齒根過渡圓弧對全齒槽成形磨削溫度和殘余應力影響的研究

易 軍 龔志鋒 易 濤 周 煒

1.難加工材料高效精密加工湖南省重點實驗室，湘潭，4112012.湖南科技大學機電工程學院，湘潭，411201

0 引言

硬齒面齒輪是航空航天裝備、風力發電和核電設備、大型船舶、高速機車等的關鍵傳動部件，其制造精度和加工質量是制約我國一系列重大裝備發展的瓶頸之一。磨削通常是齒輪表面硬化處理后消除熱變形，獲得所需精度和表面質量的最后一道工序[1]。在齒輪磨削過程中，砂輪與工件接觸面積大(成形磨削時)、磨削液難以進入磨削區，增加了產生熱損傷的風險[2]；砂輪與齒槽之間復雜的三維幾何接觸關系(成形磨削和展成磨削時)，如法向磨削深度、砂輪線速度和比材料去除率沿被磨齒輪齒廓的非線性變化，使得齒面的磨削力和磨削溫度呈現非均勻分布[3]。較高的、非均勻分布的磨削溫度和應力使同一齒廓呈現多種硬度、殘余應力狀態和顯微組織結構，嚴重影響齒輪的強度、使用壽命和可靠性[4]。

國內外學者對齒輪磨削溫度和殘余應力進行了大量研究。張魁榜等[5]將平面磨削的熱分析理論應用到齒輪磨削過程中，借助工程分析軟件ABAQUS和MATLAB，基于移動熱源理論和三角形熱源分布模型，建立了齒輪成形磨削的三維溫度場仿真模型，并采用熱-力順序耦合分析法得到了齒廓的熱應力場。WANG等[6]根據螺旋錐齒輪齒面形成原理和熱應力理論，考慮齒面溫度和磨削力分布對殘余應力的影響，建立了螺旋錐齒輪齒面磨削殘余應力的數學模型。

以上研究主要集中在探索磨削參數對齒輪齒廓質量的影響，而在齒輪服役過程中，主要有兩種失效形式，即齒面失效(與齒廓加工質量密切相關)和齒根疲勞斷裂(與齒根結構和齒根加工質量密切相關)，由于齒輪傳動系統的輕量化設計要求，齒根彎曲強度已成為制約齒輪發展的重要因素，因而齒根疲勞斷裂比齒面失效更危險[7]。萬國新等[8]研究了齒根過渡圓弧半徑對齒根裂紋擴展的影響，得到了不同過渡圓弧半徑下齒根裂紋的擴展規律。DONG等[9]通過有限元模擬的方法，研究了在相同載荷下不同齒根過渡曲線對齒輪齒根處應力分布的影響。上述文獻主要是研究齒根結構對齒輪承載能力和疲勞強度的影響，而有關齒根結構對后續齒輪的加工過程及加工質量的影響研究還很少。

鑒于此，本文開展了齒根過渡圓弧半徑對磨削溫度分布和磨削后齒根殘余應力分布影響的研究。通過詳細分析全齒槽輪廓磨削過程中砂輪與工件的接觸關系，基于移動熱源理論建立了考慮三段相鄰熱源耦合作用的齒輪成形磨削三維溫度場仿真模型。盡管磨削引起的殘余應力主要有三個原因，即非均勻加熱和冷卻造成的熱膨脹和收縮、相變以及塑性變形[10]，但一方面考慮到在本文后續的實驗過程中磨削溫度不會超過工件的相變溫度[11]，另一方面考慮到磨削力本身引起的殘余應力一般是壓應力，但熱應力常常導致殘余拉應力，在精密成形磨削過程中后者的影響通常比前者的影響大得多[12]，因此僅考慮磨削熱作用對磨削后殘余應力的影響，通過熱-結構耦合有限元分析(在ANSYS中采用順序耦合分析方法，即先進行熱分析求得結構的溫度場，然后進行結構分析，且將前面得到的溫度場作為體載荷加到結構中，求解結構的應力分布)，計算得到了不同過渡圓弧半徑工件磨削引起的殘余應力分布云圖。開展了磨削溫度測量和齒面殘余應力測量實驗，驗證了仿真模型的正確性。

