碳優化

碳減排過程涉及很多需要優化的問題，數學在這一方面大有可為，但在實際中，問題要復雜得多，優化要應用更復雜的數學工具，如數學規劃、泛函分析和最優控制中的哈密頓—雅可比—貝爾曼方程（HJB方程）。碳優化幾乎在雙碳行動的所有領域都很活躍。

碳減排肯定是要花錢的，而且花了錢也沒有立竿見影。這也從某種程度抑制了人們的減排動力。政府就要有所作為，一方面發放一定的排放許可，一方面對排放超標的企業進行處罰。所以對于國家或者一個企業，這里就有一個減排的最優控制問題，如何花最少的錢達到減排達標的效果。數學最拿手的就是處理這類最優控制問題。數學中有很多方法，要做的事就是建立數學模型，搞清楚優化目標和控制變量，然后應用數學方法控制變量，求到最優的效果，以達到目的。

假設一個國家通過簽訂國際公約的方式，或者一個企業接受減排要求約定在給定期限內降低其碳排放量到一定限額以內，否則到期需要為超過限額的碳排放量支付罰款。那么在此期間，他們就需要采取一定措施降低國內或企業的碳排放量。考慮到碳減排的成本，該國或企業需要選取適當的碳減排策略，使得減排過程中的總費用和到期由于超額碳排放產生的罰款總和最小。能采取的措施有很多選擇，數學可以幫助決策者做出最優的決策。

對政府和企業來說，最優投資的含義就更復雜些，但可以認為是在有限資金下最優分配資金進行碳投資。如政府有一筆定量投資減碳，是投在綠色能源？植樹造林？減排技術革新？還是培養教育低碳人才？亦或分配這筆資金使之取得的減排效果最好。即便是投在綠色能源，那么是風能還是水能，在什么地方，用什么技術和設備才能使投資最小而效果最好都是優化問題。

在這些優化控制中，數學的優化方法大有可為。主要有：線性規劃、微積分最值、泛函分析、微分方程等。

具體到一個企業，生產是企業活動的基礎。但要生產就有碳排，碳排有限制，為減排就要投資，這又會影響企業利潤，如何平衡？下面通過一個例子來說明如何應用數學來解決這個問題。

例1 一個企業生產某產品，收益與生產量成正比，比例系數為α。同時，生產過程產生碳排放，排放的多少與生產量成正比，比例系數β。如果碳排放超過許可Q，企業將面臨高額罰款。為了解決碳排放問題，企業有兩個選擇：或者縮小生產規模以控制碳排放在許可范圍內，或者投資減排。投資費用與減排量的平方成正比，其比例系數為γ。制定最優的減排方案使得碳排放在許可范圍內，并且收益最大，開銷最小。

我們來分析一下這個問題。出于企業盈利考慮，當然生產越多越好，但生產多，帶來的碳排放就越大。碳排放的許可限制了企業的生產量。但如果企業花些錢投資減排，可以擴大生產量，但投資將增加成本，那么投資多少才可達到最優？

下圖可以更直觀地表述問題。參數取為α=β=γ=1，Q=c=0。圖中實線即企業收益P，虛線即企業減排成本B。則對于給定生產量x（橫坐標），實線超過虛線的部分即企業凈收益。則最優解即使得兩條線“距離最遠”的點。

得到的最優解有若干參數。根據結果和參數分析，可以得到如下結果：

首先最優生產量x*比Q/β來得大，這意味著，碳排投資是必要的，扣除碳排費用，在碳排上限的限制下，企業可以獲得更大的收益。

最優生產量x*隨β增大而減小，這意味著企業增進生產技術，減少生產中碳排率可以有進一步擴大生產的空間，使得企業獲益更大。

最優生產量x*隨γ增大而減小，這提示企業增進碳排技術，減少減排消耗率可以有進一步擴大生產的空間，使得企業獲益更大。

最優生產量x*隨α增大而增加，這表明生產收益率始終是重要的。

如果考慮更多的因素，如碳排放量是隨機的，企業可以購買碳排權，而市場價也是隨機的等等，那么數學模型會更復雜。

對政府或其他投資者來說，除了低碳行動，還可以對一些碳項目進行投資。如果可以投資的一些項目風險和收益都清楚的話，投資者可以選擇在風險一定的情況下，使組合投資項目達到收益最高的結果，或者在收益水平一定的情況下，調整投資組合使得自己的投資風險最低。也可以結合這兩個優化目標或加上其他投資目標構造投資組合以達目標。同樣來看個例子。

