基于標貫試驗的砂土液化概率判別法

肖詩豪 程小久 汪華安 張潔

摘 要：合理地對建設場地進行液化判別是降低液化災害的基礎。中國規范通過比較臨界標貫擊數與實測標貫擊數的相對大小來判別砂土液化，但由于建立經驗判別準則的過程中存在大量的不確定性因素，故這種確定性方法不是衡量砂土液化的準確指標。針對這個問題，基于中國標貫試驗的液化案例庫，利用極大似然法對4種廣義線性模型進行參數標定，建立適用于中國的液化概率判別模型。結果表明：當液化概率較小時，4種廣義線性模型差異顯著;當液化概率在30%～70%之間時，4種模型的預測結果相近。模型比較表明，Log-log模型對案例庫的擬合效果最好，給出了基于Log-log模型的液化概率計算公式及指定液化概率下的標貫擊數臨界值計算公式?；嘏蟹治霰砻?，提出的液化概率判別模型的總體回判成功率高于現行建筑抗震設計規范。

關鍵詞：標貫試驗;砂土液化;概率判別;廣義線性模型;極大似然法

中圖分類號：TU435 文獻標志碼：A 文章編號：2096-6717（2022）05-0087-11

收稿日期：2021-01-08

基金項目：國家自然科學基金（41672276）;科技部創新人才推進計劃重點領域創新團隊項目（2016RA4059）;上海市教育發展基金會和上海市教育委員會曙光計劃（19SG19）

作者簡介：肖詩豪（1997- ），男，主要從事巖土工程可靠度與風險分析研究，E-mail：xiaoshihao@tongji.edu.cn。

張潔（通信作者），男，教授，博士生導師，E-mail：cezhangjie@tongji.edu.cn。

Received：2021-01-08

Foundation items：National Natural Science Foundation of China （No. 41672276）; The Key Innovation Team Program of MOST of China （No. 2016RA4059）; Shuguang Program of Shanghai Education Development Foundation and Shanghai Municipal Education Commission （No. 19SG19）

Author brief：XIAO Shihao （1997- ）， main research interests： reliability and risk analysis in geotechnical engineering， E-mail： xiaoshihao@tongji.edu.cn.

ZHANG Jie （corresponding author）， professor， doctorial supervisor， E-mail： cezhangjie@tongji.edu.cn.

Probabilistic evaluation of sand liquefaction potential based on standard penetration test

XIAO Shihao， CHENG Xiaojiu， WANG Huaan， ZHANG Jie

（1. Department of Geotechnical Engineering; Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education， Tongji University， Shanghai 200092， P. R. China; 2. China Energy Engineering Group Guangdong Electric Power Design Institute Co.， Ltd.， Guangzhou 510663， P. R. China）

Abstract：

Reasonable liquefaction assessment of construction sites is the basis of mitigating liquefaction hazards. The current Chinese seismic design code evaluates the liquefaction potential by comparing the critical value of standard penetration test blow count with the measured value. However， due to the significant uncertainties associated with the process of establishing empirical liquefaction criteria， the deterministic method is not an accurate measurement for evaluating the liquefaction potential.

To solve this problem， the maximum likehood method is used to calibrate the parameters of four generalized linear models based on the liquefaction case base of Chinese standard penetration test， and four probabilistic evaluation models applied to China are established. The results show that the four generalized linear models differ significantly when the liquefaction probability is small， and the prediction results of the four models are similar when the liquefaction probability is between 30% and 70%. Comparison of the models shows that the Log-log model fits the database best. The formulas for calculating the liquefaction probability and the critical value of standard penetration test blow count under specified liquefaction probability based on the Log-log model are provided. The results of verification analysis show that the overall judgment success ratio of the proposed probabilistic evaluation model of liquefaction is higher than the current Chinese seismic design code.

