透過現象看本質 拓展思維提素養

楊勇

正交分解主要用來求解復雜的物理問題，是高中階段求解物理問題的好方法，對于矢量分解通常分為兩類：一是根據作用效果分解，如力的作用效果、運動的分解等;二是根據應用或者目的進行分解，如正交分解，目的是為了化繁為簡，斜分解，目的是為了讓過程更體現矢量的運算本質.而效果分解在復雜問題中會變得模糊不清，比如力的效果分解，當物體受到多個力時，很難找到每一個力的實際效果，則往往正交分解在高中物理問題的求解中變得尤為重要.從正交分解的應用來看，似乎感覺正交分解在質上沒有實際意義，只是一種處理問題的方法，但是這種方法在處理復雜問題時顯得比較簡單，同時會彰顯其處理問題的簡便性、有效性，所以掌握正交分解的應用技巧和條件，在處理較為難的問題時得到意想不到的效果，下面將結合高中階段運動的分解、力的分解、電場強度的分解、動量的分解等重難點知識的問題進行分析，總結正交分解的應用，以期能給各位讀者提供一定的幫助和參考.

一、正交分解求解運動問題

高中階段的運動分解是平拋（類平拋）運動，把速度分解成x和y兩個相互垂直的方法，這樣分解的目的主要是根據力與運動的關系進行分解，

例1如圖1所示一質點以初速度為v0從斜面頂端水平拋出，斜面的傾斜角為θ，求質點落在斜面上的時間？

評價 本題的求解方法是正交分解法，首先這樣分解的目的是：一從運動的角度來看，物體在發生實際運動的過程中參與了水平方向和豎直方向的分運動;從受力與運動變化的關系來看，水平方向不受力，則物體做勻速直線運動，豎直方向物體只受重力且初速度為零，則做自由落體運動.這兩種運動是學生很熟悉的直線運動規律，因此這樣分解的目的使復雜問題變得簡單，同時各分運動也是學生能夠理解的規律.

拓展分析一 在例1的條件下，求質點離斜面最遠時，質點運動的時間？

解析 建立直角坐標系如圖2所示，把質點的重力分別分解到x和y坐標上，則在x上質點做勻加速直線運動，y軸上質點做先做勻減速直線運動后做勻加速直線運動，由各方向的運動分析可知，當y，方向的速度為零時，質點離斜面最遠，所以在y軸上，ma，=mgcosθ，則ay=gcosθ，由于vy=vo sinθ，所以vy，=a，t，所以當質點離斜面最大時時間為t=v0gtanθ.

評價 從上述的兩個例題的分析來看，運動分解和力的正交分解在運動學中主要為了能夠使問題變得簡單的一種方法.一個運動模型，根據不同的物理問題的需要可以分解成不同方向的兩個分量，但是分解的一個原則不變，必須圍繞力與運動關系進行分解，也就是說正交分解后的各分力與分運動必須在同一直線上，要不然問題會變得更加的復雜.按道理運動學的正交分解應該可以是隨意性，但必須為解題服務、為教學服務.

二、正交分解求解平面勻強電場問題

1.正交分解處理平面勻強電場問題的實例分析

例2如圖3所示，在平面直角坐標系中，有方向平行于坐標平面的勻強電場，其中坐標原點O處的電勢為0，點A處的電勢為6V，點B處的電勢為3V，則電場強度的大小為（

）.

A.200V/m

B.200√3V/m

C.100V/m

D.100√3V/m

分析根據電場強度與電勢差的關系E=U/d，所以只要不在同一等勢面上，電勢差與距離是均勻變化的，而電場強度的矢量，可以進行分解與合成，很多學生會根據類似于力的合成與分解方式計算任意方向的電場強度，按照正交分解計算即可，同時有很多資料書也提到應用正交分解求解電場強度，這樣很快就得到結果，但是方法是否妥當.

從以上的分析及幾個力的分解很多學生得到啟示，利用正交分解可以求解勻強電場的大小，也就是知道任意兩個方向的電場強度的的大小及方向，按照力的正交分解方式求解，但是有時候得不到正確

從以上的分析來看，當兩個分量不垂直時，把這兩個分量按照力的正交分解方式處理顯然是不恰當的.也就是說只有兩分量相互垂直時利用正交分解計算才與找等勢面的計算方法得到相同的結果，所以按照上述分析來看，利用某個方向的電勢差與距離關系來計算這個方向的電場強度，在利用這些分量按照矢量合成來計算總電場強度，則兩個分量一定相互垂，如果不垂時按照力的正交分解方式來計算是不正確的.如圖7所示，電場強度為E可以分解為兩個相互垂直的Ex和Ey，若已知一個分量為E1，那要構成正交分解的方式，則另外一個分量必為E2，且它們相互垂直.從圖7滿足的條件來看，如果已知某電場強度E，可以把該電場分解成為兩個相互垂直的Ex和Ey，若根據某個方向上的電勢差與距離關系計算出該方向的電場強度，比如E2，則E2與該平面內電場的一個分量Ey的夾角為θ、與Ex的夾角為a如圖8所示，根據幾何關系可以求得E2=E，cosθ+Excosa.把E2轉換為電場E的兩個分量在利用勾股定理計算即可.這樣可以充分利用正交分解的方式進行求解平面勻強電場的大小，使復雜問題得到簡單化處理，

