基于最小二乘反演的半航空瞬變電磁純二次場數據運動噪聲去除方法

楊洋， 張衡， 周長宇， 陳成棟， 孫懷鳳*

1 山東大學巖土與結構工程研究中心， 濟南 250061 2 山東大學地球電磁探測研究所， 濟南 250061 3 山東省工業技術研究院先進勘探與透明城市協同創新中心， 濟南 250061

0 引言

半航空瞬變電磁法(SATEM)最早是由Nabighian(1988)提出的一種地球物理勘探方法，它采用地面發射、空中接收的工作模式，這種模式結合了地面瞬變電磁法(TEM)大功率發射和航空瞬變電磁法(AEM)空中快速勘探的優勢，克服了在復雜地形條件下傳統地面勘探手段無法有效開展和航空電磁勘探不適用且成本高的問題(嵇艷鞠等，2013, 2014).該方法具有觀測純二次場、適應性強、靈敏度高和分辨率強的特點(孫懷鳳等，2019；張向陽等，2019)，能夠在我國中西部地區，尤其是地形復雜地區提供一種新的勘察技術手段(圖1).

圖1 半航空瞬變電磁勘探Fig.1 Semi-airborne transient electromagnetic exploration

由于接收線圈與飛行器在空中通過軟連接固定，導致飛行過程中接收線圈一直處于非穩定運動狀態，從而產生運動噪聲，成為半航空瞬變電磁法影響最嚴重的噪聲之一.線圈運動噪聲是由接收線圈切割地磁場，導致線圈內部磁通量變化而形成的感應電動勢，該噪聲頻率較低，并且伴隨著測量工作一直存在，是航空電磁勘探的主要噪聲源(殷長春，2018；毛鑫鑫等，2021).

國內外學者在線圈運動噪聲的分析和去除方面取得了很大進展，Lane等(2000)和Buselli等(1998)分別從時間域和頻率域分析了運動噪聲特點并得出運動噪聲主要能量集中在低頻域，頻率主要集中于0～1000 Hz.Munkholm(1997)利用三分量磁場之和在主場方向上的投影與運動噪聲之間耦合為最小原理抑制運動噪聲.Davis等(2006)考慮了線圈運動引起的系統幾何參數變化的影響，并設計濾波器進行硬件補償去除運動噪聲.此外，還有一部分學者采用數據分解和擬合去除運動噪聲，Lemire(2001)采用樣條插值和拉格朗日優化算法，去除航空電磁數據中的基線漂移；Kass等(2010)在反演運算中利用主成分壓制噪聲；朱凱光和李楠(2009)研究了航空電磁探測數據中的多種噪聲及壓制技術；尹大偉等(2013)提出多項式擬合法去除運動噪聲；李肅義等(2013)在低空電磁數據處理中采用小波變換去除運動噪聲；Ji等(2016)采用小波閥值法去除時間域電磁數據中的運動噪聲，提高深部異常分辨率；劉富波等(2017)采用總體經驗模態分解法實現對運動噪聲的分離與剔除.隨著深度學習的興起，Xue等(2020)采用字典學習算法去除時間域航空電磁數據中的運動噪聲.由上述研究可知，航空電磁數據線圈運動噪聲去除研究較為充分.與航空電磁法類似，SATEM在野外數據采集過程中，會產生較大的運動噪聲，然而大部分勘探儀器只在關斷之后進行數據采集，獲得的數據是非全時的，從而導致許多去噪方法無法有效去除線圈運動噪聲.

針對非全時SATEM數據，本文提出一種基于最小二乘的非全時SATEM數據運動噪聲去除方法.通過分析電磁數據衰減曲線的特點，將非全時電磁數據延拓至全時長，基于傅里葉級數構造衰減晚期數據的超定線性方程組，通過最小二乘反演求解運動噪聲，并將所獲得運動噪聲從原數據中剔除.本文提出的運動噪聲去除方法得到了實際驗證，對非全時SATEM數據預處理體現了明顯處理效果.

