基于Sherwood–Frost模型構建聚乙烯泡沫拉伸本構

張武杰，付志強，劉艷華，何爭輝，劉昊喆

基于Sherwood–Frost模型構建聚乙烯泡沫拉伸本構

張武杰a,b，付志強a,b，劉艷華a,b，何爭輝a,b，劉昊喆a,b

（天津科技大學 a.輕工科學與工程學院 b.包裝創新設計實驗室，天津 300222）

研究聚乙烯泡沫的拉伸力學性能，并構建聚乙烯泡沫的拉伸本構模型。利用萬能材料試驗機對不同密度的聚乙烯泡沫進行不同拉伸速率的單軸拉伸實驗，得到聚乙烯泡沫的拉伸應力–應變曲線；在Sherwood–Frost唯象本構模型框架的基礎上，構建將密度和應變耦合的密度項，以及將應變率、應變和密度耦合的應變率項的拉伸本構模型。聚乙烯泡沫在斷裂前的拉伸力學特性為非線性彈性，表現出明顯的應變率強化效應，現有的密度項和應變率項與實驗數據的擬合精度較低，最大平均誤差分別可達11.76%、7.90%。新構建的密度項和應變率項與實驗數據擬合精度較好，最大平均誤差分別為1.17%、1.92%。新構建的拉伸本構模型能夠更精確地描述聚乙烯泡沫單軸拉伸的應力應變關系，為聚乙烯泡沫的綜合力學性能的進一步研究提供參考。

聚乙烯泡沫；拉伸力學性能；Sherwood–Frost本構模型；應變率效應

聚乙烯泡沫是一種由低密度聚乙烯經非交聯物理擠出發泡的聚合物泡沫，具有優良的緩沖性能，在易碎品、食品、電子電器的緩沖包裝中得到了廣泛應用[1]。對聚乙烯泡沫力學性能及本構關系的研究大多集中在單軸壓縮力學性能[2-7]。聚乙烯泡沫作為緩沖包裝在實際運輸沖擊跌落中除了受到壓縮負載，還會受到拉伸、剪切等作用，因此研究聚乙烯泡沫的拉伸性能對復雜受載下聚乙烯泡沫包裝的評價具有較大意義。

在對聚合物泡沫經驗型本構關系的研究中，目前應用較廣泛的是Sherwood–Frost唯象本構模型，Sherwood等[8]對聚氨酯泡沫單軸壓縮性能研究時，在前人的基礎上將密度和環境溫度考慮進去，從而構建了包含密度、溫度、應變率的唯象本構模型框架，該模型假定密度、溫度、應變率和應變對應力的影響是可分離的函數。許多學者在Sherwood–Frost唯象本構模型框架下進行改進，以適用于不同的泡沫材料的力學特性。胡時勝等[9]在對不同密度的聚氨酯泡沫動態壓縮本構關系的研究時對密度項進行了改進，提出一種冪指關系表示密度與應變耦合影響應力。李俊等[10]通過實驗得到了不同密度的聚乙烯泡沫壓縮時的應力應變特征，認為密度和應變耦合影響著應力，并提出一種指數關系描述其影響。雷鵬等[5]對Sherwood–Frost唯象本構模型中的應變率項進行了改進，采用了類似Johnson–Cook本構模型中熱激活機制Seeger模型與反比例函數結合的模型描述發泡聚乙烯單軸壓縮時的應變率效應。聚合物泡沫拉伸力學性能本構模型建立的研究目前較少，盧子興等[11]通過實驗對聚氨酯泡沫塑料的拉伸力學性能和失效原理進行的研究，并沿用Sherwood–Frost唯象壓縮本構模型進行對其本構關系進行描述。馬賽爾等[12]利用萬能材料試驗機對高密度聚乙烯的拉伸力學性能進行了研究，并進行了應變率相關本構模型的建立。饒聰超等[13]對高密度聚乙烯結構發泡塑料的拉伸力學及損傷特性進行了研究，并構建了小應變范圍內彈塑性本構關系，但目前研究在建立拉伸本構時沒有考慮到拉伸與壓縮、發泡與未發泡聚合物力學特性的差異。Sherwood–Frost唯象本構模型是建立在聚合物泡沫壓縮力學行為上的，而聚合物泡沫拉伸和壓縮微觀結構力學變形模式顯著不同[14-15]，聚合物泡沫在壓縮條件下建立的本構是否適用于描述拉伸力學特性還有待研究。

