理通法自明
——例談學生運算能力的培養

山東臨沂市羅莊區沂堂鎮中心小學（277721） 王永勝

課程標準指出，運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確運算的能力。培養運算能力有助于學生理解算理，尋求合理的途徑解決問題。也就是說，培養學生的運算能力，實際上就是培養學生在理解運算意義和算理的過程中掌握算法、尋求合理算法解決問題的能力。

眾所周知，證明與計算是數學研究的兩大支柱，數學的發展在很大程度上可以說是計算、計算方法和計算工具的發展。

運算教學的重要性不言而喻，而對運算能力的培養來說，理解運算的意義是前提，理解算理是核心，運算能力也是數學核心素養的關鍵。那么在教學中，教師如何幫助學生在理解算理的基礎上培養運算能力呢？下面，筆者從五個方面談談培養學生運算能力的策略。

一、啟智：巧用比較，遷移算理

遷移是指一種學習對另一種學習的影響，簡單來說就是已經獲得的知識經驗對其他活動的影響。數學是一門邏輯嚴密又彼此關聯的學科，不同的數學知識之間有相同或者相似的因素，尤其是在運算方面，學生先前的運算經驗、計算方法、對算理的理解都為新知的探索提供了可遷移的基礎。在教學中，教師要善于引導學生從已有的知識和經驗出發，嘗試運用已有的知識和經驗探索新問題，使學生的原有知識結構得到完善。

例如，在教學“除數是整十數的筆算除法”一課時，當學生在探究“92÷30”的算理時，筆者采取了“創境—回顧—比較”的教學策略。

首先，筆者創設情境，讓學生提出兩個問題：（1）把92本故事書分給一些班級，每班分3本，可以分給幾個班？（2）把92 本故事書分給一些班級，每班分30本，可以分給幾個班？

其次，筆者引導學生自主回顧“92÷3”的筆算過程，學生在這過程中鞏固了“除的順序”“商的位置”“余數的大小”等知識。這時，筆者追問：“這里的‘92’表示什么？第一次除得的商‘3’為什么寫在十位上？”學生通過借助情境、畫小棒圖、打比方等方式對筆算過程進行講解：“92 表示的是9 個十和2個一，第一次用9個十除以3，得到的是3個十，所以商‘3’要寫在十位上……”

最后，筆者讓學生自主計算“92÷30”，并追問：“為什么‘92÷30’的商‘3’寫在個位上？”學生在自主探索的基礎上，通過遷移舊知和已有經驗進行了算理的辨析，有學生說：“‘92÷30’就好比是把9 個十元和2 個一元平均分給30 個人，先分9 個十元，每人不夠1 個十元，于是把9 個十元換成90 個一元，和2 個一元合在一起分給30 個人，每個人分得3 個一元，最后還剩2 個一元，因此這里的商‘3’要寫在個位上。”還有學生說：“92 可以看作9 捆小棒（1 捆有10 根）加2 根小棒，每3 捆分給1 個班，分給了3個班后還剩2根，因此‘3’要寫在個位上。”

上課伊始，筆者巧用比較，抓住不同知識間的連接點激發了學生的思維，通過遷移舊知識，引導學生由此及彼，展開探究辨析活動，順利實現知識的遷移，提高了學生的遷移類推能力，達到使學生觸類旁通、舉一反三的目標。

二、明理：直觀操作，外顯算理

美國教育心理學家布魯納提出學習的三種表征方式，即動作表征、形象表征和符號表征，并認為這三種表征方式之間存在一種嚴格的遞進關系。兒童的思維是從動作開始的。在運算教學中，常用的動作表征活動有實物操作、畫圖操作和課件操作，適當的操作活動不僅能促進學生積極探索算法，還能將抽象的算理外顯，進而促進學生運算能力的發展。