1 瞬變電磁純二次場數據運動特征分析

半航空瞬變電磁系統工作時，地面的發射源以一定電流，向地下發射一次脈沖場.當激勵源的電流在某一關斷時間不為零的瞬間突然關斷后，地下探測區域的介質將被激勵起呈環狀穿透的包含地電信息的二次場，以維持在斷開電流前的穩定電磁場(一次場)，二次場的變化特性與地下探測介質的電性分布密切相關，在一次場的關斷間隙觀測二次場的衰減特征.

圖2a給出實測的雙極性矩形發射波形，圖2b給出對應的理想二次場衰減曲線，圖2c給出對應的實測二次場衰減曲線.在一次場的關斷間隙，二次場隨時間呈指數衰減，可以根據其特性將其衰減曲線劃分為三個階段：早期、中期、晚期，各階段信號的特點如下：早期，信號強、能量大，衰減很快，有效電磁響應信號和噪聲重疊；中期，電磁響應信號逐漸減小，強度變弱，噪聲影響逐漸變大；晚期，有效電磁響應信號很小，能量微弱，幾乎被噪聲淹沒.

在實測過程中，當一次脈沖場突然關斷后，二次場的產生需要一定的過程.如圖2b所示，實測每個半周期數據二次場尖峰前存在能量增強段，而最前端低能量平滑區為噪聲部分，與衰減曲線晚期信號特點相似，以下統稱為晚期數據.

圖3a給出雙極性矩形波的全時理論響應，圖3b給出雙極性矩形波的非全時理論響應，圖3c給出廣西某地實測非全時半航空瞬變電磁響應剖面.從圖3c能夠很容易地看出每個半周期衰減曲線的起點和終點之間存在明顯的階躍，這是由于只在關斷后接收數據、供電時段不采集信號，造成所觀測到的數據是非全時的.同時由于線圈通過軟連接懸掛于無人機下方，無人機飛行時線圈姿態變化所引起運動噪聲較為明顯.在進行地球物理反演之前，需要從觀測到的電磁數據中去除線圈運動噪聲.

圖2 半航空瞬變電磁二次場衰減曲線(a) 發射波形; (b) 理想衰減曲線; (c) 實測衰減曲線.Fig.2 Decay curve of semi-airborne transient electromagnetic secondary field(a) Emission waveform;(b) Ideal decay curve; (c) Measured decay curve.

2 基于最小二乘反演的運動噪聲去除方法

2.1 純二次場數據的全時延拓

如前所述，很多瞬變電磁儀器供電時并不采集信號，只采集關斷后信號，因此造成瞬變電磁時域數據并非全時的.線圈姿態隨時間連續變化，因此，每兩個相鄰半周期衰減曲線起點和終點之間存在明顯的階躍，導致運動噪聲以及有效電磁數據的連續性消失.本文首先將數據延拓至全時長，使各點對應到二次場響應的真實時刻.

將響應剖面各樣本點根據其所屬的半周期進行分割，假設共a個樣本點，b個半周期，則每個半周期有a/b個樣本點.各個樣本點之間時間間隔一致，每兩個相鄰半周期之間存在一個半周期的時間間隔.假設一個半周期時間間隔為單位“1”，將實測第1、2、3,…,b個半周期樣本數據分別移動到第1、3、5,…,2b-1半周期位置處，第2、4、6,…,2b位置不做任何處理.

圖4a給出圖3c實測響應剖面延拓至全時長的結果圖.已知廣西某地半航空實測數據共9600個樣本點，32個半周期，每個半周期含有300個樣本點.因此，將第1～300、第301～600,…、第9301～9600樣本點分別移動到第1～300、第601～900,…、第18901～19200樣本點位置.

從圖3c和圖4a的比較中可以明顯看出，不同半周期衰減曲線之間的連續性已經恢復.而且，在線圈運動噪聲去除方面，連續數據明顯優于不連續數據.上述全時長延拓方式，符合噪聲的連續性規律，能夠獲得更好的線圈運動噪聲擬合結果.需要注意的是，如果采集的半航空瞬變電磁數據為全時長數據，則無需進行上述延拓，同時，本文所提出去噪方法同樣適用于全時數據.