Keywords：standard penetration test; sand liquefaction; probabilistic evaluation; generalized linear models; maximum likelihood method

砂土液化是一種由地震誘發的常見自然災害，可能會導致砂沸、建筑物地基承載力下降、地表側移和沉降，進而造成結構破壞和生命財產損失。在工程實踐中，基于標準貫入試驗、靜力觸探試驗和剪切波速試驗等原位測試的經驗方法在砂土液化判別中獲得了廣泛的應用。

在中國，基于標貫試驗的經驗液化判別準則使用最為廣泛，如《建筑抗震設計規范》（GB 50011—2010）（2016年版），以下簡稱建規法。該方法采用臨界標貫擊數來衡量地震誘發液化的荷載，采用實測標貫擊數來衡量土體抵抗地震液化的能力。當實測標貫擊數小于臨界標貫擊數時，土體發生液化;否則土體不發生液化。建立該方法的關鍵是提出合理的臨界標貫擊數計算公式。目前，該公式多通過對中國以往地震震后調查中獲得的液化案例庫進行分析來獲得，因此臨界標貫擊數計算公式應盡可能區分液化案例庫中的液化案例和非液化案例。

Seed等提出的經驗判別方法通過不斷修正與更新，獲得了長足的發展。這些簡化方法多采用循環應力比（Cyclic Stress Ratio，CSR）來衡量作用在土體上的荷載，采用循環抗力比（Cyclic Resistance Ratio，CRR）來衡量土體抵抗液化的強度。其中，CRR可采用不同的原位測試指標來估算。從理論上講，CSR>CRR表示土體會發生液化，反之，則不會發生液化。在給定CSR計算方法的條件下，建立經驗法的關鍵是選擇合適的CRR計算方法，使得CRR臨界曲線盡可能區分案例庫中的液化案例和非液化案例。

在建立經驗判別準則的過程中存在大量的不確定性因素，導致經驗法很難完全區分液化和非液化案例。因此，基于經驗法的液化判別結果存在不可忽視的不確定性。液化概率可用于衡量液化發生的可能性，為考慮液化判別結果的不確定性，基于概率的液化判別準則受到了重視。判別分析方法、邏輯回歸模型、人工神經網絡、結構可靠性方法、貝葉斯方法等被廣泛用于建立液化勢評估的概率模型。Juang等和陳國興等對土體液化概率判別模型的發展進行了全面的回顧。

由于原理簡單、使用方便，邏輯回歸方法在建立土體液化概率預測模型中獲得了廣泛的應用。砂土液化判別的結果可看作是一個二分類問題，只有液化和不液化兩種情況。在統計學中，廣義線性模型被廣泛應用于二分類問題的預測，邏輯回歸（Logistic）模型就屬于廣義線性模型中的一種，除邏輯回歸模型外，還有大量其他廣義線性模型。已有研究表明，最優液化模型與案例庫有關，邏輯回歸模型未必是土體液化判別的最優模型。

筆者基于中國標貫試驗的液化案例庫，利用廣義線性模型建立適用于土體液化概率判別的最優經驗模型。首先介紹液化案例庫和建立液化概率判別模型的方法;然后對建立的4種廣義線性模型進行對比分析，給出最優模型;接著分析本文模型在不同烈度區、不同概率水平和不同埋深條件下的回判成功率;最后給出本文模型在預判分析中的應用實例。

1 液化案例庫

文獻[30]給出了中國基于標貫試驗的159個震后調查案例，包含98個液化案例和61個非液化案例。該案例庫是建立中國現行建規法的基礎數據。表1給出了上述159個震后調查案例的來源。每個案例包含面波震級M、烈度I、標貫擊數N、埋深d和地下水位d等5個常規參數。表2給出了案例庫中這些參數的分布范圍。

圖1為案例庫中案例數隨烈度的頻數分布圖。由圖1可知，案例庫包含的場地烈度范圍為Ⅵ～Ⅹ度，在各個烈度區內，液化案例數均大于非液化案例數，且絕大部分案例處于Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ烈度區。圖2為案例庫中案例數隨埋深的頻數分布圖。由圖2可知，案例庫中僅有15個案例的埋深大于10 m，絕大部分案例的埋深處于0～15 m范圍內;液化案例的埋深均處于0～11 m范圍內，相對于非液化案例分布得更集中。

