基于坐標轉換和壓縮比例的導彈碰撞概率算法?

趙久奮 唐勤洪 尤 浩

（1.火箭軍工程大學 西安 710025）（2.78102部隊 成都 610000）

1 引言

隨著導彈技術的發展，作戰樣式的增多和戰場空域時域協同要求的提高，彈道安全風險評估的必要性和重要性越來越明顯。

現階段，廣大彈道研究學者主要通過彈道交叉這一評估指標來進行彈道安全風險評估。其中，文獻［1］采用平面正射投影法，計算判斷了巡航導彈初段彈道交叉問題。文獻［2］通過先判斷彈下點軌跡交點，而后解算彈道空間交點的快速判斷彈道交叉的計算模型。判斷導彈彈道交叉在一定程度上可以評估彈道安全風險問題，但是這種評估方式對空域范圍要求較高，極大地浪費了空域，而且還不能精確計算彈道間的具體碰撞風險大小。

目前，計算彈道導彈碰撞概率的相關研究較少，但是國內外對航空器碰撞問題的研究已經比較深入。

文獻［3］通過Monte Carlo方法得到了衛星間碰撞概率的計算結果；Foster和 Estes［4］、Patera［5］和AL-fano［6］等學者提出了不同的航空器碰撞概率數值積分方法，Chan［7］和 PEDERSEN［8］分別提出了將碰撞概率積分近似求解的解析方法。王華、李海陽等［9］最終將碰撞概率的計算公式轉化成為曲線積分的形式。

上述這些國內外研究文獻對本文導彈碰撞概率提出、求解以及評估導彈彈道安全風險具有很大的借鑒作用。本文在上述研究文獻成果的基礎上，結合導彈安全風險評估的現實要求，提出并推導了一種基于坐標轉換和壓縮比例的導彈碰撞概率算法。算例仿真表明，本文提出的導彈碰撞概率計算理論模型能夠較好較快計算出導彈碰撞風險，對未來戰場導彈協同作戰決策與評估具有重要意義。

2 導彈碰撞概率問題提出

2.1 導彈碰撞概率計算問題假設

考慮導彈飛行特征及其彈道分布，結合前人對航空器碰撞問題的研究，對本文導彈碰撞概率問題做出以下假設［10～12］。

1）由于2個導彈空中相遇碰撞時間非常短，可將相遇期間內2個導彈的相對運動視為速度恒定的線性運動。

2）在導彈碰撞時，兩導彈的相對速度非常大，并且碰撞時間很短，因此，可以忽略2個導彈在相遇期間速度的變化。

3）2個導彈的位置誤差互不關聯。4）在2個導彈的相對運動過程中，導彈相遇時間非常短，因此認為兩導彈位置誤差橢球在相遇期間內保持不變。

5）2個導彈均等效為半徑已知的球體。

6）由于2個導彈的位置誤差都是隨機的，可以認為2個導彈的位置誤差都服從三維高斯分布。

由此，當空中兩導彈間的相遇距離小于其等效半徑和時，則定義為兩導彈發生碰撞。

2.2 導彈相遇坐標系推導

在發射坐標系中，定義兩導彈A、B的標準位置矢量分別為r1、r2；速度矢量為v1、v2；位置誤差協方差矩陣為Var(r1)、Var(r2)；兩導彈等效半徑為R1、R2；碰撞概率為Pg。則，在發射坐標系中，兩導彈距離為，導彈具體位置關系如圖1所示。

如圖1所示，令當前時刻t0=0，則在時刻ta，兩導彈的相對位置矢量為

圖1 導彈空間相遇時速度位置矢量關系

即此時刻兩導彈距離最近，相對位置矢量為

上式兩端同時點乘相對速度vr，可得

綜上表明，當兩導彈空間距離達到最小時，其相對位置矢量和相對速度矢量互相垂直。也就是說，當兩導彈空間距離最近時，其處在與相對速度矢量垂直的平面內，本文中，定義該平面為相遇平面。

3 導彈碰撞概率模型構建

由上文及航天器相遇坐標系原理可知，求解兩導彈在空間的碰撞概率問題，就是求解兩導彈之間空間相遇距離小于它們之間自身等效半徑和的概率。由此，在本文中，把兩導彈的半徑大小聯合到導彈A上形成聯合包絡半徑R=R1+R2，把兩導彈的位置誤差不確定性聯合到導彈B上形成聯合誤差不確定性誤差橢圓，如圖2所示。

圖2 導彈聯合半徑和聯合誤差橢圓在相遇坐標系下分布

為了方便計算，把坐標系o-xaya旋轉一個角度ω，使得xa軸指向兩導彈聯合誤差橢圓的短軸方向，新坐標系和聯合誤差橢球的關系如圖3所示。

圖3 導彈聯合半徑和聯合誤差橢圓在概率計算系下分布

4 基于壓縮比例的數值計算法

由上文可知，碰撞概率Pg的求解過程實際就是求解二維正態橢圓分布函數在聯合圓域內的積分過程，直接計算過程復雜，計算量較大，計算時間較長，不利于實際作戰訓練評估要求，由此，本文在上述基礎上，結合航天器碰撞概率計算原理，提出了一種基于壓縮比例的泰勒展開級數計算方法來對導彈碰撞概率模型來進行求解。

