一次有趣的探究之旅

史子集

一天，我遇到一道看似平淡無奇，但是探究起來非常有趣的題目：

已知線段AB的長為10cm，點A、B到直線l的距離分別為6cm和4cm，則符合條件的l的條數為（ ）。

A.1 B.2 C.3 D.4

解答這類題目，畫出圖形是關鍵。

我從A、B兩點與直線l的位置關系入手進行分類討論。

因為AB=10，在線段AB上剛好存在點C，滿足AC=6，BC=4，過點C作線段AB的垂線l。這種情況A、B兩點在直線兩側。A、B兩點還可以在直線同側，如圖1中的l1和l2。所以符合條件的直線總共有3條。

我注意到題目中的三個數字有非常巧的等量關系：10=6+4。如果改變一下條件會得到什么結果呢？假如AB=9，其他條件不變，符合條件的直線會有幾條呢？

如圖2所示，因為9<6+4，所以與AB垂直的直線不符合條件。此時只有l1和l2兩條。

假如AB=11，其他條件不變，又會有幾條直線呢？

如圖3所示，A、B兩點在直線l同側的情況仍然有兩條，即l1和l2;而A、B兩點在直線l兩側的情況也存在，而且存在兩條，即l3和l4。所以共有4條。

綜合以上情況，我得出結論：已知AB=d，A、B兩點到直線l的距離分別為m和n，則

（1）當d=m+n時，符合條件的直線存在3條;

（2）當d

（3）當d>m+n時，符合條件的直線存在4條。

我興高采烈地把這個結論拿給老師看，老師微微一笑說：“AB=2時呢？”

經過分析，原來符合條件的直線只有1條了，如圖4所示。

我把以上各種情況連貫起來看，發現當A、B兩點之間的距離逐漸減小時，l1和l2兩條直線逐漸合并成一條，最后一條都不存在了。

我重新總結結論如下：已知AB=d，A、B兩點到直線l的距離分別為m和n，假設m>n。

（1）當d>m+n時，符合條件的直線存在4條;

（2）當d=m+n時，符合條件的直線存在3條;

（3）當m-n

（4）當d=m-n時，符合條件的直線存在1條;

（5）當d

我再一次拿給老師看時，老師表揚了我的鉆研精神，同時，建議我找找九年級上冊的教材，自學圓的內容，學完后會對上面總結的結論有更深刻的理解。小伙伴們，我們一起繼續探究吧。

教師點評

小作者對這道題目的探究之旅達到了“做一題，通一類”的效果。此次探究過程不僅培養了他分類討論等嚴謹的數學思維，更鍛煉了他鍥而不舍的鉆研精神。相信自學到“圓和圓的位置關系”時，小作者會有豁然開朗的親切感受。

（指導教師：蘇冠男）