文中以3種密度的聚乙烯泡沫為研究對象，結合單軸拉伸試驗，在Sherwood–Frost唯象本構模型框架的基礎上，考慮密度與應變、應變率與應變及密度的耦合作用，從而構建包含新的密度項和應變率項的聚乙烯泡沫拉伸本構模型。

1 實驗

1.1 材料及儀器

主要材料：密度分別為14.5、28.6、40.6 kg/m3的聚乙烯泡沫，采自天津中天塑料制品有限公司。

主要儀器：美國Instron 3369萬能材料試驗機，美國英斯特朗公司；ETH–408–40–CP–AR可程式恒溫恒濕試驗箱，巨貿儀器（北京）有限公司。

1.2 方法

1.2.1 樣品試件制備

試樣加工依據《GBT 6344—2008軟質泡沫聚合物材料拉伸強度和斷裂伸長率的測定》，試樣標距為55 mm、寬度為13 mm、厚度為1 mm。試樣取樣方向垂直于氣泡上升方向，見圖1a。同時采用環氧樹脂處理試樣夾具夾持部位，以防止試樣在實驗時由于夾持損傷而在夾持處斷裂，之后在溫度為28 ℃、相對濕度65%預處理24 h。

1.2.2 實驗過程

使用萬能材料試驗機，見圖1b，分別以16.5、33、165、330、495 mm/min的恒定拉伸速度對3種密度的聚乙烯泡沫試樣進行拉伸直至斷裂，每個密度每個速率下實驗重復3次，結果取平均值。試樣應變率可以經推導表示為拉伸速率與試樣標距的比值，即為0.005、0.01、0.05、0.1、0.15 s?1。

圖1 試樣和萬能材料試驗機

2 結果與分析

2.1 拉伸應力應變特性及密度效應

3種密度的聚乙烯泡沫在0.005 s?1的拉伸應變率下的應力–應變曲線見圖2，力學特性表現為大應變，非線性彈性，沒有明顯的屈服點。隨著密度的提高，聚乙烯泡沫的斷裂應變有所提升。在0～0.4應變處，相同應變處28.6 kg/m3密度的聚乙烯泡沫拉伸應力高于14.5 kg/m3密度的聚乙烯泡沫拉伸應力，然而在0.4應變到斷裂處28.6 kg/m3密度的聚乙烯泡沫拉伸應力低于14.5 kg/m3密度的聚乙烯泡沫拉伸應力，40.6 kg/m3密度的聚乙烯泡沫拉伸應力隨著應變的增加始終高于28.6 kg/m3密度的聚乙烯泡沫拉伸應力，出現這種力學特征可能與聚乙烯泡沫的泡孔拉伸變形及基材的拉伸力學特征有關[14]。

圖2 3種密度的聚乙烯泡沫的拉伸應力–應變曲線

2.2 應變率效應

密度為14.5 kg/m3聚乙烯泡沫在不同應變率下的應力–應變曲線見圖3，可以發現，在相同應變下，應力隨應變率的增加隨之增加，同聚乙烯泡沫壓縮力學性能類似，拉伸力學性能也表現出應變率應力強化效應。

圖3 密度為14.5 kg/m3的聚乙烯泡沫在不同應變率下的拉伸應力–應變曲線

3 本構模型的構建

3.1 Sherwood–Frost本構模型框架

Sherwood等[8]對聚氨酯泡沫單軸壓縮性能研究時，在前人的基礎上將密度和環境溫度考慮進去，從而提出了比較全面的聚合物泡沫材料壓縮本構關系框架，見式（1）。

Sherwood–Frost模型采用了多項式描述應力–應變曲線并將其作為形狀函數，此次研究依然采用多項式表示形狀函數，見式（2）。選取聚乙烯泡沫拉伸斷裂前0～0.8應變的應力應變曲線進行研究。

式中：A為形狀函數擬合參數；為常量。

顯然表達式中的參數越大，則擬合效果越好，但相應地也會增加計算的復雜性，文中選擇=5。以14.5 kg/m3為參考密度，應變率為0.005 s?1拉伸應變率為參考值，選用多項式對實驗數據進行擬合獲得形狀函數，見圖4，擬合的形狀函數參數見表1。