圖3 半航空瞬變電磁雙極性矩形波響應剖面(a) 全時理論響應; (b) 非全時理論響應; (c) 實測響應剖面.Fig.3 Semi-airborne transient electromagnetic bipolar rectangular wave response profile(a) Full-time theoreticalresponse; (b) Non-full-time theoretical response; (c) Measured response profile.

圖4 數據預處理(a) 非全時瞬變電磁數據延拓至全時長; (b) 非全時瞬變電磁衰減晚期數據.Fig.4 Data preprocessing(a) Extension of non-full-time TEM data to full-time; (b) Late data of non-full-time transient electromagnetic decay curve.

特別強調的是，每個半周期二次場早、中期的衰減特性會對擬合運動噪聲的發展趨勢產生影響.如圖4b所示，基于瞬變電磁晚期數據有效信號很小、幾乎被噪聲淹沒的特點，從圖4a中剔除每個半周期衰減早、中期的數據，選擇衰減晚期的數據點作為噪聲在時間域的已知點，重建全時長的運動噪聲.

2.2 基于最小二乘反演的運動噪聲去除方法

線圈運動噪聲是由線圈姿態變化引起磁通量改變而產生的感應電動勢，線圈的姿態變化類似于單擺運動，具有一定的周期性特征，而傅里葉級數對表示周期性信號或者近似周期信號具有天然的優勢(Bracewell,1966; Yang et al.,2018).因此，本文利用傅里葉正交基來重建全時長的運動噪聲.更具體地說，通過傅里葉級數構造超定線性方程組來擬合運動噪聲.

通過離散傅立葉逆變換構建針對離散信號的傅立葉級數，離散傅里葉逆變換公式為：

(1)

(2)

假設等式中f(x)為運動噪聲的連續采樣，則F(y)為運動噪聲對應的離散頻率域系數，但事實上只有部分運動噪聲是準確知曉的，即瞬變電磁晚期數據，而在早期，有效信號與運動噪聲重疊是無法直接分離的，運動噪聲一般以中低頻為主，能量亦主要集中于中低頻段，因此刻畫運動噪聲并不需要全部頻率域系數，只需要部分頻率域系數即可，尤其是低頻段對應頻率域系數，如果噪聲在時間域已知點的數目大于頻率域未知系數的數目，則可以通過構建超定方程組求解噪聲的頻率域系數.

不妨設運動噪聲在頻率域中有兩個期望頻率(實際上可能有更多頻率)，即四個頻率域系數，則可以通過選擇時間域中任意四個值準確已知的點來構造一個適定的線性方程組求得唯一解，即：

(3)

式中，右邊紅色變量為期望頻率，即運動噪聲對應頻率.左邊藍色變量為在時間域中所選中數據點.

由于實際數據中除運動噪聲外仍存在高斯噪聲等其他噪聲，所以需要在時間域中選擇更多的點構造一個超定的線性方程組求解運動噪聲.在這樣的情況下，假設選擇了六個時間域數據點，有四個待求的頻率系數，超定的線性方程組如式(4)所示：

(4)

將式(4)改寫為一個矩陣向量公式，可得：

Ax=b，

(5)

其中：

(6)

將(5)式兩邊左乘A的轉置矩陣AT，得到：

ATAx=ATb，

(7)

在式(7)兩邊左乘(ATA)-1，利用最小二乘求解期望頻率系數向量x，得到：

x=(ATA)-1ATb.

(8)

然后，將求解得到的期望頻率系數向量x中各個元素放到在頻率域對應的位置，利用離散傅里葉逆變換反演得到全時長的時間域運動噪聲，并將其從對應位置的非全時電磁數據中去掉以達到去除運動噪聲的目的.公式(9)給出運動噪聲構造方法，其中，我們利用4個不同頻率系數構造整個時間序列噪聲，即：

(9)

更一般的，當實測瞬變電磁數據均值明顯偏移二次場響應能量為0位置時，可以在公式(6)中矩陣A最右側加入一列一階勒讓德多項式，修正曲線的偏移，以得到更準確的結果.

