基于二維壓縮感知的有意義圖像加密算法研究

任花，牛少彰，任如勇，岳楨

（1.北京郵電大學計算機學院，北京 100876；2.河南師范大學現代教育技術中心，河南 新鄉 453007）

0 引言

隨著網絡技術的快速發展，海量圖像信息正在通過網絡快速產生和共享，與此同時，未經授權的訪問和濫用問題也隨之涌現。作為一種重要的隱私保護技術，加密技術近年來受到了廣泛關注[1]。當前的圖像加密技術通常結合其他技術來提升加密安全性，如混沌理論[1-2]、DNA 編碼[3-4]、光變換[5]、細胞自動機[6]等。雖然這些技術可以使密文數據不被直接獲取，但是類噪聲密文更易暴露被保護內容的重要性，不能確保密文的視覺安全性[7]。因此，如何提高密文的視覺安全性使其在傳輸時不易被暴露成為當前加密技術亟待解決的問題。

為了解決上述問題，Bao 等[8]在2015 年首次提出了有意義圖像加密概念，通過加密技術和信息隱藏技術將一幅明文圖像加密成另一幅有意義的加密圖像。具體來說，先通過加密技術將輸入明文圖像轉換成秘密圖像，再利用信息隱藏技術將秘密圖像嵌入一個較大尺寸的載體圖像中。然而，Bao 等算法所生成的加密圖像尺寸是明文圖像的4 倍，增加了額外傳輸負擔。幸運的是，壓縮感知（CS,compressive sensing）可同步實現信號壓縮和加密[9-10]。利用CS 將明文圖像壓縮加密成秘密圖像，并通過調整采樣率控制密文尺寸，有效解決了Bao 等算法存在的問題。

當前，大量研究已將CS 技術引入有意義圖像加密機制中[11-20]。Chai 等[11]利用CS 技術將原始明文圖像壓縮加密成秘密圖像，并將秘密圖像嵌入離散小波變換（DWT,discrete wavelet transform）后的載體系數中，得到視覺安全的加密圖像。由于DWT不可逆，對載體圖像執行DWT 會影響秘密信息的正確提取。為了實現無損的信息提取過程，Wang等[12]和Chai 等[13]利用整數小波變換（IWT,integer wavelet transform）對載體圖像進行無損變換處理，利用最低有效位（LSB,least significant bit）嵌入方法實現了小波系數的可逆修改。此外，為了降低CS測量矩陣所占用的空間，Wen 等[14]將半張量積（STP,semi-tensor product）測量矩陣構造方法應用到有意義的加密機制中。為了提高嵌入穩健性，Zhu 等[15]和Ye 等[16]利用奇異值分解（SVD,singular value decomposition）嵌入方法獲得視覺安全的加密圖像。為了解決LSB 嵌入不靈活及SVD 嵌入強度不高的問題，Wang 等[17]利用貝塞爾曲線嵌入方法實現有意義圖像加密。然而，采用一維CS 壓縮感知（1DCS,1-dimensional compressive sensing）[11-17]處理二維數字圖像信號可能導致過高的存儲計算負擔[18]?；诖?，Chai等[19]和Huo等[20]利用二維壓縮感知（2DCS,2-dimensional compressive sensing）技術對明文圖像進行壓縮加密處理，通過修改載體圖像的小波系數矩陣來嵌入秘密圖像信息，有效提高了壓縮性能和重構圖像質量。