4.1 壓縮導彈位置誤差分布比例

令壓縮比例系數k=σxb/σyb，則 0＜k＜1。令：x1=x、y1=y、μ1xb=μxb、μ1yb=kμyb，代入式（10），得：

由此，導彈聯合橢圓位置誤差分布轉變為圓域分布，聯合圓域積分域則轉變為橢圓積分域：

整個壓縮轉化過程中無誤差。壓縮比例后碰撞概率Pg可表示為

與之相對應的導彈聯合分布位置關系如圖4示。

圖4 經比例壓縮的導彈聯合分布

4.2 聯合橢圓積分域圓化

經過壓縮比例后，聯合橢圓積分區域面積S1=kπR2，定義一個等效圓C，圓心和橢圓中心重合，面積和橢圓域面積相等，其半徑記為，由此，該圓域方程為C:(x1)2+(y1)2≤R12。則碰撞概率可近似表示為二維正態分布圓域函數在圓域內的積分值，設該值為Pc。則

該過程引進了誤差e，則e=Pc-Pg。由上文可知，圓化后求得的導彈碰撞概率所帶來的誤差可忽略不計。聯合積分域圓化后的導彈聯合位置具體分布如圖5所示。

圖5 經聯合積分域圓化的導彈聯合分布

4.3 泰勒級數展開

5 算例分析

為了驗證本文提出的計算導彈碰撞概率方法的適用性和準確性，假設在兩導彈交叉距離最短時，兩導彈的位置、速度矢量在發射坐標系中參數見表1，導彈聯合半徑R=0.015km，壓縮比例系數k=1，兩導彈的位置誤差均為（0.35km，0.62km，0.62km），則根據上述導彈碰撞概率計算方法可快速計算中間變量得：μrb=0.4302km，R1=R=0.015km ，σxb=0.52km ，代入式（37）可得，兩導彈碰撞概率大小為Pg=2.9541e-4，整個計算過程只需0.7s，速度較快，基本滿足實戰指標要求。

表1 兩導彈速度位置矢量參數

由上文導彈碰撞概率計算方法推導過程可知，影響導彈碰撞概率因素主要有導彈聯合半徑R、導彈聯合位置誤差σxb和導彈空間相對位置μrb，兩導彈的位置速度矢量參數如表1所示，篇幅有限，本文只討論導彈聯合位置誤差σxb與Pg之間的關系。

設導彈聯合半徑R=0.015km，壓縮比例系數k=1，導彈空間相對位置μrb=0.4302km，改變導彈位置誤差σxb的大小，導彈碰撞概率大小顯示如圖6所示。

圖6 導彈碰撞概率與位置誤差的關系

從圖6可以看出，導彈碰撞概率隨導彈位置誤差的增大先增大，到達一個極大值后開始減小，這與實際情況是相符的。因為當導彈位置誤差很小時，只要兩導彈彈道不相交，發生碰撞的概率是很小的；當導彈位置誤差比較大時，碰撞發生的概率也比較大；而位置誤差很大時，兩導彈的分布范圍很廣，即使兩導彈標準導彈最小距離很近，發生碰撞的概率也可能很小。

上述算例分析是在假設壓縮比例系數k=1條件下進行的，也就是說導彈誤差密度函數分布成圓形分布。為了進一步驗證本文提出計算導彈碰撞概率的通用性，在上述基礎參數的基礎上，分別令k=1、k=0.5和k=0.1，改變導彈位置誤差σxb的大小，從而得到導彈碰撞概率結果如圖7所示。

圖7 不同壓縮比例下導彈碰撞概率與位置誤差的關系

圖7結果表明，不同導彈誤差密度函數分布情況下，本文提出的導彈碰撞概率計算都符合實際情況，同時隨著壓縮比例系數k值的減小，導彈碰撞概率也隨之減小，即導彈誤差密度函數分布越圓，所得碰撞概率也越大，誤差密度函數分布越窄，所得碰撞概率也越小，符合實際情況。

6 結語

本文根據未來彈道安全風險評估的實際需要，結合航天器碰撞概率研究，引入了導彈碰撞概率這一概念，推導了一種計算導彈碰撞概率的特定計算方法，并分析了影響導彈碰撞概率的相關因素。算例仿真結果表明，本文提出的導彈碰撞概率計算理論模型在導彈位置速度矢量和位置誤差估計準確的情況下，可以快速計算出相應碰撞概率。同時，通過對各影響因素的分析可知，本文提出的碰撞概率計算方法與實際情況符合貼切，適用性通用性較好。與傳統通過彈道交叉來評估彈道風險方法相比，本文提出的方法不僅精度更高，而且還極大減少了對空域的規劃，對未來戰場導彈協同作戰決策與評估具有重要意義。