由于不同國家和地區進行標貫試驗的儀器設備和操作方法有所差別，若要將其他地區的液化調查資料用于分析中國液化判別準則，需考慮不同地區標貫試驗結果的相關性，將不同來源的試驗結果進行轉換。但由于相關轉換關系的缺失，筆者未引入中國以外的場地液化案例。

2 建立液化概率判別模型的方法

2.1 廣義線性模型

令X=[x， x…x]，表示土體液化勢判別中的自變量。

令P代表液化概率，令f （P）表示液化概率P的函數。假定f（P）與自變量X之間存在式（1）所示關系。

f（P）=θ+θx+θx+…+θx（1）

式中：θ=[θ， θ…θ]為待標定的模型參數。液化概率P的取值在0～1之間，式（1）等號右端的取值范圍為-∞～+∞。為使式（1）左側取值也位于-∞～+∞之間，f（P）可取不同的函數形式，表3給出了f（P）常用的4種函數形式，式中Φ為標準正態分布的累積分布函數。按照上述規則建立的數學模型常被稱為廣義線性模型，可用于二元事件的概率預測。

在土體液化勢分析中，標準貫入擊數N可用來衡量土體抵抗液化的能力，循環應力比CSR可用來衡量地震荷載。令CSR代表規準化為矩震級M=7.5的修正循環應力比。受已有文獻的啟發，筆者采用N和ln（CSR）作為自變量。CSR的計算公式為

CSR=0.65aσσ′r1MSF（2）

式中：a為水平向地表峰值加速度，g;σ為測試點處的總上覆應力，可按式（3）估算。

σ=γd （3）

式中：γ為砂土重度。Seed等和Idriss等的案例庫中案例的平均土體重度約為18.3 kN/m。文獻[17]在采用文獻[30]中的案例庫進行液化分析時，假定案例的土體重度為19 kN/m。本文采用的液化案例庫也取自文獻[30]，為與上述研究保持一致，γ也取為19 kN/m。σ′為測試點處的上覆有效應力，可按式（4）估算。

σ′=γd-γ（d-d）（4）

式中：γ為水重度;r為剪應力折減系數，在工程實踐中可按式（5）估算。

r=1-0.007 65d（d≤9.15 m）

1.174-0.026 7d（9.15 m<d≤23 m）（5）

由于案例庫中案例的埋深大部分處于9.15 m內，為了簡化計算，r按式（6）估算。

r=1-0.008d（6）

MSF為震級修正系數，按式（7）計算。

MSF=M7.5（7）

式中：M為矩震級。試驗表明，砂土抗液化能力與地震動持續時間（即振動次數）有關。地震動持續時間與震級密切相關。一般而言，震級越大，地震動持續時間越長，液化越容易發生。因此，式（7）可基于地震震級來考慮地震持續時間對土體液化能力的影響。需要指出，表1給出的震級均為面波震級M，并非式（7）中的矩震級M。Youd等指出，當M處于6～8范圍內時，可取M≈M，故取M≈M。

將式（3）、式（4）、式（6）、式（7）帶入式（2），CSR可按式（8）計算。

CSR=0.65a19d9d+10d·

（1-0.008d）M7.5（8）

采用式（8）計算CSR需要地表水平峰值加速度a。由于中國液化案例庫中只有烈度數據，缺乏a記錄，因此，需要根據烈度信息來推斷水平峰值加速度a。根據以往經驗，液化案例庫中Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ度區的a分別取為0.1g、0.2g和0.4g。參照《中國地震烈度表》（GB/T 17742—2008），Ⅵ和Ⅹ度區對應的a分別取0.05g和0.8g。由圖1可知，表1中液化案例主要位于Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ度區，而位于Ⅵ和Ⅹ度區的案例數分別為2和1。