1 全齒槽成形磨削參數

根據漸開線的形成原理，漸開線的起點在基圓上，當齒輪的齒根圓半徑小于漸開線基圓半徑時，齒根至漸開線起點通常通過一段圓弧或斜線過渡，對于某一模數和齒數確定的齒輪，該段圓弧的尺寸僅僅由其齒根圓半徑和基圓半徑確定而無法更改，鑒于此，本文主要研究當齒根圓半徑rf大于基圓半徑rb時，齒根過渡圓弧對齒槽磨削溫度和殘余應力分布的影響。

根據標準齒輪的基本參數，基圓半徑rb和齒根圓半徑rf的計算公式為

rb=(mncosα)/2

(1)

(2)

當rf≥rb時，存在

(3)

因此有

(4)

代入已知量，計算得n≥42，即當齒輪齒數大于或等于42時，齒根圓半徑大于基圓半徑，此時，齒輪齒廓曲線的起點不是漸開線的起始點(圖1)。

圖1 砂輪與齒槽的接觸關系

全齒槽成形磨削過程中砂輪與齒槽的接觸關系如圖1所示。由于齒槽輪廓是關于砂輪中心平面對稱的，為減小計算量，后續只對齒槽的一半即圖1中的ABCO段進行分析。

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

δ=arctanφ

式中，Re為砂輪當量半徑；an為法向磨削深度；Rs為砂輪半徑；vs為砂輪線速度；lc為接觸弧長；ar為砂輪徑向進給深度；Ri為砂輪初始半徑；rc為過渡圓弧半徑；ns為主軸轉速；β為同一齒槽相鄰兩個齒廓漸開線起點之間的基圓圓弧段所對應的圓心角的一半；φ為漸開線滾動角；η為圓弧參數角；θp為分度圓的展角。

從上述公式可以看出，全槽輪廓磨削參數在不同砂輪與工件接觸段的分布情況是不同的，在齒廓段(AB)，磨削參數是漸開線滾動角φ的函數；在過渡圓弧段(BC)，磨削參數是圓弧參數角η的函數；在齒底段，磨削參數保持不變。

滾動角φ和圓弧參數角η的取值范圍分別為φ∈(φ0，φa)、η∈(0，ηmax)。φ0為齒廓漸開線起點位置(圖1中的B點)的滾動角度，φa為齒頂圓的滾動角(圖1中的A點)，ηmax為B點處的圓弧參數角，計算式如下：

(10)

(11)

(12)

漸開線和過渡圓弧上任意一點的坐標通過參數方程很容易在各自的局部坐標系中計算得到，但為了便于統一計算，需在全局笛卡兒坐標系中得到齒槽截面輪廓上任意一點的坐標，這樣就需要對在各自局部坐標系中得到的坐標進行坐標變換。漸開線局部坐標系、過渡圓弧局部坐標系和全局坐標系之間的位置關系如圖2所示。

圖2 局部坐標系與全局坐標系之間的位置關系

在漸開線坐標系oixiyi中，BA曲線段的坐標計算如下：

(13)

BA曲線段在全局坐標系ogxgyg中的坐標可以通過如下齊次坐標變換得到：

(14)

在過渡圓弧坐標系ocxcyc中，根據圓弧的參數方程，可由下式計算出CB曲線段的坐標：

(15)

對式(15)計算出的坐標進行齊次坐標變換，得BC曲線在全局坐標系ogxgyg中的坐標：

(16)

OC線段在全局坐標系ogxgyg中的坐標為

(17)

由以上分析可知，齒槽輪廓上任意一點的磨削參數(an，vs，lc)可由全局坐標系中的徑向進給深度ar、砂輪初始半徑Ri、主軸轉速ns、齒輪齒數n、模數m、齒輪漸開線滾動角φ、過渡圓弧參數角η和過渡圓弧半徑rc來唯一確定。

2 全齒槽成形磨削接觸面熱源分布模型

考慮到磨削區的未變形切屑厚度沿接觸弧從零到最大逐漸增加[13]，假設熱源沿接觸弧呈直角三角形分布[14]，接觸弧區的熱源分布情況可由下式表示：

(18)

(19)

式中，b為砂輪寬度。

以上分析表明，切向磨削力Ft和熱分配比Rw的計算是確定全齒槽輪廓磨削熱源分布模型的前提。

根據文獻[15]推導的單位寬度切向磨削力模型和文獻[16]建立的齒廓成形磨削力模型，得到切向磨削力沿全齒槽橫截面的分布模型：

(20)