一階勒讓德多項式可表示為：

p1(x)=x，

(10)

式中，x∈[-1,1]，x個數等于N，各點間隔2∕(N-1)，則求解矩陣可表示為：

(11)

式中，p1(m1),…,p1(m6)代表樣本點在時間域對應位置的一階勒讓德多項式，P1(k)代表一階勒讓德多項式系數.

由于數據本身是非全時的，無法直接通過傅里葉變換獲得運動噪聲期望頻譜.為得到合理的期望頻率，本文首先通過勒讓德多項式對延拓至全時長的非全時數據進行擬合，對擬合曲線進行頻譜分析，從而估計運動噪聲對應期望頻率.勒讓德多項式階數的選擇，則以衰減晚期數據去除多項式擬合曲線后剩余噪聲平均能量小于去噪前相對于均值的平均能量的10%為準.由于運動噪聲能量主要集中在低頻域(1 Hz～1 kHz)，且隨著頻率的增加噪聲幅值迅速衰減(Buselli et al.,1998)，因此，本文將基于勒讓德多項式擬合基線得到的頻譜進行能量累加，累加范圍為1 Hz～1 kHz.基于大量實際數據測試的統計結果，最終選擇以80%累加能量和為閾值確定期望頻率最大值，以此確定實測數據的運動噪聲期望頻率范圍，進而基于期望頻率建立針對運動噪聲頻率系數的超定方程組，以求解完整運動噪聲.

3 合成模型算例與方法測試

針對仿真數據進行去噪算法測試，假設仿真信號采樣頻率為30000 Hz，周期樣本點個數為600個，信號峰峰值為11.4343 mV，共32個周期,19200個采樣點.

圖5a為全時仿真原始信號，圖5b為模擬運動噪聲信號，將圖5a、b合成得到圖5c所示的含運動噪聲全時仿真信號.進而，將圖5c中第1、3、5,…,63半周期數據摘取出來，拼接成如圖5d所示的非全時瞬變電磁數據仿真信號，其中，圖5a所示全時仿真原始信號為雙極性矩形波正演得到的全時理論響應，圖5b所示模擬運動噪聲信號由Matlab編程隨機產生的未知周期、未知幅值的三角函數構成.

圖5 含運動噪聲非全時瞬變電磁信號仿真(a) 仿真原始信號; (b) 模擬運動噪聲; (c) 全時含噪仿真信號; (d) 非全時含噪仿真信號.Fig.5 Simulation of non-full-time transient electromagnetic signal with motion noise(a) Simulated original signal; (b) Simulated motion noise; (c) Full-time noisy simulated signal; (d) Non-full-time noisy simulated signal.

圖6a給出將圖5d非全時含噪仿真信號延拓至全時長的結果.圖7a給出仿真信號衰減曲線.其中，第1～10、51～300樣本點有效電磁響應信號很幾乎被噪聲淹沒，為晚期數據，將其從圖6a中剔除，結果見圖6b.

圖6 勒讓德多項式擬合非全時含噪仿真信號運動噪聲(a) 含噪仿真信號延拓至全時長; (b) 含噪仿真信號晚期數據; (c) 勒讓德多項式擬合基線; (d) 去噪后信號.Fig.6 Motion noise of non-full-time noisy simulation signal fitted by Legendre polynomials(a) Noisy simulation signal extended to full-time; (b) Late data of noisy simulation signal; (c) Baseline of Legendre polynomials fitting; (d) Signal after denoising.

圖7b給出選用階數1～10階的勒讓德多項式擬合后剩余噪聲平均能量值.去噪前相對于均值的平均能量為15.76 mV，勒讓德多項式最高階為6階時，剩余噪聲平均能量小于10%，因此采用6階勒讓德多項式初步擬合全時運動噪聲基線，從原始數據中直接剔除基線，由圖6d可見，去噪后相鄰半周期之間仍存在明顯的階躍，表明利用勒讓德多項式整體擬合方式的去噪效果并不理想.然而，如圖6c所示，擬合基線與原始數據發展趨勢幾乎一致，因此可以估計運動噪聲頻譜.實測數據也將采用上述方式進行頻譜分析.短時傅里葉變換得到如圖8a所示頻譜，80%累加能量和(1 Hz～1 kHz)界限為82 Hz.

