面向工程實踐的《有限元數值分析與應用》教學教改探索

徐騰，梁劍豪，龔峰，冉家琪

(深圳大學 機電與控制工程學院, 深圳市高性能特種制造重點實驗室,廣東 深圳)

一 引言

隨著計算機技術發展和數值模擬應用的普及，有限元方法作為一種高效實用的數值求解方法，在應用數學、工程力學、流體力學、電磁學等領域中已成為不可或缺的解析工具[1]。其原理是通過對表達自然科學和工程應用的各種基本規律進行微分方程求解，通過有限量的積分近似模擬真實工況和幾何系統來接近無限未知量，形成以劃分網格單元堆疊結構的有限元模型進行數字化分析[2]。目前，90%的國際化機械產品和裝備通過有限元方法進行分析、修改與優化，有限元分析方法能夠替代大量實物實驗進行計算分析的驗證性“虛擬實驗”，是科學研究和工藝探索中高效化和低成本化的分析手段[3]。

由于所需工程數學、計算機科學、和物理學科知識作為理論基礎，涉及大量線性代數、常微分、偏微分方程的計算，有限元方法的教授主要在機械學科專業教育的課程安排上[4-5]。作為專業選修科目，主要在掌握有限元方法理論基礎上，學習用有限元方法處理問題的思路和使用有限元軟件進行分析，但在目前《有限元數值分析與應用》課程教學中，明顯存在課程理論知識難度較大，學生可操作性和科研針對性低，教學質量難以提高的問題。本文由此結合當前對本專業領域學生開展的《有限元數值分析與應用》的選修課程教學現狀進行深入研究教學質量改進方案，探索多方面提升面向應用教學型的有限元分析教學水平和質量，以滿足學生科研和研究問題中的有限元分析需求目標。

二 有限元教學現狀及教學存在問題

（一） 課程理論知識教學難度深度高且廣泛

本課程學時短，僅40 學時，課上存在知識聯系有機結合把控稍有偏差，且學生課后利用效率不高。有限元教學理論知識涵蓋有限元分析原理、應力應變分析、混合列式、數值積分、約束單元、單元性質與選擇、離散網格方式等，教學知識深度高且內容枯燥晦澀，如果不及時結合有限元軟件操作理解，學生很難把這些知識利用起來建立知識體系[6]。

（二） 課程應用針對性單一，涉及面較廣

有限元分析涉及數學、流體力學、工程力學、熱力學、電磁學等等學科，學習深度高且非對學科專業性深入學習價值不高，都是用于解決科研生產中的實際問題進行模擬分析。本課程面對機械專業學生進行教學時，學生們對熱、力、電等方面的問題進行模擬的需求較高，由于缺少工程經驗，短時間難以對學科知識進行回顧以理解有限元分析方法。

（三） 學生科研實際應用環境相差較大

本課程采用ANSYS 軟件平臺進行教學，學生之間要求的有限元分析軟件不一，如信號處理、場處理等學生多用COMSOL 等仿真軟件，材料成形方面多用DYNAFORM 或ABAQUS 等仿真成形軟件進行分析[7]。以ANSYS 軟件的教學案例并不能實際應用與相關軟件操作中，導致學生以工具性目的學習作為動力，學習有限元處理思路興趣不高。

（四） 學生CAE（計算機輔助工程分析）軟件實踐能力薄弱

課堂上每個學生的建模效率有所差異，造成每個學生課堂利用率不均；課前物理學科知識預習不夠充分，在上課短時間回顧相關理論基礎知識不能夠充分理解，有些學生在糾結中又影響課程主要內容的教授，造成揀了芝麻丟了西瓜的局面。

三 有限元教育改進對策和理念的構建

（一） 教學內容探索與措施

（1）科學結合理論和實踐教學

采用理論聯系實際的方法， 將理論教學與課程設計相融合貫穿， 即將課程設計的內容分解為與課程知識點相對應的幾個部分，課程設計的進度安排與課堂教學進度相協調[8]。結合有限元理論基礎知識點，插入部分有限元軟件操作實踐以輔助，講解對應出現的按鈕或符號意義，促進學生理解有限元分析和提高軟件操作熟悉程度。

（2）差異化培養目標

為了保證課程知識對學生的利用效率，對教學內容有的放矢，把握教育深度，加入機械中常遇見的工程案例實驗（如摩擦升溫熱變化、桿件彎曲應力變化、流體沖擊壓力變化等），著重傳授尋找解決問題的方法和思路，通過檢索有限元分析論文尋找前人研究的方法作為參考。

（3）調整課程相適應考評方法

以課程教學方式進行調整和制定適應的考評方式，由于本課程為選修課程，旨在提高學生的有限元分析操作能力。從課程目標出發，設置與課堂實驗相近的任務量稍多的固定團體任務題目，在開課時進行課程分組后安排選題?？砂雌綍r成績50%（課上實驗作業+考勤+提問加分）和期末作業50%（團體作業20%+個人作業30%）進行考評。