上述基于CS 的有意義圖像加密機制[12,14-16,19-20]可歸為兩類。第一類機制[12,14-16,19]如圖1 所示，發送端依賴持有密鑰對明文圖像依次執行CS 壓縮-加密-嵌入操作，接收端使用相同密鑰逆向執行提取-解密-CS 重構操作來恢復明文圖像，此處，將CS 壓縮之前采取的稀疏系數置亂過程視為CS 稀疏化過程。第二類機制[20]如圖2 所示，發送端依賴持有密鑰對明文圖像進行加密-CS 壓縮-嵌入操作，接收端使用相同密鑰提取嵌入信息后，通過聯合CS 解壓縮和解密重構算法來恢復明文圖像。在一些實際場景中，壓縮之前需要執行圖像加密過程。例如，當發送端無充足計算資源同時執行壓縮和加密操作時，應首先實現加密確保隱私安全，然后將壓縮的計算負擔轉移給計算資源充裕的第三方處理。文獻[20]雖利用加密-壓縮-嵌入操作，但由發送端完成整個操作不適用于預設資源受限的情況。此外，文獻[20]還存在以下問題：1) 加密過程和明文無關聯，使用相同置亂向量和相同擴散向量對不同明文圖像加密會導致加密安全性不高；2) 預加密過程采取二維隨機置亂（2DRP,2-dimensional random permutation）會導致重構圖像質量不佳；3) 沒有考慮待嵌入數據和待修改數據之間的關系，直接利用LSB 替換策略修改載體系數值在一定程度上降低了加密圖像視覺安全性。

圖1 第一類機制

基于此，本文提出一種基于2DCS 的有意義圖像加密算法。首先，利用全局隨機置亂和灰度變換操作產生預加密圖像，以此作為二維壓縮感知的輸入生成秘密圖像，并通過自適應嵌入技術將秘密圖像加密成有意義圖像。其次，采用二維投影梯度重構方法聯合執行解壓縮和解密操作，獲取重構圖像。實驗結果驗證了所提算法的有效性。

1 基礎知識

1.1 壓縮感知

假設二維圖像和二維稀疏基為 X∈RN×N和Ψ∈RN×N，對X進行稀疏化，即

其中，(·)T是轉置操作，D∈RN×N是稀疏基Ψ 上的系數矩陣。當D中的大多數元素為0 時，X可視為二維稀疏信號。通常來說，CS 用于一維信號采樣。當CS 采樣二維信號時，需將二維信號轉換為一維信號后再采樣，即

其中，vec(·) 是一維向量函數，x是 1 ×N2的一維向量，Φ∈RM2×N2和y∈RM2分別為測量矩陣和測量值向量。將二維圖像數據轉換為一維向量的采樣過程稱為1DCS。根據式(2)可知，1DCS 測量矩陣所占據的存儲空間大小為 M2×N2，壓縮過程的時間復雜度為 O (M2N2)。

與1DCS 相比，2DCS 的存儲空間和時間復雜度更高效[21]。假設A和B是大小為M× N的2 個不同測量矩陣，利用2DCS 生成測量值 Y∈RM×M的過程如下

采樣率SR 定義為

由式(3)可知，2DCS 的時間復雜度為 O (MN2)，只需2MN 個存儲單元即可存儲測量矩陣。

1.2 混沌系統

混沌是確定性非線性系統中普遍存在的一種現象，具有類隨機行為，對初始條件和控制參數極為敏感[22]。與低階混沌系統相比，超混沌是一類高階混沌系統，在保密性、密鑰空間及非線性行為方面比低階混沌系統更具優勢。因此，本文利用式(5)定義的超混沌系統生成混沌偽隨機數序列[23]，即

當五階超混沌系統的控制參數設置為 [c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7]=[30,10,15.7,5,2.5,4.45,38.5]時，式(5)處于混沌狀態。

2 本文算法

本文提出的基于2DCS 的有意義圖像加密算法框架如圖3 所示。發送端借助外部密鑰和明文圖像的哈希值計算五階超混沌系統的初始值，根據初始值生成偽隨機序列，實現圖像預加密過程；云服務器端對預加密圖像執行2DCS 操作得到秘密圖像，利用平滑函數[24]自適應地將秘密圖像嵌入載體圖像中，生成有意義加密圖像；接收端提取嵌入信息后，通過二維投影梯度（2DPG,2-dimensional projected gradient）重構方法[21,25]同時進行解壓縮和解密操作獲取重構圖像。2DPG 的每次迭代包括3 個過程：空域采用梯度下降法降低圖像全變差（TV,total variation）[26]過程；小波變換域利用雙變量收縮增強圖像稀疏性過程；將迭代解投影到二維解空間過程。接下來將逐一討論所提框架內容。

