巧用向量法處理幾何體外接球問題

趙澤民

簡單幾何體的外接球問題是立體幾何中的難點和重點，解題過程中需借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識問題，通過邏輯推理分析問題，此類問題對培養學生的直觀想象與邏輯推理素養有積極作用.筆者針對我校一道高三模擬考試題，從綜合法和向量法兩個角度分析問題并給出相應的解題策略，然后通過對一些模擬試題的研究，側重拓展向量法解決與幾何體的外接球有關的弦長、表面積、體積問題，以期拋磚引玉.

例1 在三棱錐A -BCD中.AB⊥平面BCD，BC上CD.AB =BC=1，BD=√2，三棱錐A- BCD的所有頂點都在同一球O的表面上，若點M，N分別為△BCD與△ABD的重心，直線MN與球O的表面相交于Q、G兩點，則|QG|：|MN|=（? ? ）.

評析 把三棱錐補成正方體或長方體解決外接球問題是常用方法，本例借助幾何圖形中的幾何關系及數量關系證明線線平行、垂直，進而將空間問題轉化為平面問題，這也是解決與球的切、接有關問題的基本思路.運用公理化的方法處理此類問題對學生能力有一定要求，但有利于培養了學生的邏輯推理、直觀想象、數學抽象等核心素養.垂直關系的幾何體作為載體的立體幾何問題，可以優先考慮向量法，這種方法的優點在于拋開了繁雜的推理論證，僅通過計算即可獲得一些平行、垂直的關系以及空間距離和角.尤其是本例中重心特征明顯，用坐標更容易表達，且線段MN、ON的長度和垂直關系更容易得到，從而降低了思維要求，優化了解題過程：同時也培養了學生依托空間向量建立幾何體的外接球問題中圖與形的想象能力.下面借石攻玉，觸類旁通，巧用向量法處理一些幾何體外接球問題.

例2 三棱錐p - ABC中，平面PAC上平面ABC，AB⊥AC，PA =PC =AC =2，AB =4.則三棱錐P -ABC的外接球的表面積為（? ）.

利用向量法解決與幾何體的外接球有關的弦長、表面積、體積問題能刺激學生對此類問題產生神秘感，引發學生探究問題的興趣，促使學生在主動鉆研問題的基礎上形成數學解題能力.教師不只是強化綜合法解決幾何體的外接球問題，而且提供向量法解決此類問題的思路，有利于學生數學活動經驗的積累，能促使學生形成系統、科學的數學思維方式.利用向量法解決幾何體的外接球問題既體現了知識和方法的創新，拓寬了對高考的認知，又提升了學生的解題能力，擴大了高考備考的視野.1DED2D5E-61F9-4C09-9C08-B4D7D867A388