圖7 仿真信號衰減曲線和勒讓德多項式階數選取(a) 仿真信號衰減曲線; (b) 勒讓德多項式階數-剩余噪聲平均能量.Fig.7 Decay curve of simulated original signal and selection of the order of Legendre polynomials(a) Decay curve of simulated original signal; (b) The order of Legendre polynomials-average energy of residual noise.

圖8 勒讓德多項式擬合基線頻譜分析(a) 頻譜; (b) 1 Hz～1 kHz能量累加.Fig.8 Spectral analysis of baseline fitted by Legendre polynomials(a) Spectral; (b) Accumulation of energy from 1 Hz to 1 kHz.

采用0～82 Hz、頻率間隔為30000/(2×9600)Hz的傅里葉正交基擬合運動噪聲基線，系數矩陣A為8320×132的超定方程組.如圖9b所示，用非全時仿真信號減去擬合運動噪聲，得到圖9c所示的去噪數據，各半周期信號峰峰值能量高度一致，晚期數據平滑.模擬運動噪聲與擬合運動噪聲基線對比結果如圖9a所示，二者發展趨勢幾乎重疊.

圖9 傅里葉正交基及小波變換擬合非全時含噪仿真信號運動噪聲(a) 仿真運動噪聲與擬合運動噪聲基線; (b) 傅里葉正交基擬合基線; (c) 去除傅里葉正交基基線的信號; (d) 非全時仿真信號差分; (e) 小波變換擬合基線; (f) 去除小波變換基線的信號.Fig.9 Fitting motion noise of non-full-time noisy simulation signal by Fourier orthogonal basis and wavelet transform(a) Simulated motion noise and fitted motion noise baseline; (b) Baseline fitted by Fourier orthogonal basis; (c) The signal removed baseline fitted by Fourier orthogonal basis; (d) Non-full-time simulation signal differential; (e) Baseline fitted by wavelet transform; (f) The signal removed baseline fitted by wavelet transform.

為了對比不同方法的去噪效果，本文采用了小波分解的方式進行去噪(Wang et al., 2013)，在應用中采用了db5和分解層數9對仿真信號進行處理，去噪結果如圖9f所示.運動噪聲在一部分樣本點被很好的抑制，但同時能夠看到，在某些位置去噪結果仍然不甚理想，特別是在每個周期兩端樣本點存在較明顯的跳躍.

利用小波分解對該信號處理效果不理想的原因，主要來自兩方面：(1)運動噪聲在時間上是相對連續的，但該信號為純二次場信號，其在時間上不連續的，因此不同周期對應衰減信號之間是存在一定階躍的，如果直接將該信號進行小波分解，將會人為引入新的噪聲，對處理效果造成影響； (2)小波分解是針對整個信號進行的，由于本身瞬變電磁信號的頻譜相對較寬，低頻運動噪聲與瞬變電磁信號中均存在低頻成分，在頻率域兩者頻譜存在重疊，在利用小波分解去除低頻運動噪聲的同時，易對瞬變電磁信號中低頻成分產生影響，進而造成去噪后的信號失真.相比小波分解方法，本文所提出方法，第一步：將純二次場信號進行時間延拓，將信號恢復到其準確時間軸上，以解決運動噪聲時間連續性問題；第二步：避開瞬變電磁信號幅值較大位置，截取不同周期信號中的晚期部分，由于其瞬變電磁有效信號幾乎衰減殆盡，其幾乎全為噪聲，基于該部分信號，通過最小二乘法擬合獲得全時間對應的運動噪聲，避免瞬變電磁信號本身對基線去除的影響.