例2 某市要評估5個碳減排項目，初始投資資金是有限的5000萬，以后每年的維護資金是800萬。項目只有選擇完全投資或者完全不投資，收益預期和產生的減碳排效益及初始資金即維護資金如下表所示。考慮如何安排投資項目使得在可運行資金范圍內使得產生的碳排放效果最好。

然后通過直接計算或計算機計算，可以算出最佳的方案是所有的資金都投A項目，即投5個A項目，每年可碳減10個單位。但如果有限制條件，每個項目最多投一個，則問題可歸為0-1規劃，計算結果為投A、C、D項目，每年可碳減5.5個單位。

碳減排不是說減就可以減的。一家企業要減排，就要引進和它生產方式有關的技術，購買相應的設備。一般來說，減排越早越好，但也不盡然。減排技術在不斷發展，引進技術的費用可能越來越低，在引進的時間，企業要付出沉沒成本，即一旦錢花出去了就不能收回，同時也失去了等待的機會。所以，如何選擇最優的引進技術時間，是一個數學的優化問題。金融數學中處理實物期權的方法可以借鑒。

例如，一家企業擬引進一項技術，引進前后描述碳排放的隨機過程發生了變化。可以假定碳排率下降了，但是引進時企業要付出沉沒成本，引進后還要支出管理費用。沉沒成本也是一個隨機過程，可能隨著時間而變化。那么從今天來看，從最經濟的角度，什么時候引入這項技術有可能是最好的。這個問題可以建一個數學模型，并轉化成數學中所謂的HJB方程或者自由邊界問題來討論。

雙碳運動，人人有責。對于個人來說，不是喊喊口號就是支持雙碳，要身體力行實施減碳。然而，現代生活講究效率，減碳并不是要降低生活質量，而是要在這之間找到平衡，安排自己在能完成工作和正常生活的前提下選擇最減排的方案。這也是普通人可以做到的。再看一個例子。

例3 某人公干，希望低碳出行。下表顯示使用各種交通工具的碳排放數據，以及出行速度和旅費。如果目的地與出發地相距400千米，要求兩天來回，路上時間每天只能花2小時，飛機可飛行350千米，火車可行駛380千米，飛機和火車中途不可以下車，也不可以同時乘，單程旅費限制200元。如何選擇交通工具，使得完成任務的同時碳排放最少？

數學在碳優化方面的應用遠不止這幾個方面，方法也不止所提及的幾種，但我們已可以從中理解數學在碳優化方面的強大優勢。

上述事例只是數學應用的幾個方面，總之，隨著雙碳運動的進行，數學將越來越顯示出她的強大力量，并在雙碳這個領域長袖善舞，發揮著至關重要又不可取代的作用。

2020年筆者總結了近十年關于碳減排方面的數學研究工作，包括筆者兩位博士生的博士論文的內容，出版了一本科普書《碳減排數學模型與應用》，其中詳細而具體地闡述了本文提到的碳減排方方面面的數學應用。

最后，希望數學可以為減排、為優化控制、為科學管理、為地球減負……為人類做出更大的貢獻。也更熱切地希望碳減排的議題受到各行各業、從政府到百姓更加強烈的重視，身體力行，同心合力減排。

因為地球只有一個，我們只能同舟共濟！

[1]梁進，楊曉麗，郭華英. 碳減排數學模型與應用. 北京：化學工業出版社，2020.

關鍵詞：碳優化 碳減排 數學模型 ■