圖4 形狀函數擬合曲線與實驗數據對比

表1 形狀函數擬合參數

Tab.1 Fitting parameters of the shape function

3.2 密度項的改進及驗證

Sherwood等認為密度對應力的影響是單一的，是與應變無關的。胡時勝等[9]在研究硬質聚氨酯泡沫塑料壓縮力學性能時，發現密度對應力的影響程度還與所處的應變量有關，從而提出了一種應變和密度耦合的密度項，見式（3）。

根據3種密度的聚乙烯泡沫的拉伸應力–應變數據可知，發現密度對拉伸應力的影響也與所處的拉伸應變有關，利用胡時勝等[9]提出的密度項對3種密度的聚乙烯泡沫在0.005 s?1應變率下的拉伸應力–應變曲線進行擬合。可以發現這種密度項擬合精度較低，沒有很好地描述密度變化對聚乙烯泡沫材料拉伸力學性能的影響，同時參數的取值在不同密度時不同，這就導致了這種密度項不適合外推預測。為了更精確建立聚乙烯泡沫拉伸應力–應變特征隨密度變化的關系，現重新推導密度項，不考慮應變率效應，Sherwood–Frost本構模型框架簡化為式（4）。

以最小密度14.5 kg/m3為參考密度，同一應變下應力與參考密度相同應變處的應力比值見式（5）。

通過實驗數據可以發現不同應變下2組密度與參考密度的應力比值變化可以用改進后的弗倫德利希模型（Freundlich Model）函數來描述，見式（6），擬合效果見圖5。參數與密度有關，又因實驗材料密度只有3組，故列出不同密度下擬合參數的取值，見表2，密度和應變耦合后的密度項見式（6）。

圖5 不同密度下應力比值與應變的關系

表2 改進后的密度項的擬合參數

Tab.2 Fitting parameters of the improved density term

為了驗證改進密度項后的本構模型的準確性和可靠性，將帶入參數后的本構模型計算值與實驗數據進行了對比驗證，見圖6。

誤差計算見式（7）。

文中提出的耦合應變后的密度項與實驗結果的擬合誤差見表3，密度為28.6 kg/m3的平均誤差為1.13%，密度為40.6 kg/m3的平均誤差為1.17%，均小于現有密度項的誤差值，新構建的密度項可以更精確地描述密度變化對聚乙烯泡沫材料拉伸力學性能影響。

3.3 應變率項的改進及驗證

Sherwood等[8]在提出聚合物泡沫材料壓縮本構關系時，應變率項采用了Nagy等[16]的研究成果，Nagy等在研究聚合物泡沫材料在動態壓縮下的力學行為時，認為應變和應變率共同影響著應力，將應變率項構建為式（8）和式（9）。

利用Nagy等[16]提出的應變率項對28.6 kg/m3的聚乙烯泡沫在不同應變率下的拉伸應力–應變曲線進行擬合，擬合結果見圖9a。可以發現這種應變率項的擬合精度較低，沒有很好地描述應變率變化對聚乙烯泡沫材料拉伸力學性能的影響。同時觀察不同密度的聚乙烯泡沫在不同應變率下的拉伸應力–應變數據可知，應變率效應不僅與所處的應變量有關，還與密度有關，故對聚乙烯泡沫拉伸本構模型的應變率項進行推導，基于Sherwood–Frost本構模型框架，可將應變率項用式（10）表示。

對于最小密度14.5 kg/m3的聚乙烯泡沫，在0.3、0.5和0.7應變下，參考應變率與其他應變率下的應力比值與應變率比值的關系可以用冪函數來描述，見圖7。通過origin軟件使用最小二乘法擬合得到冪函數的參數n。

表3 密度項擬合誤差

Tab.3 Fitting error of density term

圖7 應變率比值與應力比值的關系及其擬合曲線

同時觀察到冪函數的參數與應變和密度有關，見圖8。根據參數隨應變、密度的變化，選用Allometric冪函數描述這種變化趨勢，見式（11），擬合參數見表4。

式中：、為與密度有關的擬合參數。

應變率、應變與密度耦合后構建的聚乙烯泡沫拉伸本構模型中的應變率項見式（12）和式（13）。

表4 參數與應變關系的擬合參數

Tab.4 Fitting parameter between parameter n and strain

為了驗證改進應變率項后的本構模型的準確性和可靠性，將帶入參數后的本構模型計算值與實驗數據進行了對比驗證，見圖9b，本構模型的計算值與實驗的誤差見表5。

由圖9和表5可知，28.6 kg/m3的聚乙烯泡沫在0.05 s?1應變率下的應力–應變實驗數據與新構建的應變率項的計算結果的平均誤差為1.44%，在0.15 s?1應變率下誤差為1.92%，均小于現有的應變率項的誤差值，可以更精確地描述聚乙烯泡沫在不同應變率下的拉伸應力–應變關系。