圖2 第二類機制

2.1 圖像加密

2.1.1 混沌偽隨機序列生成

哈希函數因其不可逆性在圖像加密系統中扮演著重要角色。MD5 和SHA-256 是2 種常用的哈希函數，分別生成128 位和256 位哈希值。為了提高加密安全性，本節的混沌偽隨機序列由MD5 和SHA256 哈希函數控制生成。

首先，將256 位的外部密鑰K分成32 塊，即

在式(6)的基礎上，通過MD5 和SHA256 哈希函數，計算明文圖像P0和外部密鑰K的256 位哈希值H為

其中，S1、S2和S3分別計算P0的每一行像素和、每一列像素和以及對角像素和。

最后，根據 K ′和 kxor生成五階混沌系統的初始值和偽隨機序列，具體步驟如下。

1) 根據式(5)的默認方式設置五階混沌系統的控制參數，利用 kxor和 K ′計算五階混沌系統的初始值y0、z0、u0、v0和w0為

2) 為了消除混沌暫態效應，根據式(10)的初始值，循環迭代五階混沌系統次，最后一次的迭代結果充當更新的初始值。

4) 通過式(11)，生成2 個長度均為 1 ×N2的混沌偽隨機序列EP和ED，即

2.1.2 圖像預加密

生成一維置亂序列EP和擴散序列ED后，發送端對明文圖像執行全局隨機置亂（GRP,global random permutation）操作和灰度變換操作，生成預加密圖像。

首先，發送端將N× N的明文圖像P0轉換為1 ×N2的一維向量 vec(P0)；同時，利用內置排序函數排序一維置亂序列EP，得到 1 ×N2的位置向量POS。根據位置向量POS，對 vec(P0)執行全局隨機置亂操作，即

圖3 算法框架

其中，P1是置亂后的一維向量，GRP(·) 是全局隨機置亂函數。

隨后，將置亂向量P1轉換為二維矩陣，通過式(13)的灰度變換操作對P1完成擴散操作，即

其中，矩陣P2是預加密結果；二值矩陣B由擴散矩陣ED計算，且 B=mod(ED×1014,2)，ED是已轉換為二維矩陣的偽隨機序列值。

2.1.3 壓縮嵌入

云服務器端通過2DCS 操作將預加密圖像P2壓縮加密成測量值P3，將測量值P3量化到整數值[0,255]，生成秘密圖像P4，再通過平滑函數嵌入方法將秘密圖像自適應地嵌入載體系數矩陣中。具體步驟如下。

1) 構造M× N(M＜ N)的高斯隨機測量矩陣A和B，并利用2DCS 將P2壓縮加密成測量值P3，即

2) 利用非線性函數 Sigmoid 將P3量化到[0,255]，得到秘密圖像P4為

其中，round(·) 為四舍五入函數，a1=255，和min 是測量值P3中的最大值和最小值。

3) 將秘密圖像P4排列成一維向量

6) 將含嵌入信息的系數向量轉換為二維矩陣，利用LIWT 的逆變換過程將二維矩陣變換到空域，得到有意義加密圖像P5。

2.2 圖像解密

解密是加密的逆過程，主要包括秘密圖像提取和明文圖像重構過程。

2.2.1 秘密圖像提取

2.2.2 明文圖像重構

在圖像重構階段，以往有意義圖像加密算法通常先根據解密密鑰解密所提取的信息，再利用CS重構算法獲取重構圖像內容。與以往算法不同的是，本文采取二維投影梯度2DPG 重構方法[21,25]同時進行解壓縮和解密操作生成重構圖像。在圖像重構前，通過安全通道將外部密鑰K和哈希值H傳輸至接收端。