式中，de為當量砂輪直徑且de=2Re；ap為CD段的磨削深度，在CD段ap=ar；vw為工件進給速度，在磨削溫度計算中vw即熱源移動速度；K1、K2、α0、β0為與砂輪和工件材料的特性相關的常數，可通過實驗獲得。

該模型分為三段，即齒廓段AB的磨削力計算模型、過渡圓弧段BC的磨削力計算模型和齒根段CO的磨削力模型。磨削力除與磨削參數密切相關外，其中齒廓段各處的磨削力還是關于齒廓漸開線滾動角的函數，而過渡圓弧段各處的磨削力還是關于過渡圓弧參數角的函數。通過漸開線參數方程和圓弧參數方程可以很容易計算出各漸開線滾動角位置點或各圓弧參數角位置點在各自所在漸開線局部坐標系或圓弧局部坐標系下的坐標，再通過式(14)或式(16)求得位于漸開線上或圓弧上任一點在全局坐標系下的坐標，由此即可得到在全局坐標系下磨削力沿全齒槽橫截面輪廓的分布規律。

根據ROWE[17]對磨削熱向各個子系統傳遞的研究，得到傳入工件的熱分配比如下：

(21)

式中，hf為磨削液的對流傳熱系數，W/(m2·K)；hw為工件的傳熱系數，W/(m2·K)；r0為磨粒的有效接觸半徑，m；kg為磨粒的熱導率，W/(m·K)；βw為工件材料的熱特性，其數值與材料的熱導率、密度、質量熱容有關；αw為工件材料的熱擴散率；ε為成屑區的剪切應變；ta為平均未變形切屑厚度，m。

3 全齒槽成形磨削溫度和殘余應力有限元仿真

根據式(14)、式(16)和式(17)計算出的坐標建立全齒槽的三維幾何模型，并利用Solid70(八節點六面體)單元對該幾何模型進行網格劃分。為研究過渡圓弧大小對全齒槽成形磨削溫度和殘余應力分布的影響，對模數為8、齒數為50、過渡圓弧半徑rc為0，1，2，3，4.3 mm的5個齒槽的溫度和殘余應力分布進行了模擬分析。圖3所示為齒根處的過渡圓弧，當rc=4.3 mm時，兩側齒廓由一整條弧線過渡。圖4所示為網格化后的有限元模型。

圖3 齒根過渡圓弧尺寸

圖4 齒槽的有限元模型

齒槽輪廓上任意點的熱源強度可以用式(7)、式(18)～式(21)計算。為便于加載，首先計算出各滾動角(或圓弧參數角)位置的熱源強度；其次通過漸開線參數方程(或圓弧參數方程)和坐標變換矩陣計算出各位置在全局坐標系下的坐標(x，y)；然后利用MATLAB數據擬合工具箱擬合熱源強度與漸開線段的坐標或過渡圓弧段的坐標的關系；最后結合擬合后的沿齒槽輪廓分布的熱源模型和沿磨削方向三角分布的熱源模型，在ANSYS中利用函數加載整個磨削區呈三維分布的熱源。圖5a所示為在齒廓漸開線部分，熱源強度擬合為漸開線上任意點的y坐標值的二次函數；圖5b所示為在過渡圓弧部分，熱源強度擬合為過渡圓弧上任意點的x坐標值的三次函數。熱源施加結果如圖6a所示。工件的初始溫度為環境溫度25 ℃，考慮磨削液對磨削弧區以外工件的冷卻作用，在磨削弧區以外的工件表面上施加對流傳熱系數來表示磨削液的冷卻作用，如圖6b所示，本文中對流傳熱系數取6700 W/(m2·K)[18]。

(a)齒廓段

(a)熱源分布

在有限元仿真過程中，利用循環語句實現移動熱源的加載。首先進行熱分析，熱分析完成后，將熱分析單元Solid70轉換為結構分析單元Solid185(八節點六面體)，重新定義材料參數(包括彈性模量、泊松比、熱膨脹系數、屈服極限等)，并將熱分析得到的任意時刻的瞬時溫度場作為輸入載荷，利用循環語句再次加載，最后得到熱-結構耦合引起的工件殘余應力場。