（4）課堂與課后的積極性調動

開課時鼓勵學生自學，提供一些適合的有限元書籍。把握課堂教授節奏，在課件最后安排和預告下一節課的任務，提前發布所需模型尺寸進行建模和所需理論知識點讓學生課后提前理解。充分利用課上的上機實驗時間，并設置問題給予學生主動思考解決問題的時間，通過提問和打分來調動課堂積極性，在解決問題的過程中讓學生加深印象和更好理解有限元分析思路。

（二） 面向應用仿真實驗的教學內容設置

（1）有限元理論基礎的奠定

在機械工程學科，有限元分析方法是本學科領域學生開展學位論文研究工作的必備手段[9]，同時，有限元方法也是一門集數學、力學、熱力學、電磁學等多門學科的綜合性課程。為了幫助本專業領域學生開展學位論文中的有限元分析奠定良好專業基礎知識，在本課程的一開始即設置了有限元方法基礎理論的授課內容，從機械工程涉及到的機械設計、機械制造、材料學、機械動力學、機電耦合等多方面學科專業有限元問題出發，簡潔明了地講授結構力學、電磁學、模態學等知識信息，有助于學生快速了解各研究領域的研究背景和該背景開展有限元分析時的基礎理論。在授課過程中，給學生詳細精講有限元分析相關的數學知識，使學生對有限元分析理論有一個系統的認知。將本課程的基礎理論與機械專業學生研究的具體領域背景密切結合，有助于學生有目的性、快速進入到本領域問題的有限元分析的環境，從而可以有針對性地提升學習本課程的積極性和主動性，避免因課程所涉及的大量數學公式而陷入消極填鴨式學習狀態。

（2）機械工程領域有限元分析應用場景的描述

在有限元授課過程中，首先從有限元在航空航天、汽車、船舶、電器等國民經濟各方面的應用案例出發，引起機械專業學生對有限元學習的興趣，隨后著重介紹有限元方法在機械工程學科領域中的應用情況及具體的應用方法，使學生從全局上認識到本課程所學的知識和方法在本專業的應用情況，之后根據學生所在專業實踐課題組的研究方向的不同，在本課程的大作業的形式要求學生選擇一項其所在課題組的問題，采用有限元的方法對問題進行描述和求解，讓學生在其導師和本課程教師的同時指導下高質量的完成大作業，從而使得學生在本課程所學到的知識真正地對其研究生涯產生實質性的幫助。

（3）機械工程領域有限元案例的課堂示范和指導

高效地利用課堂時間，借助目前流行的有限元軟件幫助學生迅速開展研究工作，是使機械工程專業學生在有限的學生階段高質量完成課題研究任務、發表高水平論文的重要保障。本課程教師在授課過程中，向學生提供利用有限元軟件分析工程實際問題的豐富案例教學，從工程結構梁的受力變形等簡單的案例開始，由淺入深，引導學生進入高速精密沖床的模態分析和結構拓撲優化等較為中等難度的建模仿真研究學習，最后鼓勵學生開展手機從高空跌落、加熱設備加熱鍛造零件時的溫度變化預測等高階研究案例。循序漸進，逐漸幫助研究建立學習本課題的積極性和自信心，提高學生自主學習的動力和興趣，豐富并拓展其知識領域和應用范圍，最終幫助學生在本課程中獲取較為扎實的借助有限元法解決機械工程問題的途徑和方法。教學團隊通過多年教學積累和廣泛的調研，最終確定該課程的教學內容主要教學內容安排如表 1 所示。

表1 有限元數值分析與應用課程教學內容安排

（三） 面向分析應用的有限元課程的教學方法實施效果

（1）通過本課程安排的針對性很強的實踐性教學環節，每名學生結合各自的研究方向積極撰寫學術論文。近年來，有十余位同學在課程結束后撰寫的有限元分析論文已在《推進技術》《儀器儀表學報》和《計算機工程與設計》等核心刊物發表。

（2）通過對每一批次學生的課題研究成果和資料進行收集整理，已形成了覆蓋多個專業、多個研究方向的素材文集。這些成果可為后續學生的學習和研究工作起到很好的示范性作用，豐富其知識領域和拓寬知識的應用范圍，達到了迭代優化、教學效果越來越好的目的。

四 結語

當前有限元分析已經成為了我國機械制造業的先進計算機輔助工程分析方法，提高學生有限元分析軟件的掌握能力對解決科研和生產實踐問題具有重要作用根據有限元課程先進、新、難等特點，需要重視并且有效提升教學質量，以符合培養學生有限元應用分析的能力需求。本文就有限元課程現狀和存在問題深入討論和探索，根據教學目標以應用型實驗為基準點，探索結合有限元理論知識和課堂實踐方法，制定相適應的考評方法，同時對進行教學內容結構進行調整，提高學生對有限元分析的興趣和思維能力，為學生學習有限元軟件和利用有限元法分析奠定基礎。