首先，利用逆Sigmoid 函數對所提取的秘密圖像P4進行逆量化。

為方便后續理解和描述，將測量值P3賦給矩陣Y。緊接著，需對二維投影梯度迭代過程初始化，而Y=P3=AP2BT的最小L2范式解可視為初始值X0。

其中，A*=AT(AAT)-1和 B*=BT(BBT)-1分別表示A和B的偽逆矩陣。

然后，分別從梯度下降、雙變量收縮和解投影3 個過程實現圖像重構。首先，利用梯度下降法降低空域圖像的TV。

其中，參數δ 用來避免分母為0，在本文實驗中δ=10-7。

3 實驗結果及對比

本節給出所提算法的仿真結果，所有實驗均在64 位Windows7 PC 16.0 GB 和Inter(R) Core(TM)i7-4770CPU @ 3.40 GHz 上進行，平臺為MATLAB R2012b。在混沌偽隨機序列生成階段，外部密鑰為K=6b679b3c77826d30a79e612114a8c18df984c176 f4e529f684748ad052241b17。在2DCS 壓縮和重構階段，正交高斯隨機矩陣作為測量矩陣，采樣率固定為重構過程采取DDWT 作為稀疏基。利用峰值信噪比（PSNR,peak signal-to-noise ratio）和平均結構相似性（MSSIM,mean structural similarity）測量加密圖像的視覺安全性和重構圖像質量。

3.1 實驗結果

本節以大小為256 像素×256 像素的標準測試圖像Parrots、Monarch、Camera、Boats 和Barbara作為明文圖像，Lena 作為載體圖像，對所提算法進行測試。圖4 給出了Parrots 和Monarch 的測試結果。由圖4 可知，秘密圖像已經壓縮加密成了原始明文圖像的，倘若在不安全通道直接傳輸，秘密圖像的類噪聲外觀易引起攻擊者的注意；如果傳輸加密圖像，可以看出不同明文圖像對應的最終加密圖像視覺上類似，與載體圖像Lena 無法用肉眼區分，因此可以在不引起攻擊者注意下實現加密圖像的安全傳輸。

需要說明的是，在有意義加密圖像生成過程中，發送端只需要對二維圖像進行預加密，此過程的時間復雜度為 O (MN)；云服務器端需要先對預加密圖像進行2DCS 處理，隨后完成嵌入操作，此過程的復雜度為 O (MN2)；接收端采取二維投影梯度重構方法解壓縮解密加密圖像，此過程的復雜度為O(MN)。因此，本文所涉及的加密算法的計算復雜度為 O (MN2)。

接下來，分別從直方圖分析、相關性分析、信息熵分析、差分攻擊及選擇明文攻擊（CPA,chosen plaintext attack）5 個方面驗證所提算法的有效性。

3.1.1 直方圖分析

圖像直方圖用來描述離散灰度值的概率密度分布。利用Lena 為載體圖像，對5 幅明文圖像進行加密，圖5 給出了載體圖像和加密圖像的直方圖結果。不難發現，不同明文圖像所對應的加密圖像具有相似的直方圖分布，且與載體圖像Lena 的直方圖分布相似，這說明所提加密算法有效地隱藏了原始明文圖像信息，攻擊者難以通過加密圖像的直方圖分布分析明文關聯信息。

3.1.2 相關性分析

對于視覺有意義的明文圖像而言，相鄰像素相關系數應接近于1。本文算法將輸入明文圖像加密成外觀類似于載體圖像的加密圖像，所生成的加密圖像的相鄰像素相關系數值理論上應接近于載體圖像的相鄰像素相關系數值。相鄰像素相關系數值的計算式為

其中，xi和yi是2 個相鄰像素值，Ls是隨機所選的總像素對數。本節隨機從水平方向、垂直方向以及對角線方向上選擇Ls=2 000對像素進行測試。

圖6 給出了Parrots 為明文圖像、Lena 為載體圖像的測試結果。圖6(a)～圖6(c)為載體圖像Lena 在水平方向、垂直方向以及對角線方向的相關性，圖6(d)～圖6(f)為加密圖像在水平方向、垂直方向以及對角線方向的相關性。從圖6 可以看出，加密圖像在水平方向、垂直方向及對角線方向上的相關性近似于載體圖像，很難用肉眼逐一區分。進一步地，表1 列出了5 幅不同明文圖像所對應的秘密圖像、載體圖像和加密圖像在3 個方向上的相關系數值結果。從表1 中可以看出，加密圖像的相關系數值接近于載體圖像的相關系數值，這說明所提算法能夠很好地將明文圖像加密成外觀類似載體圖像的加密圖像。

