環板式永磁齒輪設計與不平衡磁拉力優化

2022-06-11 07:29:06葛研軍劉佳男周哲任廣巍

大連交通大學學報 2022年2期

葛研軍，劉佳男，周哲，任廣巍

(大連交通大學機械工程學院，遼寧大連 116028)

齒輪箱是機電傳動系統的重要核心部件.由于機械齒輪箱在運行過程中承受較大沖擊載荷，因此隨著使用時間的增加，會經常出現漏油、竄軸及輪齒損壞等一系列故障[1].與機械齒輪相比，永磁齒輪具有無潤滑、低噪音及過載保護等優點，在工農業生產中具有廣闊的應用前景[2-4].

傳統單極耦合式永磁齒輪只有一對磁極互相作用，導致永磁體利用率較低，轉矩密度一般小于等于20 kN·m/m3[5].2001年，英國Sheffield大學提出一種同心式永磁齒輪傳動結構(Concentric Permanent Magnet Gear, CPMG)，其轉矩密度可達100 kN·m/m3[6].但CPMG的轉矩密度隨傳動比增大而減小，當傳動比大于20時，轉矩密度呈快速下降趨勢[7].為解決這一問題，文獻[8]提出一種擺線式永磁齒輪傳動結構，可獲得高傳動比及高轉矩密度(傳動比大于等于20，轉矩密度大于等于180 kN·m/m3).

文獻[8]提出的擺線式磁齒輪將偏心式轉臂軸承置于擺線輪內部，使其承受較大的不平衡磁拉力，加之轉臂軸承內、外圈均存在相對運動，嚴重惡化了軸承滾子的工作環境，大大縮短了其使用壽命.

為解決上述問題，本文借鑒環板式機械齒輪的傳動模式，提出一種環板式永磁齒輪傳動結構(Ring-Plate Permanent Magnet Gear，RPPMG)，可將轉臂軸承移至擺線輪外部，大幅改善了轉臂軸承的受力環境，并可在較小尺寸空間內實現較高的轉矩密度及傳動比輸出.

1 RPPMG運行機理

圖1為RPPMG機械結構示意圖.圖中，外圈永磁轉子與連桿AB固連，其圓心O2位于連桿AB的中點；內圈永磁轉子繞其自身圓心O1作定軸旋轉運動，且O1位于機架A′B′連線的中點.

圖1 RPPMG機械結構

圖中所示內、外永磁圈不同心，且有AA′=BB′=O1O2.若設A軸及B軸繞A′軸及B′軸的旋轉速度分別為na及nb，外圈永磁轉子的公轉轉速為no2，則有no2=na=nb，即外圈永磁轉子的公轉轉速與曲柄AA′及曲柄BB′的旋轉速度完全相同.

與機械環板式齒輪相同，圖1所示RPPMG的內、外圈永磁體磁極對數也相差1.工作時，動力由曲柄AA′輸入，通過連桿AB帶動外圈永磁轉子作繞內圈永磁轉子O1軸的平動，經內、外圈永磁體磁場耦合作用后產生電磁力矩，最終由內圈永磁轉子輸出.

設RPPMG傳動比為G，內、外圈永磁體極對數分別為pi、po，則有：

(1)

由于po=pi+1，則當外圈永磁轉子繞內圈永磁轉子順時針公轉一周時，內圈永磁轉子將繞其自身軸線轉動一對極角度.

圖2為RPPMG內、外圈永磁轉子相對轉角關系[9]，圖中的θi、θo分別為內、外圈永磁轉子轉過的角度.

圖2 RPPMG中內、外圈永磁轉子相對轉角

設RPPMG中內、外圈永磁轉子的極對數分別為8對極及9對極，則由圖2可知：當外圈永磁轉子每公轉40°時，內圈永磁轉子則自轉5°，即內、外永磁轉子的轉角比為8∶1，符合式(1)計算結果.

