基于信號處理和深度學習的牛頓環實驗

魯溟峰,武進敏,楊文明，張 峰,陶 然

(1.北京理工大學 信息與電子學院，北京 100081；2.北京信息科技大學 自動化學院，北京 100101；3.上海交通大學 物理與天文學院，上海 200240)

牛頓環實驗是大學物理的基礎實驗，它面向全校理工科開設，受眾很廣. 實驗利用牛頓環干涉條紋測量平凸透鏡的曲率半徑，研究等厚干涉現象. 圖1為牛頓環實驗的示意圖，將曲率半徑很大的平凸透鏡放在玻璃板上，使凸面與平板玻璃接觸，形成空氣劈尖. 用單色光垂直照射，經空氣劈尖的上下表面反射得到2束相干光，相干光疊加形成牛頓環干涉條紋. 通過第k級暗環的半徑rk可求得平凸透鏡的曲率半徑為

(1)

圖1 牛頓環實驗(等厚干涉)

為了使學生能夠較好地觀察牛頓環，完成曲率半徑的測量，可以在傳統牛頓環實驗儀的基礎上增加攝像頭(CCD/CMOS)采集整幅牛頓環圖像到計算機中，利用數字圖像處理軟件處理牛頓環，完成曲率半徑測量. 例如，利用Matlab軟件對牛頓環圖的環心和條紋半徑/直徑進行測量[1-2]，再依據相關公式計算得到曲率半徑；或采用數據處理軟件(Origin，Excel，Matlab，Python等)進行最小二乘法擬合[3-4]. 這種基于數字圖像的數環法較傳統數環法更為方便，無回程誤差，觀測視場范圍大. 除此之外，也可利用高級圖像處理方法來測量牛頓環的環心、半徑/直徑，實現一定程度的自動測量. 例如，利用圖像灰度閾值化、圖像極值跟蹤法、梯度矢量場等相關方法提取牛頓環的骨架線(條紋中心線)[5-7]，利用Hough變換及衍生方法檢測牛頓環的環心[8-10]，進行各環定級和測量各級圓環的直徑/半徑，再根據相關公式計算得到平凸透鏡的曲率半徑. 另外，也有采用線性回歸等數據處理方法來獲取環心位置和半徑/直徑[11-12]，或者利用圓內接三角形的思路來獲得相關參量[13-14]，增加了測量的便捷性.

以上方法是把基于肉眼的傳統數環改為基于數字圖像的數環，是針對傳統數環法的升級和補充，方法繁瑣、魯棒性差、自動化程度不高，并且這些圖像處理方法與牛頓環成像機理及信號本質無太大關系，也不適合納入大學物理教學中. 本文從2個新的視角來觀測牛頓環，分別是基于信號處理和深度學習的牛頓環干涉條紋分析，無需數環，即可對牛頓環進行自動分析，測量平凸透鏡的曲率半徑和牛頓環的環心，為牛頓環實驗提供了具有創新性和實用性的擴展實驗手段.

1 牛頓環的信號處理

對于等間隔條紋，可以用傅里葉變換(Fourier transform，FT)來處理，但是對于牛頓環這類非等間隔的閉合干涉條紋，其表征無論是在空域還是在傅里葉域都過于復雜(圖2)，很難直接進行分析[15].

(a)空域 (b)傅里葉域圖2 牛頓環的空域、傅里葉域

目前，Victor Nascov等人根據牛頓環的信號特性，采用最小二乘法、轉動慣量法和傅里葉法對牛頓環進行了分析[16-18]，這些方法雖脫離了數環法的框架，但操作步驟繁瑣復雜，測量的精度和魯棒性也不盡人意.

1.1 牛頓環是Chirp信號

如圖1所示，單色光垂直照射被測件和平板玻璃，在空氣劈尖的上下表面反射形成2束相干光，其光程差為

(2)

根據光程差,可得2束光之間的相位差為

(3)

根據光波疊加原理，頻率相同、振動方向相同、相位差恒定的2束光在某點相遇疊加后，形成穩定的干涉條紋，其疊加后的平均光強為

(4)

其中I1,I2為2束反射光的光強，它們近似一致，可用Ic表示，代入式(4)，聯立式(3)，可得

(5)

I(x,y)=2Ic+2Iccos (πKx2-2πKx0x+

(6)

由式(6)可知牛頓環的干涉條紋是二次相位信號，其每行/列都和雷達通信中常用的Chirp信號形式一致，其信號本質是二維Chirp信號[19]，如圖3所示.