圖4 Parrots 和Monarch 的測試結果

圖5 載體圖像和加密圖像的直方圖結果

圖6 Parrots 為明文圖像、Lena 為載體圖像的測試結果

表1 相關系數值結果

3.1.3 信息熵分析

信息熵是評估加密安全性的重要指標之一。對于有意義加密圖像而言，加密圖像的信息熵越靠近載體圖像信息熵，則加密效果越好。圖像信息熵的計算式為

其中，p(xi)是xi的發生概率。表2 列出了將不同明文圖像嵌入相同載體圖像Lena 后的信息熵結果。

從表2 可知，加密圖像的信息熵與載體圖像的信息熵相關，隨著載體圖像的信息熵改變，加密圖像的信息熵隨之改變，這說明攻擊者很難通過加密圖像的信息熵來分析原始明文信息。

表2 信息熵結果

3.1.4 差分攻擊

差分攻擊指攻擊者通過改變明文圖像中的一個像素值，分析兩幅加密圖像之間的差異，建立明文圖像和加密圖像之間的關聯，并嘗試在未知密鑰信息的前提下恢復明文圖像。通常使用像素變化率（NPCR,number of pixels change rate）和統一平均變化強度（UACI,unified average changing intensity）來分析加密系統抵抗差分攻擊的能力，計算式為

其中，C1和C2為在明文圖像上稍加修改而獲得的2 個加密圖像。如果C1(i ,j )=C2(i ,j)，則 D (i ,j)=0，否則 D (i ,j)=1。

本文算法通過改變明文圖像Parrots的1 bit像素和2 bit 像素，分別計算所生成的加密圖像的NRCR 和UACI，結果如表3 所示。從表3 不難發現，1 bit 像素改變和2 bit 像素改變所生成的加密圖像差異不大，最大NPCR 差異為0.43%，最大UACI 差異僅0.01%，暗示了通過差分攻擊來攻破加密系統是無效的。

表3 NPCR 和UACI 結果

3.1.5 選擇明文攻擊

已知明文攻擊（KPA,known plaintext attack）指攻擊者在事先了解明文和相應密文的情況下試圖揭露密鑰關聯信息的密碼分析模型。與KPA 相比，選擇明文攻擊具有更強大的能力，攻擊者可以選擇任意明文并生成相應密文，以揭示密鑰相關信息。如果一種加密方案能夠抵抗CPA，則該方案也能抵抗KPA?；诖耍踩膱D像加密機制應該能夠抗CPA。在本文算法中，雖然明文圖像只改變了1 bit 信息，但所生成的秘密圖像存在明顯差異，這是由于加密過程的密鑰由哈希值控制，而哈希值對明文極其敏感，微小改變的明文圖像都會生成完全不同的預加密圖像，從而生成完全不同的秘密圖像?；谝陨戏治?，本文算法可以抵制CPA。

3.2 比較

3.2.1 噪聲和裁剪攻擊

加密圖像在不安全通道中傳輸時容易遭到噪聲干擾，安全的加密算法應具備抗噪聲干擾能力。本節將分析本文算法和文獻[20]算法在抗噪聲攻擊方面的能力。在實驗過程中，本文算法和文獻[20]算法均采用二維投影梯度重構方法[21,25]重構原始明文圖像。圖7 給出了遭受不同強度椒鹽噪聲攻擊后的加密圖像以及重構圖像結果。由圖7 可知，當噪聲強度從0.000 1 增加到0.001 0 時，文獻[20]算法的重構圖像PSNR 依次為29.142 8 dB、21.758 5 dB和18.423 5 dB，而本文算法的重構圖像PSNR 依次為32.158 2 dB、26.522 0 dB 和20.382 2 dB。顯然，本文算法的抗噪聲干擾能力優于文獻[20]算法。