2.2 模型標定方法

令D代表用于模型標定的案例庫，令n、n分別代表案例庫中的液化案例數和非液化案例數。實際上，由于震后調查中通常更重視收集液化案例，導致案例庫中液化案例的比例可能高于真實世界。為考慮上述抽樣偏差的影響，可采用加權極大似然法對模型參數進行標定。令Q和Q分別代表案例庫和真實世界中液化案例的比例。考慮抽樣偏差后，案例庫的加權似然函數對數可按式（9）計算。

lnL（θ|D）=w∑ni=1lnP+w∑ni=1ln（1-P）（9）

式中：P為第i個案例的液化概率值;w和w分別為液化案例和非液化案例的權重因子，可按式（10）計算。

w=QQ（10a）

w=1-Q1-Q（10b）

式中：Q可取為0.456。將表3中的廣義線性模型帶入式（9），即可獲得相應模型的似然性函數。根據最大似然性原理，將其似然性函數進行最大化，即可獲得模型的最優參數θ。

2.3 模型比較方法

對于同一個案例庫，利用不同的廣義線性模型可以建立不同的液化概率預測模型。由于不同模型對數據的擬合效果不同，不同模型為最優模型的概率也有所不同。貝葉斯信息準則（Bayesian Information Criterion， BIC）能同時考慮模型對案例庫的擬合效果和模型復雜程度，常用于對不同模型的優劣進行排序。令M代表第i個模型，其貝葉斯信息準則的表達式為

BIC=-2ln[L（θ|M，D）]+kln（n）（11）

式中： L（θ |M，D）為M的似然函數極大值;k為M中參數的個數;n為案例庫中的案例數。在給定數據庫D的情況下，模型M的模型概率可以由式（12）計算。

P（M|D）=exp-Δ（BIC）2∑rj=1exp-Δ（BIC）2（12）

式中：r為模型總數;Δ（BIC）可由式（13）計算。

Δ（BIC）=BIC-minj=1，2…r（BIC）（13）

根據式（12）計算出不同模型的模型概率后，即可通過模型概率對模型進行比較。模型概率越高，表明模型受數據支持的程度越高。

3 模型標定和比較

表4給出了根據式（9）和極大似然法獲得的不同廣義線性模型的模型標定結果。圖3給出了4種模型在6種液化概率（1%、10%、30%、50%、70%和90%）下的液化概率等勢線。圖3中，橫坐標為標貫擊數N，縱坐標為修正循環應力比CSR，實心圓點代表液化案例，空心圓點代表非液化案例。在給定概率水準的條件下，等勢線上方的案例點判別為液化，下方的案例點判別為不液化。從圖3可以看出：

1）隨著液化概率的增大，4種模型的等勢線有向左上方移動的趨勢，表明越來越多的液化點判別為不液化，判別結果也越來越保守。

2）當液化概率較?。≒ = 1%）時，4種廣義線性模型之間的差異較大;其中，C-log-log模型獲得的等勢線位于最右側，表明對于相同的CSR值，C-log-log模型需要更大的N值才能滿足與其他模型相同的液化概率，因而其液化判別結果最為保守。

3）當液化概率為10%時，Logistic、Probit、Log-log模型的預測結果類似，而C-Log-log模型獲得的等勢線位于最右側，表明C-log-log模型較其他模型更為保守。

4）當液化概率在30%～70%之間時，4種模型的臨界線位置比較接近，液化判別結果相差不大。

5）當液化概率為90%時，Logistic、Probit以及C-Log-log模型預測結果類似，而Log-log模型獲得的等勢線位于最左側，表明其預測結果最不保守。

由上述分析可知，不同模型在不同液化概率下的臨界線位置不同，液化判別結果也有所不同。由于很難通過巖土力學知識對不同模型的優劣進行直接比較，本文采用統計學中“模型概率”這一指標對不同模型與數據的符合程度進行排序。表4給出了4種模型的最優模型概率。從表4可以看出，Log-log模型的最優模型概率最高，為35%，說明Log-log模型與案例庫的符合程度最高，為4個模型中的最優模型。相比而言，文獻中常用的Logisitc模型也有較高的模型概率，說明該模型也有一定的合理性。

