率為ρ = 31.9%.

根據圖5 的DS-FMCW 波形參數，總跨越帶寬為690 kHz，對應距離維分辨率為217 m. 仿真中設置CPI 為512 個掃頻周期，即65 s，對應速度分辨率為1.5 km/h. 距離-多普勒處理過程中，距離網格大小和速度網格大小均選擇為固有距離分辨率的1/10，即分別為21.7 m 和0.15 km/h.

圖5 所設計的DS-FMCW 信號時-頻關系Fig. 5 Time-frequency relationship of the designed DSFMCW signal

設置在距離、速度維均非常接近的4 個目標，它們的距離分別為120、120、120.2、120.2 km，速度依次為40、45、40、45 km/h，SNR 均為-10 dB. 根據設置的參數，45 km/h 的目標在CPI 內已運動了812.5 m，約為3～4 個距離單元.

使用本文所提出的兩種距離-多普勒處理方案對所設計的DS-FMCW 信號一個CPI 的回波數據進行處理. 為降低速度維旁瓣，在兩種處理方案中，掃頻周期間數據均加了-35 dB 的泰勒窗[35]. 當快時間使用LS 方法求解時，聯合處理與級聯處理得到的結果相同，如圖6 所示. 其中，圖6(a)為距離-速度二維譜，圖6(b)為在目標速度真值處的距離維截面，圖6(c)為在目標距離真值處的速度維截面. 圖6(a)中用圓圈標出了目標的真實距離和速度，圖6(b)、(c)中分別用紅色虛線標出了目標的真實距離和速度. 從圖6能夠看出：兩種處理方案均能夠正確地處理距離走動；且由于慢時間維不受頻譜非連續的影響，當積累時間較長時，速度維旁瓣低、分辨率高，性能可接受；而距離維結果則存在嚴重的高旁瓣問題.

圖6 LS 方法的譜分析結果(聯合與級聯處理方案)Fig. 6 Spectral analysis results of LS method (joint and cascading schemes)

當在聯合處理方案中使用SLIM 算法進行距離-多普勒譜聯合迭代時，得到的結果如圖7 所示；相應地，當在級聯處理方案中使用SLIM 算法對每個速度通道進行距離維譜估計時，得到的結果如圖8 所示.和圖6 類似，圖7 和圖8 中均列出了距離-速度二維譜以及在目標處的距離、速度截面. 對比圖6～8，可以看到：

圖7 SLIM 算法的譜分析結果(距離-多普勒聯合處理方案)Fig. 7 Spectral analysis results of SLIM algorithm (range-Doppler joint processing schemes)

圖8 SLIM 算法的譜分析結果(距離-多普勒級聯處理方案)Fig. 8 Spectral analysis results of SLIM algorithm (range-Doppler cascading processing schemes)

1)和LS 方法結果相比，引入SLIM 算法解決了DS-FMCW 信號頻譜非連續性造成的距離高旁瓣問題，且具備一定的超分辨能力.

2)聯合處理方案可實現距離與多普勒頻率同時超分辨估計.

3)級聯處理方案僅在快時間維使用了SLIM 算法，存儲量和運算量大大低于聯合處理方案，高頻雷達的積累時間一般較長，此時速度維進行常規匹配濾波處理的性能也已足夠.

6 結 論

本文依次將DS-FMCW 信號的距離處理和距離-多普勒處理建模為一維和二維的非連續采樣序列譜估計問題，該模型具有很強的通用性，擴展了DSFMCW 信號的處理思路. 并且，文中對距離徙動和距離高旁瓣問題展開了研究. 其中，對于距離徙動問題，提出了距離-多普勒聯合處理與級聯處理方案，兩者分別適用于短CPI 和長CPI 的場景；對于距離高旁瓣問題，引入了SLIM 算法對距離譜或距離-多普勒譜進行稀疏重構，并提出了該算法用于DS-FMCW信號模型中的多種快速算法. 計算機仿真實驗驗證了：1) 所提出的兩種距離-多普勒處理方案均能夠正確處理距離徙動問題；2) 在任意的頻帶分布下，和LS、OMP 算法相比，SLIM 算法能獲得最優的參數估計和超分辨性能；3) 當頻帶利用率僅為20%時，SLIM 算法也能夠獲得較好的性能；4) FFT-SLIM 單次迭代時間低于1.5 倍的LS 算法時間. 綜上，基于SLIM 算法實現DS-FMCW 的處理具有較強的實用價值. 對于收發共用的高頻雷達系統，FMICW的應用更為廣泛，然而其門控脈沖的存在必然會使得非連續譜FMICW 的信號處理和DS-FMCW 存在顯著差異，未來我們將對其展開進一步研究.