例如，在教學“小數乘法”一課時，學生在探究“要在‘3.2×4’的積的末尾點一位小數”這一問題時，筆者采取“畫圖—外顯—明理”的策略。

筆者提出問題，引導學生說出3.2的含義，并用圖表示3個一和2個十分之一，即用3個長方形和2個十分之一的小長方形表示3.2。

在用圖表示數的意義的基礎上，筆者啟發學生繼續畫圖表示算式“3.2×4”的含義（如圖1）。學生通過畫圖探究出了計算“3.2×4”的方法并直觀理解了算理，學生發現“2個十分之一乘4”得到8個十分一，不是一個完整的長方形，所以0.2×4=0.8。數形結合，能巧妙地將算理外顯，從而幫助學生直觀地理解抽象的算理。

圖1

算理是運算的理論依據，具有數學的抽象特質，而學生的思維又具有具象的特點，因此在課中，教師要為學生提供自主操作直觀模型的機會。直觀模型指的是具有一定結構的操作材料和直觀材料，如小棒、計數器、長方形紙片或圓形紙片等。操作本身不是目的，而是為了促進算理的直觀化和思維的可視化，強調的是學生的自主探究。教師要給學生獨立思考、自主操作的機會，并適時點撥引導，實現從直觀操作到符號表達的轉化。

三、推演：字母表達，解釋算理

課程標準指出：推理能力的發展應貫穿整個數學學習的過程；推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，兩種推理的功能不同，卻相輔相成。在計算教學中，教師可以根據學生的年齡特點讓學生運用合情推理探索運算的規律，運用演繹推理解釋算理。

例如，在教學“乘法分配律”一課時，讓學生經歷“大膽猜想—舉例驗證—得出結論”的學習活動后，得到乘法分配律的模型：（a+b）c=ac+bc。這個活動過程應該既是學生舉例探索的過程，也是學生運用合情推理不完全歸納運算規律的過程，但多數學生的思維停留在了探索規律的層面，并沒有深究乘法分配律的意義，因而學生的推理能力的訓練效果大打折扣，不明算理致使他們在運用乘法分配律計算時錯誤百出。

筆者在此基礎上深入一步，引入演繹推理，以此提升學生的運算水平。首先引導學生基于乘法的意義想一想（a+b）c表示的意思（c個“a+b”相加），然后引導學生進行轉化表達“（a+b）+（a+b）+（a+b）+……”（一共是c 個“a+b”相加）。繼而利用交換律將c個a 加在一起，再將c個b 加在一起，即（a+a+a+……）+（b+b+b+……）。最后利用乘法意義進行轉化，c個a相加可以簡寫為ac，c個b相加可以簡寫為bc，從而運用演繹推理的方法證明了乘法分配律（a+b）c=ac+bc 的合理性。這一教學過程，筆者引導學生運用字母解釋算理，不但讓學生知其然，又知其所以然，更讓合情推理與演繹推理相互補充，從而在發展學生的推理能力的基礎上提高學生的運算水平。

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾說：“真正的數學家常常憑借數學的直覺思維做出各種猜想，然后加以證實。”因此在運算教學中，教師要創設恰當的情境，給學生“大膽想”的空間，發展學生的數學思維，還要借助字母的表達式教給學生“小心證”的方法，發展學生的邏輯思維。

四、悟道：整體建構，打通算理

數學是一門邏輯性、系統性很強的學科。數學內容本身就是一個整體，它是由若干知識建構起來的具有嚴密邏輯關系的系統，前面的知識是后面知識的基礎，后面的知識又是前面知識的延伸。因此，在運算教學中，教師要樹立整體意識，適時幫助學生“回頭看”，打通算理，實現整體建構。