圖3 牛頓環條紋的信號本質

1.2 基于分數傅里葉變換的牛頓環處理

在電子信息領域，Chirp信號處理工具非常豐富，包括分數傅里葉變換(Fractional Fourier transform，FRFT)、Chirp傅里葉變換(Chirp-Fourier transform， CFT)、Chirplet變換、菲涅耳變換等. 本文從牛頓環的信號本質出發，來分析干涉條紋，在分數傅里葉域觀測牛頓環，獲得被測件的曲率半徑等物理參量. 其中，FRFT的定義式為

(7)

式中，α為時頻平面旋轉的角度，Kα(u,x)=Bαexp [jπ(u2cotα-2uxcscα+x2cotα)]為核函數.

基于牛頓環的任何行/列都可表示為Chirp信號，取其中1行為例，其簡化的復指數形式可寫為Ir(x)=Aexp (jπKx2-j2πKx0x+jφy)，利用FRFT分析，可得沖激函數

(K+cotα)x2]}dx.

(8)

當cotα=-K時，此時α為匹配旋轉角，代入式(8)，計算得到

Iαr(u)=Aαyδ(Kx0+ucscα).

(9)

基于以上分析，本文開發了牛頓環信號分析軟件用于物理實驗教學，從成像信號的角度來觀測牛頓環，該方法原理簡單、無需數環，利用積分公式即可計算出結果. 由于該方法充分挖掘了信號特征，因此測量的精度和魯棒性較好. 另外，該信號分析軟件還可以讓學生在信號視角下觀測牛頓環. 學生在理解FRFT積分的基礎上，調試參量，觀測牛頓環在分數傅里葉域的能量聚集性，測量曲率半徑.

1.3 基于Chirp傅里葉變換的牛頓環處理

分數傅里葉變換(FRFT)、Chirp傅里葉變換(CFT)為普通傅里葉變換(FT)的廣義形式，FT適合處理正弦信號，而FRFT和CFT適合處理Chirp信號，信號經過變換會形成沖激信號. CFT是FRFT的簡化形式，其離散形式更適合數值計算[20-21]. 其中，CFT的定義為

(10)

式中，k為頻率，l為線性調頻率.當l固定時，對I(x)的Chirp傅里葉變換就變為對I(x)exp (-jlx2)的傅里葉變換.當l=0時，Chirp傅里葉變換就是傅里葉變換.

與分數傅里葉域分析牛頓環過程類似，牛頓環的任何行/列都可表示為Chirp信號，以其中1行為例，其簡化的復指數形式可寫為

Ir(x)=Ayexp [j(β0x2+α0x)],

(11)

其中，α0=-2Kπx0,β0=Kπ分別為待估計行信號的頻率和調頻率.使用CFT處理Ir(x)，計算得到

Ay2πδ(k-α0).

(12)

在Chirp傅里葉域中通過搜索峰值，得到α0和β0，進而推導出牛頓環條紋的曲率半徑Rrow=2π/(λ0β0)和圓心橫坐標x0=-α0/(2β0).同理，對列信號做類似處理，也可以得到列曲率半徑Rcol和圓心坐標y0.最后通過對計算得到的行和列信號的半徑求均值，得到待測平凸透鏡的曲率半徑和牛頓環的環心坐標(x0,y0).

CFT比FRFT具有更簡明的公式形式，因此更適合進行數值計算，但是這種簡化導致CFT不具備FRFT的光學特性，例如在近代物理光學領域中，FRFT經常用來描述光的衍射，CFT則無法描述.

2 牛頓環的深度學習

近年來，深度學習已被各行各業廣泛應用，并取得了良好的效果. 但大部分應用是對圖像進行分類，諸如對人臉分類，而如何從圖像中獲取參量的應用屬于深度學習的擬合問題，相對分類任務更難. 圖4為采用深度卷積神經網絡實現牛頓環參量端到端的估計[22-24]. 神經網絡采用的VGG卷積神經網絡，是2014年牛津大學計算機視覺組和Google DeepMind公司共同研發出的深度卷積神經網絡(Visual Geometry Group Network，VGGNet)[25]，由5層卷積層、3層全連接層以及softmax輸出層構成. 本文基于該網絡架構進行改進，設計了適合牛頓環參量估計的改進VGG網絡結構，網絡共11層，包含10個卷積層和1層全連接，如圖5所示. 其中卷積層采用3×3大小的卷積核，其激活函數為ReLU，用這樣的結構來提取牛頓環中的特征；最大池化用于減少特征圖的尺寸、冗余的信息和網絡參量；非線性激活函數ReLU代替原來的softmax，用來保持網絡的非線性擬合能力，并在網絡的輸出層設置3個神經元，即環心坐標(x0,y0)和曲率半徑R.