圖9 28.6 kg/m3的聚乙烯泡沫在不同應變率下的應力–應變曲線實驗數據與本構模型計算值

表5 密度為28.6 kg/m3的聚乙烯泡沫的本構模型計算值與實驗數據的誤差

Tab.5 The error between the calculated value of the constitutive model of the polyethylene foam of 28.6 kg/m3 and the experimental data

綜上所述，聚乙烯泡沫拉伸本構模型見式（14）—（15）。

4 結語

文中通過拉伸實驗發現聚乙烯泡沫單軸拉伸力學性能表現為非線性彈性，沒有明顯的屈服點，在斷裂前可以達到0.8以上的大應變，并且表現出密度及應變率強化效應。經典的Sherwood–Frost本構模型假定密度、溫度、應變和應變率對應力的影響是可分離的函數，而基于Sherwood–Frost模型直接描述聚乙烯泡沫拉伸本構關系時誤差較大，在Sherwood–Frost本構模型框架的基礎上結合實驗數據規律構建了密度和應變耦合的密度項以及應變率和密度、應變耦合的應變率項，耦合后的本構模型與實驗數據誤差較小，可以更精確地描述聚乙烯泡沫拉伸應力–應變關系。聚乙烯泡沫拉伸性能的研究及本構模型的構建可以為聚乙烯泡沫的綜合力學性能的研究提供一定的參考和依據。

[1] 郭鵬, 徐耀輝, 張師軍, 等. 聚乙烯發泡材料的研究進展[J]. 石油化工, 2015, 44(2): 261-266.

GUO Peng, XU Yao-hui, ZHANG Shi-jun, et al. Progresses in Research of Polyethylene Foaming Materials[J]. Petrochemical Technology, 2015, 44(2): 261-266.

[2] YANG B, ZUO Y, CHANG Z. Evaluation of Energy Absorption Capabilities of Polyethylene Foam under Impact Deformation[J]. Materials (Basel, Switzerland), 2021, 14(13): 3613.

[3] LU Fu-de, HUA Guang-jun, WANG Li-shu, et al. A Phenomenological Constitutive Modelling of Polyethylene Foam under Multiple Impact Conditions[J]. Packaging Technology and Science, 2019, 32(7): 367-379.

[4] 徐紹虎, 崔爽. 基于本構模型的發泡聚乙烯緩沖特性曲線研究[J]. 包裝工程, 2019, 40(15): 11-15.

XU Shao-hu, CUI Shuang. Expanded Polyethylene Cushion Curve Based on Constitutive Model[J]. Packaging Engineering, 2019, 40(15): 11-15.

[5] 雷鵬, 付志強, 張蕾, 等. 基于改進后Sherwood– Frost本構模型對EPE沖擊模擬[J]. 包裝工程, 2019, 40(7): 32-37.

LEI Peng, FU Zhi-qiang, ZHANG Lei, et al. EPE Impact Simulation Based on Improved Sherwood–Frost Constitutive Model[J]. Packaging Engineering, 2019, 40(7): 32-37.

[6] 韋青, 郭彥峰, 付云崗, 等. 聚乙烯泡沫單填充紙蜂窩夾層管的軸向緩沖吸能特性[J]. 機械工程學報, 2021, 57(2): 112-120.

WEI Qing, GUO Yan-feng, FU Yun-gang, et al. Cushioning Energy Absorption of Paper Honeycomb Sandwich Tube Single-Filled by Polyethylene Foam under Axial Drop Impact[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2021, 57(2): 112-120.

[7] JOODAKY A, BATT G S, GIBERT J M. Prediction of Cushion Curves of Polymer Foams Using a Nonlinear Distributed Parameter Model[J]. Packaging Technology and Science, 2020, 33(1): 3-14.

[8] SHERWOOD J A, FROST C C. Constitutive Modeling and Simulation of Energy Absorbing Polyurethane Foam under Impact Loading[J]. Polymer Engineering & Science, 1992, 32(16): 1138-1146.