為便于使用，將式（8）代入表4中的Log-log模型，可得土體液化概率計算公式

P=exp-exp-2.73+1.41lna-1.41ln9+10dd+1.41ln（1-0.008d）+3.61ln（M）-0.3N（14）

由式（14）可知，在給定地震動參數（a， M）和土層信息（d， d）的條件下，土體液化概率P由該處土體對應的標貫錘擊數N唯一確定。該錘擊數可視為液化概率水平為P條件下的臨界錘擊數N。當實測錘擊數大于N時，土體的液化概率小于P;當實測錘擊數小于N時，土體液化概率大于P?；谑剑?4），給定液化概率P下的臨界標貫擊數N可按式（15）計算。

N=10.32.73+1.41ln（a）-1.41ln9+10dd+1.41ln（1-0.008d）+3.61ln（M）+ln[-ln（P_L）]}（15）

由于液化案例庫中土類大部分為細砂、粉砂和粉細砂，因此式（15）適用于飽和砂土和飽和粉土的液化判別。需要指出，在2008年四川省汶川地震中發現了砂礫土液化的現象，式（15）不適用于砂礫土的液化判別。以中國西南板塊活躍地區為例，式（15）可用于該區域內飽和砂土和飽和粉土的液化判別，但對該區域內的砂礫土場地不適用。

4 回判分析

4.1 與建規法的對比

建規法中標貫擊數臨界值的計算公式為

N=Nβ[ln（0.6d+1.5）-0.1d]3/ρ（16）

式中：ρ為黏粒含量百分率，當小于3或為砂土時，應取3。利用建規法進行回判分析時需要案例的ρ值。液化案例庫取自文獻[30]，案例缺少黏粒含量信息。文獻[30]案例庫中案例的土類大部分為細砂、粉砂和粉細砂等砂土。文獻[40，42]在對文獻[30]案例庫進行液化判別時，所有案例的ρ值均取3。為與上述研究保持一致，本文利用建規法進行回判分析時ρ也取為3。N為標貫擊數基準值。利用建規法進行回判分析時需要案例的N值，可根據案例的實際烈度對應的峰值加速度獲得相應的標貫擊數基準值; β為調整系數，可根據實際震級M按式（17）計算。

β=0.25M-0.89（17）

利用式（16）和式（17）計算得到的標貫擊數臨界值N對應的液化概率水平為32%;用于建立式（16）的數據來源與本文案例庫基本相同。為便于與建規法進行比較，本文將P=32%帶入式（15），由此獲得的臨界標貫擊數與式（16）中標貫擊數臨界值進行比較。表5給出了式（16）和本文方法計算獲得的錘擊數臨界值在不同烈度下的回判成功率。由表5可知，式（16）和本文方法對液化案例的總體回判成功率均高于非液化案例，這與這兩種判別方法對應的液化概率為32%，偏于保守有關。表5還表明，在Ⅶ度區內，本文方法對液化案例的回判成功率高于式（16），對非液化案例的回判成功率略低于式（16）;在Ⅷ和Ⅸ度區內，本文方法對液化案例的回判成功率高于式（16），對非液化案例的回判成功率與式（16）相當;從全部案例的回判成功率來看，本文方法的回判成功率在不同烈度區內均高于式（16）。

4.2 不同液化概率水平下的回判成功率

圖4給出了式（15）在不同液化概率下的回判成功率。從圖4中可以看出，當P = 10%時，式（15）對液化案例的判別成功率接近100%，而對非液化案例的判別成功率約為50%，判別結果顯著偏于保守。隨著液化概率的增大，式（15）對液化案例的回判成功率越來越低，對非液化案例的回判成功率越來越高，而總體回判成功率則整體呈先略增大后減小的趨勢，在液化概率為30%和50%時取得最大值。因此，隨著液化概率的增大，液化案例被判別為不液化的比例持續增加，式（15）越來越偏于不保守;與此同時，式（15）計算得到的臨界標貫擊數減小，表明土體抵抗地震荷載所需的標貫擊數降低，故在工程實踐中將更為經濟。為達到安全性與經濟性的平衡，采用的設計安全系數值對應的液化概率水平一般為15%～35%。