圖4 基于卷積神經網絡的牛頓環直接參量估計

圖5 改進VGG網絡結構用于牛頓環分析

基于該科研成果，開發了適合牛頓環實驗的深度學習實驗平臺，訓練和測試流程基于tensorflow的keras框架，在英偉達Quardro RTX 5000的GPU上進行，如圖6～7所示.

圖6 深度神經網絡訓練流程

圖7 深度神經網絡分析牛頓環結果

1)數據集準備.

120 000張尺寸為640×480的仿真牛頓環. 這些圖像以10∶1的比例分為了訓練集和測試集，每張圖都有標注環心坐標和曲率半徑. 另外，利用牛頓環實驗儀采集1 500張真實的牛頓環條紋圖作為訓練集.

2)訓練.

損失函數：均方誤差函數；

Adam優化器：起始的學習率為0.001，動量更新的參量為0.9和0.999；

批量梯度下降：batchsize為16；

分批訓練：12 000張/批.

3)測試驗證.

a. 仿真理想牛頓環：曲率半徑相對偏差為0.01%～0.05%，環心誤差≤1 pixel；

b. 仿真均勻光照牛頓環：

高斯噪聲(信噪比為25～-5 dB)：曲率半徑相對偏差為0.01%～0.18%，環心誤差≤1 pixel；

椒鹽噪聲(噪聲密度為0～60)：曲率半徑相對偏差為0.01%～0.23%，環心誤差≤1 pixel；

c. 仿真非均勻光照牛頓環：

高斯噪聲(信噪比為25～-5 dB)：曲率半徑相對偏差為0.02%～0.35%，環心誤差≤1 pixel；

椒鹽噪聲(噪聲密度為0～60)：曲率半徑相對偏差為0.02%～0.25%，環心誤差≤1 pixel；

d. 實測牛頓環：曲率半徑相對估計誤差<0.62%，環心誤差≤1 pixel，單張(640×480)測試時間約為0.01 s.

3 教學效果

3.1 具有創新啟發性

基于信號處理和深度學習的牛頓環實驗不拘泥于傳統的數環法，而是從2個新穎的角度觀測牛頓環. 該實驗可以作為數環法實驗的補充，以擴展傳統教學思路，具有較好的創新性和啟發性. 通過牛頓環干涉條紋在分數傅里葉變換域的能量聚集性，深刻理解牛頓環干涉成像的機理和數學本質. 通過大數據訓練深度神經網絡，使其具有分析牛頓環的智能性，幫助學生理解牛頓環的數據特征，激發學生對干涉現象的深入思考，培養學生的創新精神，拓寬學生的視野.

3.2 具有知識拓展性和通用性

基于信號處理和深度學習的牛頓環實驗是對傳統等厚干涉實驗的良好補充，在完成傳統基礎實驗后，通過拓展實驗完成新視角下的牛頓環觀測，擴展新知識，可以支撐大學物理、信號處理、人工智能等多學科課程乃至大創和競賽.

3.2.1 基礎實驗(面向理工科專業)

實驗名稱：基于數環法分析的透鏡曲率半徑測量(4學時).

實驗目的：理解牛頓環等厚干涉成像原理，掌握基本光路的搭建和調試，了解visio畫圓.

實驗原理：牛頓環本質上屬于等厚干涉，由1塊曲率半徑較大的平凸透鏡放在光學平板玻璃上構成，平板玻璃表面與凸透鏡球面之間形成楔形的空氣間隙. 當用單色光照射牛頓環儀時，在球面與平玻璃接觸點周圍形成同心圓干涉環——牛頓環. 如果已知入射光波長λ，測得第k級暗環直徑Dk，則可求得透鏡曲率半徑R.

實驗步驟：

1) 根據透、反射式牛頓環實驗光路示意圖搭建光路；

2) 觀察、拍攝反射式牛頓環；

3) 定標圖像拍攝；

4) 利用visio工具，標定各級圓環，記錄相應級數直徑，計算曲率半徑，完成實驗報告.

3.2.2 擴展實驗1(面向物理、光學、信息專業)

實驗名稱：基于分數傅里葉變換(FRFT)的透鏡曲率半徑測量(4學時).

實驗目的：了解牛頓環成像原理并完成光路搭建和調試，理解基于FRFT算法的牛頓環條紋分析原理.

實驗原理：將1塊曲率半徑較大的平凸透鏡放在光學平板玻璃上，使其凸面與平面接觸，兩者之間形成楔形的空氣間隙，當用單色平行光照射牛頓環儀時，在球面與平玻璃接觸點周圍形成同心圓干涉環——牛頓環. 作為傅里葉變換(FT)的一般形式，從信號處理角度出發，FRFT是基于Chirp基函數分解的信號處理工具，從光學傳播角度出發，FRFT可以描述光的衍射.

