找規(guī)律先從有序思考和符號簡化做起

江蘇海安市開發(fā)區(qū)實驗學(xué)校小學(xué)部（226600） 沈永玲

蘇教版教材增設(shè)的“找規(guī)律”單元，為培養(yǎng)學(xué)生探尋規(guī)律的能力編排了優(yōu)質(zhì)的教程，且強調(diào)：找規(guī)律知識的落腳點在“尋找”，而不在對所發(fā)現(xiàn)規(guī)律的創(chuàng)新運用上。那么，如何在課堂教學(xué)中細化貫徹和落實“尋找”，使學(xué)生不斷積累“尋找”的經(jīng)驗，提高“尋找”的能力呢？下面筆者就以“搭配的規(guī)律”教學(xué)為例展開說明。

一、滲透有序思考，摸清“找”的門道

【教學(xué)片段1】

師：同學(xué)們喜歡打乒乓球嗎？（學(xué)生自由交流）

師：省乒乓球隊現(xiàn)役球員中有陳紅、李蘭、馬芬3 名女球員，杜剛和李勤2 名男球員。要選1 名男球員和1 名女球員參加男女混合雙打項目的比賽，如果你是省隊教練，你準(zhǔn)備怎樣安排他們上場？（學(xué)生自由回答）

師：看來有多種搭配方案，那么共有多少種呢？大家不妨推測一下。（絕大多數(shù)學(xué)生認為有6種）

師：到底是不是6 種搭配方案呢？現(xiàn)在請每個小組拿出老師分發(fā)給你們的球員照片擺一擺，模擬組隊驗證一下。

（讓某位學(xué)生一邊在電腦上拖拽圖片演示一邊解說選配經(jīng)過）

師：他這樣搭配條理清晰嗎？是按照什么順序依次展開的？有缺漏嗎？

生1：他先選男球員，再分別搭配女球員。

師：還可以依照怎樣的次序搭配？（讓其他學(xué)生演示方案）

師（小結(jié)）：只有井然有序的搭配才能做到不重不漏。誰能總結(jié)一下？

生2：先從球員照片中選出所有的男球員，再依次搭配女球員；或先從中選出所有的女球員，再依次搭配男球員。

【反思】找規(guī)律首先要有動機，教師創(chuàng)設(shè)男乒乓球員和女乒乓球員的搭配情境，能有效激發(fā)學(xué)生的探究興趣。在學(xué)生說出搭配方案后，教師讓學(xué)生拿出照片進行配對復(fù)盤。學(xué)生通過直觀操作，由散亂隨機搭配，出現(xiàn)重復(fù)或者遺漏的情況，到捋順?biāo)季w，最終找到有序的排列方法。

數(shù)學(xué)教學(xué)的宗旨是培養(yǎng)和提高學(xué)生的思維能力，而有序思考則是衡量思維能力的重要指標(biāo)，也是解決煩瑣問題的一種捷徑，可以將頭緒復(fù)雜的問題條理化。搭配問題有兩大基本解法——一一列舉和算術(shù)運算，而算術(shù)運算的算理正是源自列舉，其本質(zhì)就是將隨機列舉變成依序列舉，依照列舉的規(guī)律歸納出計算公式。上述教學(xué)中請學(xué)生拼擺時，有部分學(xué)生隨意拼擺，有部分學(xué)生會自覺運用有序思想，按照一定的先后順序逐一拼擺，逐一排查。此時，教師提醒學(xué)生比較“有序”和“無序”兩種擺法，并檢查是否有重復(fù)或遺漏，從而彰顯有序排列的優(yōu)越性，讓學(xué)生意識到“有序”拼擺才是“正道”。教師在提問中鞭策和督導(dǎo)學(xué)生將“有序”思想轉(zhuǎn)化為行動，并在后續(xù)教學(xué)中繼續(xù)強化“有序”思想。

二、研磨探究過程，優(yōu)化“找”的措施

【教學(xué)片段2】

師（收起照片）：如果沒有球員照片，你會用涂畫線條或者標(biāo)記符號的方式呈現(xiàn)各種不同的搭配方案嗎？請大家試一試。

（學(xué)生獨立探究，教師巡查）

師（展示生1用文字表示的搭配方案：陳紅—杜剛、陳紅—李勤、李蘭—杜剛、李蘭—李勤、馬芬—杜剛、馬芬—李勤）：生1這種搭配方案有何規(guī)律？

生2：他先暫定女球員陳紅，然后分別依次搭配男球員；再暫定女球員李蘭，然后分別依次搭配男球員；最后選定女球員馬芬，然后依次搭配男球員。

師（展示生3用符號來表示的搭配方案：A1、A2；B1、B2；C1、C2）：這里的英文字母A、B、C 代表什么，阿拉伯?dāng)?shù)字1、2 又有什么含義？你們看得懂嗎？