2 模型參數計算

圖3為RPPMG各結構參數.圖中，R1為外永磁轉子軛鐵內半徑，R3、R2分別為外永磁轉子永磁體內、外半徑，R5、R4分別為內永磁轉子永磁體內、外半徑，R6為內永磁轉子軛鐵外半徑，a2、a1為內、外永磁轉子單塊永磁體內外邊界弧長，hi、ho分別為內、外永磁轉子軛鐵厚度，δ為最小氣隙長度，e為偏心距.

圖3 RPPMG結構參數

2.1 內永磁轉子永磁體外半徑R4計算

設RPPMG所傳遞的額定功率、額定轉速、額定轉矩及傳動比分別為P、no、T及G，那么則有：

(2)

設RPPMG永磁體軸向有效長度為L，所能傳遞的轉矩密度為Td，內永磁轉子有效體積為V，漏磁系數為η，則有：

(3)

將式(3)代入到式(2)中可得:

(4)

2.2 外永磁轉子永磁體內半徑R3計算

為保證RPPMG內、外永磁轉子之間的耦合面積最大，應使其內、外永磁轉子最小氣隙處的弧長盡量相等，即：

a1=a2

(5)

由于RPPMG內、外轉子永磁體磁極為徑向排列，所以單塊永磁體磁極邊界弧長為

(6)

式(6)中αp為極弧系數，τ為極距.將式(6)代入式(5)中可得：

(7)

2.3 內、外轉子軛鐵厚度hi及ho計算

hi與ho的計算方法相同，本文僅以ho為例進行計算.

由于穿過單塊永磁體表面與外軛鐵截面的磁通量相等，因此若設永磁體磁極在軛鐵側表面積為Sy，轉子軛鐵的截面積為Se，永磁體剩磁為Br，軛鐵所能通過的最大磁通密度為Be，對于外永磁圈則有：

BrSy=2BeSe

(8)

Sy=La2

(9)

Se=Lho

(10)

將式(9)及式(10)帶入式(8)中，可得:

(11)

3 RPPMG靜態模型建立

設RPPMG傳遞的額定功率P=11 kW，額定輸出轉速no=6 r/min，傳動比G=31∶1，

Td=230 kN·m/m3，η=0.2，則由式(2)～式(11)可得表1所示的RPPMG初選結構參數.

基于表1所示結構參數，采用Ansys Maxwell軟件建立二維靜態仿真模型，可得圖4所示的輸出轉矩T與相對轉角θ的關系曲線.

表1 RPPMG結構參數初選

圖4 T與θ關系曲線

由圖4可知，當內永磁轉子轉過1/2個及3/2個磁極角度(即θ為2.9°及8.7°)時，RPPMG的輸出轉矩達到峰值，此時Tmax=20.6 kN·m，轉矩密度Td= 236 kN·m/m3，與設計時初選的Td=

230 kN·m/m3較為接近，說明模型初選參數基本正確.

4 不平衡磁拉力有限元計算

設圖3中內轉子表面任意一點的氣隙磁密為B，其沿x及y方向的分量分別為Bx及By，沿轉子表面的徑向與切向分量分別為Br及Bt，則有：

Br(θ)=Bx(θ)cosθ+By(θ)sinθ

Bt(θ)=-Bx(θ)sinθ+By(θ)cosθ

(12)

設內轉子鐵心單位面積上的電磁力為f，其在徑向及切向上的分力分別為fr及ft，根據麥克斯韋應力張量法有：

(13)

式中，μ0為真空磁導率.

設內轉子表面任意弧長所受的電磁力為F，其徑向及切向電磁力分別為Fr及Ft，則有：

(14)

由式(14)可知，只要獲得轉子表面氣隙磁密B，即可由式(14)獲得Fr及Ft.

圖5為由式(14)所得的Fr分布曲線.

