突破雙變量問題 提升核心素養

董亞亞

由于“雙變量”問題能夠較好地考查學生分析問題、解決問題的實際能力，突出地體現了抽象思維能力、邏輯推理能力以及數學運算求解能力在解題中的靈活、綜合運用，所以此類試題備受各級各類考試命題者的青睞.那么，如何突破雙變量問題，提升數學核心素養呢？為了有效解決這個問題，本文擬通過歸類解析的形式加以具體剖析，旨在幫助學生理清常用解題策略，進一步培養學生的數學核心素養以及良好的數學思維品質.

一、雙變量不等式恒成立問題

由于以函數為載體設置的“雙變量”不等式恒成立問題，往往與函數的單調性具有某種緊密聯系，所以處理此類問題的關鍵就是在適當變形的基礎上，準確分析恒成立不等式的外在結構特點，以便靈活構造新函數，并運用新函數的單調性，巧妙求解目標問題.

1.根據“雙變量”分式不等式恒成立，求參數的取值范圍

一般地，遇到含有“雙變量”的分式不等式恒成立，可通過去掉分母進行適當的變形，使得不等式兩邊的外在結構相同，從而便于構造函數，并靈活運用函數的單調性解題，

評注 根據題設條件，將分式不等式轉化為整式不等式，有利于幫助迅速發現不等式的外在結構持點，進而極易想到構造函數，并靈活運用函數的單凋性巧妙解決目標問題.

2.根據“雙變量”絕對值不等式恒成立，求參數的取值范圍

一般地，遇到含有“雙變量”的絕對值不等式恒成立，可借助函數的單調性以及不等式知識，靈活去掉絕對值實施適當變形，使得不等式兩邊具有相同的外在結構，從而有利于構造新函數，并靈活運用新函數的單調性，順利求解參數的取值范圍，

評注 本題設出x1，x2的大小關系，可將題設約束條件中的兩個絕對值符號去掉，顯然有利于發現不等式具有的外在結構特點，進而構造新函數，并借助導數知識可獲得含參不等式恒成立，最后利用“分離參數法”即可順利求解參數的取值范圍，

二、涉及“任意、存在”字眼的雙變量問題

處理涉及“任意、存在”字眼的雙變量問題時，首先要準確理解全稱量詞“任意”與存在量詞“存在”的具體含義：其次解題最關鍵的地方就是將題設已知條件中含有全稱量詞或存在量詞的約束條件，等價轉化為兩個函數值域之間的關系，或者等價轉化為兩個函數最值之間的大小關系：最后再通過構建不等式組或不等式進行靈活分析、求解.

1.根據“任意、存在型等式成立”，求參數的取值范圍

一般地，如果題設條件中給出了“對任意x1∈A，都存在x2 ∈B，使得f（x1）=g（x2）成立”，對于這樣的雙變量問題，可將之等價轉化為：函數廠（x）的值域（當X∈A時）是函數g（x）的值域（當x∈B時）的子集，然后再通過構建不等式組即可順利獲解.為了便于記憶，可將此轉化策略簡記為“任意值域是存在值域的子集”.

評注 本題求解關鍵點有兩個：一是將“任意、存在型等式成立”問題，等價轉化為兩個函數值域的包含關系：二是根據值域的包含關系，準確構建含有參數的不等式組.

2.根據“存在、存在型等式成立”，求參數的取值范圍

評注解題關鍵點：一是將“存在、存在型等式成立”問題，等價轉化為兩個函數值域的交集非空;二是靈活借助求補思想（因為直接分析較為繁瑣），巧妙求解參數的取值范圍.

3.根據“任意、存在型不等式成立”，求參數的取值范圍

（1）如果題設條件中給出了“對任意x1∈A，都存在x2，∈B，使得f（x1）

（2）如果題設條件中給出了“對任意x1，∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）>g（x2）成立”，對于這樣的雙變量問題，可將其等價轉化為：函數f（x）的最小值（當x∈A時）大于函數g（x）的最小值（當x∈B時），然后再通過解不等式即可順利獲解.為了便于記憶，可將此轉化策略簡記為“任意的最小值大于存在的最小值”，

評注 本題涉及雙勾函數、指數函數與不等式知識的綜合運用，具體解題時，首先要理清題設約束條件可等價轉化為兩個函數最大值之間的不等關系，然后準確構建不等式求解，

總之，結合上述歸類解析可知：分析、解決雙變量問題，必須以題設含有雙變量的約束條件做為解題的切入點，如果是雙變量不等式恒成立，則需要在適當變形的基礎上，靈活構造函數，并運用函數的單調性解決問題：如果是涉及“任意、存在”字眼的雙變量問題，則需要在等價轉化的基礎上，靈活運用函數的值域（或者最值），構建不等式組（或者不等式）解決問題，一言以蔽之，突破雙變量問題，能夠提高學生的解題能力，提升數學核心素養.

（收稿日期：2022 - 03 - 02）C67D70A0-60EF-486A-8BDD-4C4CE3174891