4.3 不同埋深的回判成功率

案例庫159個案例中埋深大于11 m的案例僅有11例，且均為非液化案例;埋深大于15 m的案例僅有1例。為了簡化計算，式（8）中r近似取d≤9.15 m時的表達式代入。表6給出了32%液化概率下式（15）在不同埋深條件下的回判成功率。從表6可以看出，32%液化概率下的式（15）對于埋深小于9.15 m和埋深大于9.15 m案例的總回判成功率均在80%以上，在一定程度上說明了式（15）的可靠性。不過，由于本文案例庫的局限性，式（15）在埋深大于15 m時的判別精度還需進一步研究，在未來的震后場地調查中尤其需注重深埋條件下案例的收集和分析。

5 液化判別及實例分析

應用式（15）進行液化判別時，需要的地震動參數包括設計地震在本場地的地表峰值加速度a及地震震級M。中國抗震設計規范提供了不同地區的設計基本地震加速度值及設計地震分組，但沒有提供設計地震的震級。不過，建規法給出了不同設計地震分組條件下的調整系數值。如式（17）所示，各設計地震分組對應的調整系數β值主要由震級M確定。表7給出了建規法中不同設計分組對應的調整系數，將這些調整系數帶入式（17），即可獲得不同設計地震分組對應的震級。

5.1 實例一

圖5給出了1975年海城地震中盤錦化肥廠場地的標貫試驗數據。該場地在海城地震中觀察到了土體液化現象。場地地下水位為1.5 m，地表以下2.6 m為黏土;2.6～20.0 m為粉土和細砂。

根據現行建規法中附錄A可查得盤錦市的設計基本地震加速度值a=0.10g，設計地震分組屬于第2組。由表7可知，設計地震分組第2組對應的矩震級M= 7.36。為與建規法對應的概率水準一致，本算例取P= 32%。將a、d、d、M和P等5個參數代入式（15），即可求得各測試點的標貫擊數臨界值N。為方便比較，表8和圖5中分別給出了各點處土體的標貫擊數臨界值。在圖5中，當標貫擊數臨界值位于實測值右側時，表明土體受到的地震荷載大于土體的抗液化強度，即土體會發生液化。由圖5可知，地表以下3～13 m范圍內土層發生液化的可能性較大。

該方法還可直接用于計算土體的液化概率。事實上，取a = 0.10g、M = 7.36，將各點測得的d、d和N代入式（14），即可求得各測試點的液化概率值P。表8中也給出了各點的液化概率計算結果。由表8可知，地表以下3～13 m范圍內土體液化概率較大，與圖5中觀測結果一致。

5.2 實例二

唐山地震中，在位于河北省樂亭縣的某場地觀察到了液化現象，圖6給出了該場地的土層信息和標貫試驗結果。場地地下水位為1.6 m，地表以下1.8 m為黏土，1.8～15.0 m為細砂。

根據現行建規法中附錄A可查得樂亭縣的設計基本地震加速度值a=0.15g，設計地震分組屬于第3組。由表7可知，設計地震分組第3組對應的矩震級M=7.76。將a、d、d、M和P（P=32%）等5個參數代入式（15）。圖6給出了各測試點的標貫擊數臨界值N，由圖6可知，該場地地表以下2～3 m范圍內土體發生液化的可能性較大。

6 結論

利用廣義線性模型，基于中國液化案例庫建立了4種液化概率判別模型，并對模型進行了比較，獲得以下主要結論：

1）當液化概率小于10%時，4種模型之間的差異明顯，其中C-log-log模型的預測結果最為保守;當液化概率在30%～70%之間時，4種模型預測結果類似。當液化概率等于90%時，Log-log模型的預測結果最不保守。

2）貝葉斯模型比較表明，Log-log模型為最優模型的概率最高，說明Log-log模型與案例庫中數據的符合程度最高，為最優模型?；贚og-log模型，提出了適用于中國的液化概率計算公式，并給出了指定液化概率條件下標貫擊數臨界值的計算公式。

3）回判分析表明，提出的Log-log模型在不同烈度區內的回判成功率高于現行建筑抗震設計規范。

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（編輯 黃廷）