圖5 Fr分布曲線

由圖5可知，Fr正值方向背離圓心，負值方向指向圓心.因此永磁體間氣隙長度較小一側互相吸引，而較大一側則互相排斥.設內轉子所受的徑向電磁力合力(不平衡磁拉力)為FR，則FR的方向由RPPMG幾何中心指向氣隙長度最小處.

設Fr沿x軸的分量及沿y軸的分量分別為Frx及Fry，則有：

(15)

(16)

設內轉子表面圓形路徑上均布m個點，且兩點間的氣隙磁密為線性分布，則第i個點所對應的Frxi及Fryi分別為：

(17)

(18)

式(17)及式(18)中，θi為第i個點所對應的極角，且有

則FR為：

(19)

對Ft取矩即可獲得內轉子的電磁轉矩T.

(20)

由式(20)可知，RPPMG所傳遞的轉矩與內永磁轉子半徑的平方及其有效軸向長度成正比，與徑向及切向氣隙磁密的乘積在內轉子外表面的閉合回路積分成正比，與空氣隙磁導率成反比.

圖6為根據式(20)所得的內轉子電磁轉矩解析解與有限元仿真比較曲線.

圖6 電磁轉矩解析解與有限元仿真曲線

由圖6可知，式(20)所得的理論計算值與有限元仿真值的相對誤差小于等于1.2% ，說明本文所建的電磁轉矩模型正確.

5 RPPMG結構參數優化

由于輸出扭矩是衡量永磁齒輪傳動性能最重要的指標之一，并且由圖5可知，不平衡磁拉力使轉臂軸承一側持續受到較大力作用，加劇轉臂軸承滾子的磨損，縮短其使用壽命.因此本文在固定R3及R4不變的條件下，采用控制變量法分析各結構參數對FR及Tmax的影響.

5.1 h i、ho與FR及Tmax關系

圖7(a)、7(b)分別為hi、ho與FR及Tmax關系曲線.由圖7(a)可知，隨著hi、ho逐漸增加，FR先增加后趨于穩定.這是因為當軛部厚度較小時，軛部磁通飽和，出現漏磁現象，此時氣隙磁密較小，因此FR也較小.當hi、ho由6 mm增加至20 mm時，軛部所能允許通過的磁通量不斷增加，飽和狀態不斷減弱，漏磁現象逐漸消失，氣隙磁密不斷增加，因此FR逐漸增大；當hi、ho繼續增大時，FR不再增加.

(a) h i、ho與FR關系

(b) h i、ho與Tmax關系圖7 h i、ho與FR及Tmax關系

由圖7(b)可知，當hi、ho由6 mm增加至20 mm時，Tmax隨之增加，此后繼續增加軛部厚度，Tmax基本不變.即當軛部厚度為永磁體厚度2倍左右時，即可滿足磁路要求.

綜合考慮FR及Tmax磁路結構，本文取ho=hi=20 mm.

5.2 h1、h2與FR及Tmax關系

由圖3可知：

R2-R3=h1

R4-R5=h2

(21)

式(21)中，h1、h2分為內、外永磁體厚度.

圖8(a)、8(b)分別為h1、h2與FR及Tmax關系曲線.由圖可知，當永磁體厚度增加時，氣隙磁密不斷增強，FR及Tmax也隨之增加.當h≥11 mm時，即滿足設計要求.綜合考慮過載能力及永磁體用量，本文取h1=h2=11 mm.

5.3 e與FR及Tmax關系

圖9為e與FR及Tmax關系曲線.從圖中可知，當e逐漸減小時，FR及Tmax均隨之減小.這是因為當磁場耦合時，磁力線總是沿最小磁阻路徑通過，由于空氣的磁阻為軛鐵(本文選用硅鋼)磁阻的7 000～10 000倍[10]，因此當e減小時，δ增加，對磁能積消耗也較大.但e過大時，δ較小，增加裝配的工藝難度，且內、外永磁轉子旋轉時易發生剮蹭，因此本文選取e=10 mm，其所對應的δ=2 mm.