[9] 胡時勝, 劉劍飛, 王梧. 硬質聚氨酯泡沫塑料本構關系的研究[J]. 力學學報, 1998, 30(2): 151-156.

HU Shi-sheng, LIU Jian-fei, WANG Wu. Study of the Constitutive Relationship of Rigid Polyurethane Foam [J]. Acta Mechanica Sinica, 1998, 30(2): 151-156.

[10] 李俊, 高德, 王振林. 低密度聚乙烯泡沫塑料壓縮本構關系的研究[J]. 包裝工程, 2008, 29(12): 25-26.

LI Jun, GAO De, WANG Zhen-lin. Study of the Constitutive Relation of Low Density Plyethylene Foam under Compression[J]. Packaging Engineering, 2008, 29(12): 25-26.

[11] 盧子興. 聚氨酯泡沫塑料拉伸本構關系及其失效機理的研究[J]. 航空學報, 2002, 23(2): 151-154.

LU Zi-xing. Investigation into the Tensile Constitutive Relation and Failure Mechanism of Pur Foamed Plastics[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2002, 23(2): 151-154.

[12] 馬賽爾, 許進升, 童心, 等. 高密度聚乙烯單軸拉伸力學性能及本構關系研究[J]. 中國塑料, 2016, 30(4): 88-92.

MA Sai-er, XU Jin-sheng, TONG Xin, et al. Research on Uniaxially Tensile Mechanical Properties and Constitutive Model of High Density Polyethylene[J]. China Plastics, 2016, 30(4): 88-92.

[13] 饒聰超, 姜獻峰, 李俊源, 等. 高密度聚乙烯結構發泡塑料拉伸本構關系的研究[J]. 中國塑料, 2012, 26(7): 66-69.

RAO Cong-chao, JIANG Xian-feng, LI Jun-yuan, et al. Research on Constitutive Relation of High-Density Polyethylene Structural Foam under Tensile[J]. China Plastics, 2012, 26(7): 66-69.

[14] GIBSON L J, ASHBY M F. Cellular Solids: Structure and Properties[M]. 2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1997: 234-236.

[15] CHEN Wen-su, HAO Hong, HUGHES D, et al. Static and Dynamic Mechanical Properties of Expanded Polystyrene[J]. Materials & Design, 2015, 69: 170-180.

[16] NAGY A. Mechanical Behavior of Foamed Materials under Dynamic Compression[J]. Journal of Cellular Plastics, 1974, 10(3): 127-134.

Construction of Constitutive of Polyethylene Foam Under Tensile Based on Sherwood-Frost Model

ZHANG Wu-jiea,b, FU Zhi-qianga,b, LIU Yan-huaa,b, HE Zheng-huia,b, LIU Hao-zhea,b

(a. School of Light Industry Science and Engineering b. Laboratory for Innovative Design of Package, Tianjin University of Science & Technology, Tianjin 300222, China)

The project aims to study the tensile mechanical properties of polyethylene foam and construct its constitutive model under tensile. The universal material testing machine is used to perform uniaxial tensile tests on polyethylene foams of different densities at different tensile rates, and the tensile stress-strain curves of the polyethylene foams are obtained; Based on the Sherwood-Frost phenomenological constitutive model frame, a tensile constitutive model of the density term coupling density and strain and the strain rate term coupling strain rate, strain and density are constructed. The tensile properties of polyethylene foam before fracture are nonlinear elasticity, showing obvious strain rate correlation. The existing density term and strain rate term have low fitting accuracy with experimental data, and the maximum average error can reach 11.76% and 7.90% respectively. The newly constructed density term and strain rate term have better fitting accuracy with the experimental data, and the maximum average error is 1.17% and 1.92% respectively. The constructed tensile constitutive model can more accurately describe the stress-strain relationship of polyethylene foam under uniaxially tensile, and provide a reference for further research on the mechanical properties of polyethylene foam.

polyethylene foam; tensile mechanical properties; Sherwood-Frost constitutive model; strain rate effect

TB484.3

A

1001-3563(2022)11-0161-07

10.19554/j.cnki.1001-3563.2022.11.021

2021–09–13

天津市教委科研計劃（2019KJ209）

張武杰（1996—），男，天津科技大學碩士生，主攻包裝動力學。

付志強（1982—），男，博士，天津科技大學講師，主要研究方向為運輸包裝數值模擬技術。

責任編輯：曾鈺嬋