甲型H1N1病毒傳播的優化SEIR模型

◇成都師范學院數學學院 楊馨 梁思帆 胡明月 林瓊英

傳染病是如今世界最嚴重的疾病之一，建立相應的數學模型具有重要價值。本文以甲型H1N1流感為例，闡述微分方程在傳染病傳播中如何應用，并對SIEIR模型進行優化。其對甲型H1N1流感防控工作具有一定意義，為避免此類高傳染型疾病的再次蔓延提供一些可行的啟發。

重大傳染病的爆發會嚴重威脅人們的生命安全和社會經濟貿易，造成的危害遠高于一般突發公共衛生事件[1]。2009年初，墨西哥和美國廣泛爆發甲型H1N1流感，在三個月的時間傳播到世界上主要國家[2]，造成數千萬人感染，超過數萬人的死亡。甲型H1N1流感是一種在人與人之間傳播的疾病，通過直接接觸或飛沫傳播[3]。為避免再次出現此類大型公共衛生危機，對人們的生產生活造成惡劣影響，需要建立甲型H1N1流感傳播模型并用以研究其傳播趨勢。由于不同類型的傳染病在傳播過程中會呈現不同的特點，其中流感治愈后個體內產生穩定的抗體且此流感具有一定的潛伏期，故而選取SEIR傳播模型，并結合甲型H1N1的傳播特點進行優化，對疫情防治有一定意義。

傳播模式較為復雜的傳染病的各個觀測對象之間具有較強相關性，因此常規的統計分析方法（如要求各觀測對象間相互獨立的統計分析方法）并不適用于傳染病傳播趨勢的分析。目前，傳染病傳播模型主要有SI模型、SIS模型、SIR模型以及SEIR模型。不同的傳染性疾病的傳播具有不同的特點，相應的傳播模型也不同。其中，SI模型將人群分為易感者（Susceptible）和感染者（Infectious），屬于Logistic模型，適用于感染后沒有方法治愈或者極難治愈的傳染病，模型的微分方程組可以計算出解析解。若感染后可被治愈，治愈后仍可被反復感染，如普通感冒和細菌性痢疾此類傳染病，則建立SIS模型。SIS模型同樣將人群分為了易感者、感染者，但易感者與感染者之前可以互相轉換，用微分方程組建立的此模型有解析解。而對于有些傳染病，考慮到病人可以康復并且康復后個體體內產生抗體不會被再次感染也不具有傳染其他個體的能力的情況，需要在易感者和感染者的基礎上再劃分一類恢復者（Recovered或Removal）建立SIR模型。SIR模型無法計算解析解，只能給定初始條件計算出數值解。

SIR模型是經典的傳染病傳播模型，操作性強而且結構簡單，便于研究傳染病傳播整體趨勢，因此得到廣泛應用[4]。但對于SIR模型的基本假設之一是易感者通過有效接觸立即被感染患病，對具有潛伏期的傳染病并不適合。考慮潛伏期人群的傳染病模型是結構相較于更為復雜的SEIR模型。

1 優化SEIR模型

經過學者研究與統計，人類對于甲型H1N1流感普遍缺乏免疫力易被感染，以人-人形式傳播，且甲型H1N1流感病毒具有潛伏期，潛伏期為1至7天[5]。感染后產生抗體，具有一定免疫力（為方便研究，假定免疫力持續）。因此，選擇SEIR傳播模型對甲型H1N1流感傳播趨勢進行研究。

1.1 模型建立

在某一封閉地區不考慮出生率和自然死亡率，設定人口總數為常數N。記未被感染且容易被感染的人群為易感者。接觸過感染者，但未發病不具有傳染其他個體能力正處于潛伏期的人群為潛伏者。被感染發病具有傳染能力的人群為感染者。經治愈具有免疫力或者被隔離的人為恢復者。

則感染者群體 按此微分方程變化：

恢復者群體按此微分方程變化：

整理上面（1）（2）（3）（4）微分方程得：

圖1

這就是SEIR模型，該微分方程組無解析解，給定初始參數可利用計算機輔助求出數值解。

對于甲型H1N1流感傳播，該模型的感染者群體再此封閉區域中是均勻流動的，未能考慮到政府和群眾采取的措施（如戴口罩、保持距離、居家等）。該模型假定潛伏期的潛伏者不具備將病毒傳染給易感者的能力，而甲型H1N1流感病毒在潛伏后期就具有一定的傳染力。該模型未考慮病死人群（有的研究或將病死者歸入恢復者[6]，也稱為移出者Removal）。基于此，對SEIR模型進行優化。

1.2 模型優化

為便于考慮人們的措施對病毒傳播的影響，設平均每個易感者接觸傳染者人數為，平均每個易感者接觸潛伏者人數為。將重設為傳染效率（感染者個體接觸傳播病毒的個體被傳染的概率），考慮到潛伏者具有一定的傳染力，且潛伏者與感染者的傳染效率不同，將另設為感染者的傳染效率和潛伏者的傳染效率。新增設由感染者病死群體，病死率。

故對（5）進行優化后的模型為：

將（6）整理為迭代式：

1.3 數據模擬

此微分方程模型雖不能求出解析解，但可設置初始值及相關參數對其求出數值解。在優化模型中，設置，初始值。設定參數。利用matlab計算并繪圖（圖2）。

圖2

通過圖像可直觀看出，任由傳染病在人群中傳播而不采取應對措施將造成嚴重的后果。如果采取及時隔離感染者，少去人群密集場所，戴口罩注意防護或者居家，注意公共場所的通風及消毒等措施，可重新設置參數，不變。利用matlab求解并繪制圖像（圖3），將圖3局部放大得圖4，這時疫情產生的影響變得很小。因此，在疫情的防控中，及時隔離感染和疑似人群，采用必要防護措施（如帶口罩、注意安全距離）以及對公共場所及時通風消毒，能夠較好地控制疫情的傳播。

圖3

圖4

1.4 模型優缺點

優點：①考慮潛伏者對易感者具有傳染性；②新增因感染傳染病死亡的人群（或將死亡者從移出者中分離出來）并納入分析，疫情造成的危害更一步清晰；③考慮潛伏者與感染者分別在每日平均接觸人數以及傳染效率上的差異。

缺點：①未進行參數估計及分析參數隨時間變化的可能（因為疾病的爆發是動態過程，參數隨時間變化而改變[7]）；②未考慮區域之間的流動，即節點間流動。

2 結束語

微分方程在傳染病傳播中應用廣泛，需要注意傳染病模型必須根據相應傳染病的具體病理機制和傳播性質進行建立及修正。本文建立的甲型H1N1流感病毒傳染模型分析并解決了處于潛伏狀態的人群具有傳染性、潛伏者與感染者的傳染和流動差異以及死亡人數，但影響傳染病傳播卻未能進行分析的因素仍存在。接下來，將采用更多的模型和算法，使傳染病模型對傳播趨勢的預測更為準確。