生3：A、B、C 分別代表三名女球員；1、2 分別代表兩名男球員。

師：對比上述兩種表示法，它們有什么共通之處？你更傾向于哪種表示法？

生4：這兩種表示法都是嚴(yán)格按照某種順序依次進行的，都是先暫定女球員，再搭配男球員。顯然，符號記錄比文字記錄更簡便。

（教師展示生5用連線表示的搭配方案，如圖1所示）

圖1

師：你們能看明白這其中的奧妙嗎？這里的每條線有什么含義？

生6：每條線表示兩名球員搭配（組合）在一起。

師：這些線條是胡亂連接的嗎？我們請生5解釋一下。

生5：我先將陳紅和杜剛、李勤分別連線，有2種搭配方法；再將李蘭和杜剛、李勤連線，也有2 種搭配方法；最后將馬芬和杜剛、李勤連線，也有2 種搭配方法。因此一共有6種搭配方法。

師：還有別的連線次序嗎？

生7（邊指邊說）：先將杜剛依次連上面的三位女球員，有3 種搭配方案；再將李勤依次連上面的三名女球員，也有3 種搭配方案。因此一共有6 種搭配方案。

（教師展示生7用符號連線表示的搭配方案，如圖2所示）

圖2

師：能看懂這其中的玄機嗎？誰來解說一下。

生8：他的方法其實和生5的如出一轍，只不過這里用不同圖案表示不同球員，更加簡便直觀。

師：這么多方案，哪種方案最好？請說出理由。

生9：符號連線法是最佳方法，因為它又直觀又簡潔。

師：復(fù)雜的問題往往可以通過符號變得直觀明了，“數(shù)形結(jié)合”是一條解決問題的坦途。

【反思】直接拿真人照片擺弄，屬于最直觀的實踐性操作，但是這種方法無法使學(xué)生形成細致縝密的有序思維，學(xué)生也無法歸納出一種數(shù)學(xué)理論，只有進行符號化的處理才能促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成。先將圖片抽象為人名，兩兩配對連線，這是停留在篩選排序階段；再將人名抽象為字符（字母和數(shù)字），組合成各種不同的數(shù)碼，進一步將篩選排序升級為組合排序；然后將人名按性別分為上下兩行，通過連線來完成搭配，此時達到初步幾何直觀排序的層級；最后將人名抽象為幾何圖，按性別設(shè)計成不同形狀的四邊形和三角形，徹底完成幾何化的直觀排序。這樣層層遞進的抽象化排序，讓學(xué)生徹底擺脫文字描述和數(shù)量關(guān)系的束縛，直指有序思想的核心——符號化處理所有元素。

有序操作雖讓學(xué)生摸清了門路，但不可能每次找規(guī)律都靠拼擺，而是要具有抽象的思維脈絡(luò)。而幫助學(xué)生轉(zhuǎn)化提煉的過程，不是突兀地展示抽象圖，而是讓學(xué)生在充分地探究創(chuàng)新后，進行交流、評析并優(yōu)化，形成情感式體驗，這樣才能內(nèi)化為專屬個人的“找”的謀略和智慧。由于學(xué)生的思維存在差異，所以個性化的思考可以提示和啟發(fā)其他同學(xué)。為此，在展示環(huán)節(jié)，教師有意識地將學(xué)生的搭配方案按照由粗到細分層展現(xiàn)，完美演繹搭配方法的“進化”過程，讓學(xué)生更清楚地了解自己所用方法的優(yōu)劣，使學(xué)生的思維能力也隨之不斷提升。在每次的探討與交流、磋商與改進中，學(xué)生都能夠增加體驗、揚長避短、取長補短。教師最后進行概括，點明主旨，提出“找規(guī)律”的重要手段——數(shù)形結(jié)合。

三、賦予實際意義，為抽象“找”提供依據(jù)