為了測試抗裁剪攻擊能力，將文獻[20]算法和本文算法的加密圖像的不同區域的像素值設置為0，相應結果如圖8 所示。隨著裁剪區域的逐漸增大，文獻[20]算法的重構圖像PSNR 依次為23.423 7 dB、20.142 6 dB 和16.854 8 dB，而本文算法的重構圖像PSNR依次為27.288 9 dB、24.272 8 dB和18.354 2 dB。因此，無論是抗噪聲干擾能力還是抗裁剪攻擊能力，本文算法均優于文獻[20]算法。

3.2.2 加密圖像視覺安全性比較

為了進一步驗證加密圖像的視覺安全性，本節計算本文算法的加密圖像和載體圖像之間的PSNR 和MSSIM，并和文獻[12,13,15,17,20]算法進行比較。在實驗中，除上文測試圖像Parrots、Monarch、Camera、Boats、Barbara 和Lena 外，對常用測試圖像Peppers、Jet、Baboon、Girl、Goldhill 和Bridge 也進行了測試。同時，明文圖像和載體圖像實現一一對應，即不同的明文圖像將生成不同的加密圖像。表4 和表5 分別給出了本文算法和文獻[12,13,15,17,20]算法的加密圖像PSNR 和MSSIM。從表4 和表5 可知，本文算法的加密圖像PSNR 和MSSIM 均高于其他算法。這是因為其他算法采取直接位替換操作修改載體系數值，而本文算法考慮了待嵌入數據和待修改載體系數之間的關系，有效降低了由于嵌入而造成的載體數據的修改幅度，從而提高了加密圖像的視覺安全性。

圖7 本文算法和文獻[20]算法椒鹽噪聲攻擊結果

圖8 本文算法和文獻[20]算法裁剪攻擊結果

3.2.3 重構圖像質量比較

為了分析重構圖像效果，使用512 像素×512 像素的相同明文圖像Barbara 及等大小的不同載體圖像Lena、Boat、Je 和Peppers 進行測試，計算重構圖像和原始明文圖像之間的 PSNR 和MSSIM，并和文獻[12,13,15,17,20]算法進行比較。具體實驗過程中，文獻[12,13,15,17]算法采用1DCS 先壓縮明文圖像再加密，對提取信息解密后利用正交匹配追蹤（OMP,orthogonal matching pursuit）進行圖像重構；而文獻[20]算法和本文算法采用2DCS 壓縮加密明文圖像，利用二維投影梯度2DPG 方法同時進行解壓縮和解密得到重構圖像。表6 列出了不同算法的PSNR 和MSSIM 結果。從表6 中可以看出，文獻[20]算法和本文算法的重構圖像質量明顯優于文獻[12,13,15,17]算法，主要原因是利用基于2DPG 的圖像重構效果優于OMP 圖像重構。此外，文獻[20]算法的重構圖像的PSNR 和MSSIM 不如本文算法所生成的結果，這是因為文獻[20]算法采取二維隨機置亂2DRP 操作進行加密，而本文算法采取全局隨機置亂GRP操作進行加密，利用GRP 加密在一定程度上提升了重構圖像質量。

表4 加密圖像PSNR 比較

表5 加密圖像MSSIM 比較

表6 重構圖像PSNR 和MSSIM 比較

綜上，本文算法具有更優的重構圖像質量。

4 結束語

本文提出了一種基于二維壓縮感知的有意義圖像加密算法。首先，設計了一種與明文相關聯的混沌偽隨機數生成方法，在此基礎上，利用GRP操作加密明文圖像，提高了加密安全性且改進了重構圖像質量。其次，利用平滑函數嵌入方法自適應地將秘密圖像嵌入載體圖像中，有效提高了加密圖像的視覺安全性。然而，由于2DCS 的輸入是預加密圖像而非原始明文圖像，當遭受噪聲干擾時，在解壓縮圖像上進行解密會對重構圖像質量造成一定的影響。下一步工作將考慮在壓縮之前引入矢量量化操作，將量化后的誤差矩陣作為2DCS 的輸入，圖像重構由矢量量化矩陣和重構誤差矩陣聯合完成，以提高有意義加密算法的穩健性。