4 實驗驗證

實驗裝置如圖7所示，成形磨削實驗在三軸數控磨床MKL7132×8/17上完成；工件是從模數為8、齒數為50的標準漸開線齒輪上通過線切割切下來的試塊，其材料為20CrMnTi；砂輪為陶瓷結合劑SG砂輪(3SG46-H12VSP)，其初始直徑400 mm、初始寬度32 mm；采用體積分數為4%的水基乳化液作為冷卻液，冷卻液供液壓力為0.8 MPa。實驗前，用金剛石滾輪將砂輪修整成漸開線形狀，如圖7a所示。磨削參數設為恒定即主軸轉速為1910 r/min、進給速度為3600 mm/min、法向進給深度為0.2 mm。采用鎳鉻-鎳硅人工熱電偶測量磨削溫度，圖7b所示測量點為過渡圓弧中部，磨削溫度信號由NI9212動態數據采集卡采集，采樣頻率設置為1 kHz。磨削后利用XSTRESS-3000型X射線應力分析儀測量過渡圓弧位置的殘余應力，如圖7c所示。

(a)金剛石滾輪修整器 (b)磨削溫度測量系統 (c)殘余應力檢測系統

5 結果與討論

確定磨削區的熱源分布是正確計算磨削溫度的前提，依據第3節所述成形磨削過程中磨削接觸區熱源分布的解析模型，在給定齒輪幾何形狀和磨削參數條件下，傳入工件的熱源沿全齒槽的分布情況如圖8所示，其中m=8 mm，n=50，ns=1910 r/min,vw=3600 mm/min,ar=0.2 mm,Ri=100 m。

(a)rc=0，只存在齒廓和齒底 (b)rc=2 mm，包括齒廓、過渡圓弧和齒底 (c)rc=4.3 mm，只存在齒廓和過渡圓弧

熱源沿齒槽的中心線對稱分布，在齒槽底部，由于磨削方式為平面磨削，此處的法向磨削深度等于齒槽的徑向進給深度，磨削參數沿砂輪寬度方向均勻分布，所以熱源呈現均勻分布特征且強度最大；在過渡圓弧段內，熱源強度隨x坐標絕對值的增大而減小；而在漸開線齒廓段內，熱源強度隨x坐標絕對值的增大而增大。熱源在全齒槽輪廓上的分布與磨削參數和切向磨削力沿齒槽輪廓的分布密切相關，與文獻[10]的結果比較發現，熱源強度在全齒槽輪廓上的變化趨勢與切向磨削深度的變化趨勢高度一致。

圖9給出了齒槽采用不同半徑的圓弧過渡時磨削引起的溫度分布結果。如圖9所示，整個齒槽的磨削溫度場是由5個相鄰熱源相互作用引起的，包括齒廓上的兩個熱源、過渡圓弧上的兩個熱源和齒底平面上的一個熱源。工件表面和內部的磨削溫度分布顯示出明顯的不均勻性，磨削溫度峰值出現在齒槽底部。當rc為0，1，2，3，4.3 mm時，最高磨削溫度分別為557 ℃、555 ℃、551 ℃、540 ℃和497 ℃，雖然齒槽表面的最高磨削溫度隨著過渡圓半徑的增加而降低，但降低的幅度比較小，這說明過渡圓半徑的變化對磨削溫度的影響比較小。

圖9 全齒槽成形磨削溫度仿真結果

圖10給出了齒槽采用不同半徑的圓弧過渡時磨削引起的殘余應力分布結果。如圖10所示，當齒根處過渡圓弧半徑為0即齒根處沒有圓弧過渡時，全齒槽成形磨削引起的最大殘余拉應力為539 MPa；隨著過渡圓弧半徑的增大，磨削引起的殘余應力逐漸減小，當過渡圓弧半徑設為1，2，3，4.3 mm時，最大殘余應力分別降低了13.5%、22.3%、24.5%和25.4%。