【教學(xué)片段3】

師：基于前面的實踐探索，你能歸納出一個算式嗎？（3×2=6或2×3=6）

師：如何理解這個算式的合理性？

生1：第一位女球員可搭配兩名男球員，有2 種方法；第二位女球員可搭配兩名男球員，也有2 種方法；第三位女球員可搭配兩名男球員，也有2 種方法。因此就是3個2種。

生2：還可以這樣理解，第一位男球員可搭配三名女球員，有3 種方法；第二位男球員可搭配三名女球員，也有3種方法。因此是2個3種。

師：如果增派一名男球員，會有多少種搭配方式？想象一下，該如何搭線？如何列式？

生3：增派一名男球員，即第三位男球員，他可搭配三名女球員，也有3 種方法，就是3 個3 種，3×3=9。

師：如果再增派一名女球員，一共有多少種搭配方式？有幾個幾種？

生4：新增的這位女球員仍然要和三名男球員搭配，也有3種方法，因此就有4個3種，4×3=12。

師：假若有10名女球員、8名男球員，又有多少種不同的搭配方法呢？（學(xué)生有的搭線，有的直接列式）

生5：第一位女球員可分別與8 名男球員搭配，有8 種方法；第二位女球員可分別與8 名男球員搭配，也有8種方法……

生6（打斷生5）：不要再往下說了，10 位女球員自然就有10個8種，所以是10×8=80。

師：為什么選擇連線的同學(xué)中斷了？

生7：線條太多，橫七豎八的，數(shù)不過來。

生8：只需連完第一位女球員的所有搭配形式就好了。

出示表格：

男球員人數(shù)3 3 4 1 0女球員人數(shù)2 3 3 8搭配總方法數(shù)6 9 1 2 80

師：現(xiàn)在你能概括出搭配規(guī)律的公式了嗎？

生9：男球員人數(shù)×女球員人數(shù)=搭配總方法數(shù)。

生10：可以推廣為，一種“配件”的數(shù)量×另一種“配件”的數(shù)量=搭配總方法數(shù)。

師：你們覺得哪種定理描述得更恰當(dāng)？

生11：第二種。因為生活中需要搭配的事物數(shù)不勝數(shù)，不光是男球員和女球員。

【反思】抽象連線仍只是停留在一一列舉階段，沒有達到數(shù)學(xué)模型的高度。數(shù)學(xué)是一門精練的學(xué)科，要想從直觀的操作中歸納出數(shù)學(xué)模型，還得回歸文字，讓學(xué)生從對情境的描述和理解中概括出算理。有了前面的直觀操作，學(xué)生對算理的探析會更加有理可依。學(xué)生一邊回顧前面多種操作形成的表象，一邊描述推理過程，用男球員搭配女球員，每位男球員的搭配方案數(shù)就是女球員的人數(shù)，而這個數(shù)字是一定的，由此可得搭配總方案數(shù)就是男球員人數(shù)乘以女球員人數(shù)。教師通過不斷增加男球員人數(shù)和女隊員人數(shù)來增加邏輯難度。最后，拋開選配球員的情境，教師引導(dǎo)學(xué)生通過類比遷移歸納出：任何搭配方案總數(shù)的計算都是各種“配件數(shù)”的相乘。

探尋規(guī)律本質(zhì)上屬于“數(shù)學(xué)建模”的范疇，在小學(xué)階段通常都是通過歸納概括得出，而從半直觀、半抽象的圖示法到完全抽象的符號化算式，更有利于學(xué)生確認這一規(guī)律的普適性。探尋得到的算式很簡單，無非就是將各種“配件”的數(shù)量相乘，但如果不領(lǐng)悟乘法運算的深刻含義，那就不能算得到了規(guī)律。教學(xué)中，教師設(shè)計了增派男球員和女球員的環(huán)節(jié)，讓搭配總數(shù)持續(xù)呈現(xiàn)動態(tài)變化。學(xué)生在動態(tài)變化中發(fā)掘隱含的恒量，將前面操作的經(jīng)驗遷移到新情境下，很快想出“幾個幾”。最后，教師一下子將男球員和女球員增至10人和8人，兩個因素同步改變，且數(shù)目較大，畫圖推演變得異常困難，但有先前對“幾個幾”的反復(fù)演練與強化，現(xiàn)在只需畫出一名女球員的所有搭配情形，就能找到參照基準(zhǔn)——“一個幾”。這也體現(xiàn)了理解算理的巨大作用。

綜上，在教學(xué)中教師注重滲透和揭示算理，是希望學(xué)生能站在理解的高度上。只有這樣，學(xué)生在運用時才能做到心中自有主張。