圖10給出采用本文方法含噪仿真信號所有半周期去噪前、后疊加衰減曲線與仿真原始信號單一半周期衰減曲線對比結果.由圖可以看出，加入運動噪聲后仿真信號衰減曲線明顯向上偏移，使用上述方法進行去噪后，衰減曲線與原始仿真信號幾乎重疊，運動噪聲被有效去除，驗證了本文所提出方法針對仿真信號的有效性.

圖10 仿真原始信號、仿真含噪信號與去噪后信號衰減曲線對比Fig.10 Comparison of the decay curve of simulated original signal, simulated noisy signal and denoised signal

4 實測數據去噪

為了進一步驗證本文方法對非全時半航空電磁數據運動噪聲去除的有效性，我們對廣西某地半航空瞬變電磁法實測非全時純噪聲數據以及非全時電磁數據進行處理.

4.1 實測非全時純噪聲數據去噪實例

圖11a給出廣西某地半航空實測非全時純噪聲數據，即發射源未供電時，所采集純運動噪聲數據，其采樣頻率為30000 Hz,單個觀測點數據每個半周期樣本點個數為300，共32個半周期，9600個采樣點.如圖11b所示，將觀測到的非全時數據延拓至全時長，將第301～600樣本點移動至第601～900位置，第601～900樣本點移動至第1201～1500位置，依次向后延拓.

圖11 勒讓德多項式擬合實測非全時純噪聲信號運動噪聲(a) 實測非全時純噪聲信號; (b) 非全時信號延拓至全時長; (c) 勒讓德多項式擬合基線.Fig.11 Motion noise of measured non-full-time pure noise signal fitted by Legendre polynomial(a) Measured non-full-time pure noisesignal; (b) Non-full-time signals extend to full-time; (c) Baseline fitted by Legendre polynomial.

圖12給出選用階數15～25階的勒讓德多項式擬合后剩余噪聲平均能量值.去噪前相對于均值的平均能量為15.132 mV，勒讓德多項式最高階為23階時，剩余噪聲平均能量小于10%，因此采用23階勒讓德多項式初步擬合全時運動噪聲基線，結果見圖11c.傅里葉變換得到如圖13a所示頻譜，80%累加能量和(1 Hz～1 kHz)界限為110 Hz，參見圖13b.

圖12 實測純噪聲數據勒讓德多項式階數選取Fig.12 Selection of the order of Legendre polynomials for measured pure noise data

圖13 勒讓德多項式擬合基線頻譜分析(a) 頻譜; (b) 1 Hz～1 kHz能量累加.Fig.13 Spectral analysis of baseline fitted by Legendre polynomials(a) Spectral; (b) Accumulation of energy from 1 Hz to 1 kHz.

選取每個半周期的第1～10、51～300位置的樣本點數據為衰減晚期數據，采用期望頻率為0～110 Hz、頻率間隔為30000/(9600×2)Hz的傅里葉正交基擬合運動噪聲基線，系數矩陣A為8320×160，即方程數目為8320個，待解未知數為160個，利用最小二乘法求解超定方程組可獲得160個待定系數，進而用于構建運動噪聲.

如圖14所示，運動噪聲擬合結果與原始數據的發展趨勢幾乎吻合，特別是衰減早、中期運動噪聲得到很好的擬合.消除運動噪聲之后，剩余噪聲在零值附近上下振蕩，無明顯波動，表現了很好的去噪結果.

圖14 傅里葉正交基擬合非全時純噪聲數據的運動噪聲(a) 實測非全時純噪聲信號晚期數據; (b) 傅里葉正交基擬合運動噪聲; (c) 去噪后信號.Fig.14 Motion noise of non-full-time pure noise data fitted by Fourier orthogonal basis(a) Late data of measured non-full-time pure noise signal; (b) Motion noise fitted by Fourier orthogonal basis; (c) Signal after denoising.

4.2 實測非全時瞬變電磁數據去噪實例

圖15a給出廣西某地半航空實測電磁數據，其采樣頻率為30000 Hz，單個觀測點數據每個半周期樣本點個數為300，共32個半周期，9600個采樣點.參見圖15b，將觀測到的非全時數據延拓至全時長，將第301～600樣本點延拓至第601～900位置，第601～900樣本點延拓至第1201～1500位置，依次向后延拓.根據去噪前疊加衰減曲線，認為每個半周期的第11～50位置為衰減早、中期數據，將其從圖15b中剔除，結果見圖15c.