例3如圖9所示，菱形ABCD平面與勻強電場平行，LA =60°，邊長為1m，A、B、D三點的電勢分別為3V、OV、-1 V，求該勻強電場的電場強度大小？

評價 從以上的分析來看，平面電場強度的大小完全可以用正交分解方式進行求解，只不過正交分解的方式與力的正交分解和運動的正交分解不一樣，如果根據電場中某個方向的電勢差和距離關系算出的兩個分量相互垂直，可以直接應用正交分解即可，但是當兩個分量不垂直時，直接應用正交分解得到的結果是不對的，所以當計算出兩個方向的電場強度不垂直時，假設某一個分量為該平面內電場的分量，建立直角坐標系，假設出另外一個分量，按照例3的解析方法即可計算出該平面內勻強電場的大小.

2.平面內勻強電場分量的本質分析

從力的正交分解和運動的正交分解來看，力和運動的正交分解具有任意性，只要結合力與運動之間的關系，無論往哪個方向分解得到的結果都是一樣的，我們知道，對于合力與分力的關系為等效替代法，只要找到某兩個力產生的效果與一個力的作用效果相同，則這兩個力可以用一個力來代替，則把這一個力看成為其兩個力的合力.反之，從定義上來說，當明確知道一個力的作用效果時，可以確定這個力的兩個分力的方向，按照平行四邊形計算即可，然而力的正交分解是利用數學方法把復雜的力分解再求解合力的方法，知識借助數學來求解復雜物理問題的一種方法，也就是說力的正交分解時兩個分力是虛假，并沒有實際意義，所以力的分解怎么分解都可以，分力與合力同樣滿足平行四邊形關系.對于電場，如果在已知某電場強度E，如果不考慮其實際意義，也可以分解成無數組平行四邊形，但是如果先通過某個方向的電勢差與距離關系算出來，則對于平面內一個方向只有一個確定的值，因此某一方向的電場具有實際的意義，并不是虛假的分量，則如果利用電勢差與距離算出的分量不能直接應用力的正交分解一樣求解合電場，應該利用例3分析的方式才能應用正交分解求解.

三、正交分解在動量定理的應用

在高中階段動量定理應用常見的是恒力下直線運動，變力或曲線運動相對減少.力的沖量則是力與時間的積累，這個積累等于物體動量的變化，則分析和理解這個累加的意義，對處理變力作用下的一些復雜問題具有意想不到的效果，

如圖11所示，一質點以速度為v半徑為R做勻速圓周勻速圓周運動，某時刻質點的速度與水平方

從兩個方向的分析來看，對于勻速圓周運動豎直方向的位移分量由水平方向的速度變化來貢獻.

例4（2021年全國甲卷第25題）如圖12所示.長度均為Z的兩塊擋板豎直相對放置，間距也為f.兩擋板上邊緣尸和M處于同一水平線上，在該水平線的上方區域有方向豎直向下的勻強電場，電場強度大小為E;兩擋板間有垂直紙面向外、磁感應強度大小可調節的勻強磁場，一質量為m，電荷量為q（q>0）的粒子自電場中某處以大小為v0的速度水平向右發射，恰好從P點處射入磁場，從兩擋板下邊緣Q和N之間射出磁場，運動過程中粒子未與擋板碰撞，已知粒子射入磁場時的速度方向與PQ的夾角為60°，不計重力.

（l）求粒子發射位置到P點的距離;

（2）求磁感應強度大小的取值范圍;

（3）若粒子正好從QN的中點射出磁場，求粒子在磁場中的軌跡與擋板MN的最近距離， 解析這里只討論正交分解法在勻速圓周運動的應用，第（1）問的參考答案為

，帶電粒

總結根據對以上的問題分析和正交分解的應用，可以看到正交分解的應用非常廣泛，同時也能看到正交分解法應用的簡捷性、解題的高效性.但是從上述的分析結果看，除了運動的分解和力的分解可以任意方向分解外，像電場等的正交分解法都有一定本質上的意義.所以備考復習中，在抓住問題本質的前提下，充分利用正交分解求解相應的物理題，不僅可以拓展學生分析和認識問題的視野，還可以提高解題的效率，提升學生的物理學科素養.

（收稿日期：2022 - 02 - 10）4369D54D-E4F7-4C8C-9335-FCC8753EEB2A