例如，在教學“同分母分數加減法”一課時，學生得出“分母不變，分子相加減”的算法后，筆者適時來個“回馬槍”，引導學生回顧整數、小數的加減法，幫助學生理解算理。在學生思考與交流后，筆者讓學生觀察和思考一組算式：4+3，400+300，0.4+學生從中發現，這些算式的數的類型看似不同，但計算方法卻有相同之處：每個算式都有“4+3=7”這一步。筆者追問：“那它們的結果為什么不同呢？”學生發現是因為計數單位不同。這樣就順利溝通了知識間的聯系：不論是整數、小數還是分數加法，其算法其實就是把相同計數單位的個數進行累加，“分母不變”就是計數單位不變，“分子相加”就是計數單位個數相加。

圖2

再如，在教學“三位數乘兩位數”一課時，學生根據“兩位數乘兩位數”的計算方法類推“三位數乘三位數”的計算方法，還發現了它們的計算方法是相同的。此時，筆者引導學生“回頭看”，依次回顧“兩位數乘一位數”“兩位數乘兩位數”和“三位數乘兩位數”的算法，并提問：“觀察這些豎式，你有什么發現？”學生在思考后發現，豎式中如果第二個因數是一位數，乘得的積就有一層，如果第二個因數是兩位數，乘得的積就有兩層……第一層的積都表示幾個一，第二層的積都表示幾個十。接著，教師引導學生推測：“如果第二個因數是三位數，它們的積會有幾層？又表示什么？”經過探究，學生不但明白了算法，還理解了豎式計算的算理：“豎式計算的過程，其實就是先分后合的過程，也就是先分別算有幾個一、幾個十、幾個百，再合起來。”至此，學生在整體建構中厘清了整數乘法的算理。

圖3

教學實踐證明，掌握知識的整體結構有助于理解知識和形成良好的認知結構。在學生初步理解了某一算法后，教師適時“回頭看”，從整體上打通算理，能起到四兩撥千斤之效。這樣教學，學生才能真正悟到其中的道理。整體建構能讓學生的學習從一種混沌的模糊狀態提升為一種有意義、有結構的狀態。

五、貫通：問題解決，應用算理

好的問題情境是選擇合理運算方法的敲門磚，更是檢驗學生對算理的理解的試金石。在計算練習的環節，仍然需要教師創設合理的情境讓學生基于算理的理解運用運算技能，在實際應用中對算理達到形式化的理解，提升運算水平。

例如，在教學“三位數乘兩位數”一課時，筆者創設問題情境：A 市到F 市一日游每人309元，一個旅游團有21 名游客。引導學生提出問題“一共要花多少錢”，在學生列出算式并說明為什么用乘法的基礎上，筆者提出了一個問題：“有個同學計算的結果是8325，他算得對不對呢？”在檢驗這個答案時，有的學生想到了看尾數的方法，309 的個位和21的個位相乘的積應該是9，不應該是5，所以這個答案是錯的。還有的學生想到了估算的方法，把309 看 成300，把21 看 成20，3000 乘20 的 積 是6000，實際的積應該是6000 多，不可能是8000 多。學生在理解算式含義的基礎上靈活地選擇合理的方法進行檢驗。

在此基礎上，筆者繼續創設情境：旅行社的阿姨想用計算器來算309×21，可是數字鍵“1”壞了，你能幫阿姨想個辦法用計算器算出309×21 的結果嗎？學生給出不少方法：（1）309×20+309；（2）309×22-309；（3）309×7×3……學生在幫助旅行社阿姨解決問題的過程中，貫通了不同算法之間的聯系，加深了對算理的理解與感悟，發展了高階思維。

從創設情境到解決問題的過程，是學生對算法從認知到熟知，對算理從直觀理解到應用理解的過程。事實上，學生應用抽象的算理解決現實問題是衡量其運算能力的標準，因此，在練習環節，教師應讓學生用算理解決實際問題，從而發展學生的運算能力。

總之，培養學生的運算能力并非一朝一夕能完成，在教學的各個環節，教師要善于啟智、操作、解釋、串連和應用，避免讓學生機械計算，并能根據學生的心理特征和數學學科特點不斷革新教學方式，循序漸進地培養學生的運算能力。