圖15 勒讓德多項式擬合實測非全時電磁信號運動噪聲(a) 實測非全時瞬變電磁信號; (b) 非全時信號延拓至全時長; (c) 晚期數據; (d) 勒讓德多項式擬合基線.Fig.15 Motion noise of measured non-full-time electromagnetic signal fitted by Legendre polynomial(a) Measured non-full-time transient electromagnetic signals; (b) Non-full-time signals extend to full-time; (c) Late data; (d) Baseline fitted by Legendre polynomial.

圖16給出選用階數5～15階的勒讓德多項式擬合后剩余噪聲平均能量值.去噪前相對于均值的平均能量為19.08 mV，勒讓德多項式最高階為10階時，剩余噪聲平均能量小于10%，因此采用10階勒讓德多項式初步擬合全時運動噪聲基線，結果如圖15d所示.傅里葉變換得到如圖17a所示頻譜，80%累加能量和(1 Hz～1 kHz)界限為132 Hz.

圖16 實測非全時數據勒讓德多項式最高階數選取Fig.16 Selection of the highest order of Legendre polynomials for measured non-full-time data

圖17 勒讓德多項式擬合基線頻譜分析(a) 頻譜; (b) 1 Hz～1 kHz能量累加.Fig.17 Spectral analysis of baseline fitted by Legendre polynomials(a) Spectral; (b) Accumulation of energy from 1 Hz to 1 kHz.

采用期望頻率為0～132 Hz、頻率間隔為30000/(2×9600)Hz的傅里葉正交基擬合運動噪聲，可以獲得系數矩陣A為8320×176的超定方程組.

如圖18所示，擬合基線與原始數據的發展趨勢幾乎吻合，運動噪聲得到很好的擬合.消除運動噪聲之后，二次場早期脈沖具有高度一致性，晚期數據平滑性也很好.傅里葉正交基擬合方法可以真實反映線圈運動噪聲.

圖18 傅里葉正交基擬合實測非全時電磁信號運動噪聲(a) 實測非全時信號與傅里葉正交基擬合基線; (b) 去噪后信號.Fig.18 Motion noise of measured non-full-time electromagnetic signal fitted by Fourier orthogonal basis(a) Measured non-full-time signal and baseline fitted by Fourier orthogonal basis; (b) Signal after denoising.

圖19給出非全時實測瞬變電磁信號所有半周期去噪前、后疊加衰減曲線對比結果，可以看出運動噪聲去除后疊加衰減曲線整體向下偏移，與圖10所示仿真信號一致，運動噪聲被有效去除，驗證了第2節所述方法的有效性.

圖19 非全時實測瞬變電磁信號所有半周期去噪前、后疊加衰減曲線對比Fig.19 Comparison of superimposed decay curves before and after all half-period denoising of non-full-time measured transient electromagnetic signals

5 結論

(1)針對半航空瞬變電磁數據中的運動噪聲進行去除時，由于運動噪聲是連續的，而采集信號只含關斷后數據，是非連續的，應先將非全時數據投影為全時長數據，以此作為前提進行運動噪聲的剔除.

(2)由于半航空瞬變電磁衰減曲線早、中期數據衰減特性會對運動噪聲的擬合產生較大影響，且易產生畸變，而晚期數據及脈沖前端部分數據衰減信號極小，幾乎只含噪聲，因此通過擬合晚期數據及脈沖前端部分數據，通過建立超定方程組求解運動噪聲傅里葉級數對應系數，能夠獲得重建后的全時長運動噪聲.

(3)通過對仿真數據、廣西某地實測數據進行運動噪聲剔除，去噪結果表明本文提出的基于最小二乘的半航空瞬變電磁運動噪聲去除方法，能夠獲得較好去噪效果，是一種針對半航空瞬變電磁運動噪聲的有效去噪方法.