實驗步驟：

1) 根據透、反射式牛頓環實驗光路示意圖搭建光路；

2) 觀察、拍攝反射式牛頓環，拍攝定標圖像；

3) 理解基于FRFT的牛頓環參量估計原理；

4) 根據實驗指導書，熟悉基于FRFT的牛頓環分析軟件；

5) 輸入所需參量，計算曲率半徑，記錄結果；

6) 調整輸入參量，記錄曲率半徑測量結果，完成實驗報告.

3.2.3 擴展實驗2(面向物理、光學、信息專業)

實驗名稱：基于深度學習的透鏡曲率半徑測量(4學時).

實驗目的：了解牛頓環成像原理并完成光路搭建和調試，理解基于深度學習的牛頓環條紋分析原理.

實驗原理：將1塊曲率半徑較大的平凸透鏡放在光學平板玻璃上，使其凸面與平面接觸，兩者之間形成楔形的空氣間隙，當用平行單色光照射牛頓環儀時，在球面與平玻璃接觸點周圍形成同心圓干涉環——牛頓環. 從數據處理角度出發，深度神經網絡是先進的數據分析工具，可以通過訓練使神經網絡從牛頓環條紋中學習參量.

實驗步驟：

1) 根據透、反射式牛頓環實驗光路示意圖搭建光路；

2) 觀察、拍攝反射式牛頓環，拍攝定標圖像；

3) 理解基于深度學習的牛頓環參量估計原理；

4) 根據實驗指導書，熟悉基于深度學習的牛頓環分析方法；

5) 設置超參量，訓練網絡，測量曲率半徑，記錄結果，完成實驗報告.

3.3 具有實用性

基于信號處理(FRFT和VGG)的牛頓環實驗法比數環法具有更好的精度和魯棒性，即使在圖像被污損的情況下也能保證測量精度，這是由于牛頓環的信號特性和數據特性是數環法及基于數字圖像處理后的改進數環法所無法比擬的. 而且，比起Victor Nascov等人提出的最小二乘法、傅里葉法[16-18]，本文介紹的牛頓環實驗法測量的精度和魯棒性更好. 本文仿真不同噪聲情況下的牛頓環圖(圖8)，測試各種方法的魯棒性，如表1～2所示.

(a)理想情況 (b)均勻光照含高斯噪聲

表1 不同方法對均勻光照牛頓環仿真圖的曲率半徑估計(相對偏差)效果比較

表2 不同方法對非均勻光照牛頓環仿真圖的曲率半徑估計(相對偏差)效果比較

用大學物理等厚干涉實驗儀測量不同曲率半徑的平凸透鏡(0.855～1.443 m),采集到的真實牛頓環條紋如圖9所示，進行各種方法的魯棒性測試，進一步證實本文介紹的牛頓環實驗法的測量精度和魯棒性更好的結論，如表3所示.

(a) (b)

表3 不同方法對真實牛頓環圖像的曲率半徑估計(相對偏差)效果比較

基于信號處理和深度學習的實驗方法可以完成傳統數環法所不能實現的環心定位，在仿真圖(640×480)中，FRFT和VGG的環心定位精度≤1 pixel；在實測圖(640×480)中，FRFT和VGG環心定位精度≤3 pixel. 無論是信號處理還是深度學習實驗法，單張牛頓環圖(640×480)的測試時間都在1 s以內，而visio數環則需要10 min左右.

大部分高校采用顯微鏡觀測牛頓環，可以在顯微鏡上加裝電子目鏡，實現對牛頓環圖像的獲取，如圖10所示，配上信號處理和深度學習軟件就可以實現內容翔實的實驗，該實驗方案所需裝置成本低、易于推廣.

圖10 電子目鏡方案

4 結束語

基于信號處理和深度學習的牛頓環實驗是對經典等厚干涉實驗的創造性改進，無需數環即可完成曲率半徑測量，還可進一步得到牛頓環的環心坐標. 有別于基于數字圖像處理的數環法，本文所提出的基于信號處理的方法根據牛頓環干涉信號形成機理，提出牛頓環是具有二次相位的二維Chirp信號，引入FRFT和CFT分析牛頓環；基于深度學習的方法充分挖掘牛頓環的數據特性，采用改進的VGG卷積神經網絡分析牛頓環. 該方法將信息技術與傳統實驗融合，將科學前沿融入教學，在傳統等厚干涉實驗的基礎上進行拓展，不僅滿足大學物理實驗的教學需求，還可擴展到信號處理、人工智能等信息學科領域的教學中，鍛煉學生的綜合能力和創新性思維. 此外，該實驗方法具有實用性，可以用于球面光學元件的專業測量.