圖10 全齒槽成形磨削殘余應力仿真結果

圖11所示為齒槽上同一位置實驗測得的磨削溫度信號與仿真計算得到的磨削溫度曲線的對比，可見仿真溫度曲線與實驗測得的磨削溫度信號具有相同的變化趨勢，且背景輪廓比較吻合，這也證明通過仿真結果分析齒根過渡圓弧半徑對磨削溫度和殘余應力的影響是可行的。從仿真結果中提取沿全齒槽輪廓分布的磨削溫度，結果如圖12所示。可以看出：在過渡圓弧段內，磨削溫度隨著x坐標絕對值的增加而逐漸降低，在有限的過渡圓弧范圍內磨削溫度的變化非常大；在齒廓漸開線段內，磨削溫度隨著x坐標絕對值的增加而升高；過渡圓弧與漸開線交界處的磨削溫度最低。造成過渡圓弧與漸開線交界處磨削溫度最低的原因有兩個：一方面從沿全齒槽輪廓分布的磨削參數來看，在該處法向磨削深度最小，砂輪-工件接觸弧長最小，因而便于散熱；另一方面從沿全齒槽輪廓分布的切向磨削力來看，切向磨削力在該處最小，因而在該處產生的熱源強度最小。隨著過渡圓弧半徑的增大，在過渡圓弧內磨削溫度的變化率有減弱的趨勢；受齒根有限的空間限制，過渡圓弧的尺寸不能太大，因此雖然磨削溫度分布有一定的差異，但溫度差基本維持在50 ℃范圍內。圖中各個離散點為實驗測得的磨削溫度值，可見在該測量點處，不同工件實驗測得的磨削溫度結果與模擬計算結果均比較一致。

圖11 磨削溫度曲線

圖12 磨削溫度沿全齒槽輪廓的分布結果

如圖13所示，殘余應力沿齒槽中心線對稱分布，齒廓部分磨削引起的殘余應力較小，且齒根過渡圓弧半徑的變化對齒廓段磨削后殘余應力分布的影響很小，但對過渡圓弧區磨削后的殘余應力分布影響較大。在過渡圓弧有限的區域范圍內殘余應力的變化非常大，殘余應力的尖峰基本都出現在過渡圓弧與齒根交點處附近，這是因為過渡圓弧與齒根相交處的曲率變化存在不連續，隨著過渡圓弧半徑的增大，齒槽輪廓交界處的曲率不連續越來越不明顯，因此隨著過渡圓弧半徑的增大，殘余應力的分布曲線也越來越平滑。圖中各個離散點為實驗測得的殘余應力數值，將測量點測得的殘余應力與仿真得到的殘余應力值進行比較發現，仿真結果與實驗結果基本吻合。

圖13 殘余應力沿全齒槽輪廓的分布結果

6 結論

(1)通過對成形砂輪與齒槽接觸區三維熱源分布的建模，對全齒槽成形磨削過程中磨削溫度和磨削后引起的殘余應力進行了有限元仿真，研究了齒根過渡圓弧半徑對磨削溫度分布和磨削后殘余應力分布的影響。

(2)受相鄰熱源的影響，在全齒槽成形磨削過程中，齒槽表面的溫度分布是不均勻的，在齒底處的磨削溫度最高；在過渡圓弧段，磨削溫度隨著x坐標絕對值的增加而逐漸降低；在過渡圓弧和漸開線的交界處的磨削溫度最低；在漸開線段，磨削溫度隨著x坐標絕對值的增加而升高。齒槽最高磨削溫度隨過渡圓弧半徑的增大而降低，但變化幅度較小。

(3)殘余應力沿齒槽中心線對稱分布，殘余應力的尖峰基本都出現在過渡圓弧與齒根交點處附近。在過渡圓弧有限的區域范圍內殘余應力的變化幅度非常大，且過渡圓弧半徑對過渡圓弧區磨削后的殘余應力分布的影響較大，與不設置過渡圓弧的齒槽相比，當過渡圓弧半徑超過2 mm時，磨削后齒槽的最大殘余應力降低20%以上。

(4)溫度測量結果和磨削后殘余應力測量結果與有限元仿真結果一致，驗證了仿真結果的正確性。

齒輪齒根過渡段的曲線形式通常有斜線、圓弧、貝塞爾曲線和高階曲線等，本文只研究了當齒根過渡段為圓弧時，圓弧半徑對磨削溫度和殘余應力的影響，但當齒根過渡段采用其他曲線形式時，參數對加工過程中的力、溫度，以及加工后的殘余應力等的影響尚不清楚，這些仍需進一步研究。