基于增益自適應(yīng)滑模觀測的PMSM無傳感器控制

李 慶，王 彥

（南華大學(xué)電氣工程學(xué)院，湖南衡陽 421001）

0 引言

永磁同步電機(jī)（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）自身體積小、功效高、轉(zhuǎn)矩大、動態(tài)性能好，所以廣泛應(yīng)用于航天事業(yè)、電力能源以及電動汽車等領(lǐng)域[1]。傳統(tǒng)式PMSM轉(zhuǎn)子位置信息的獲取一般離不開機(jī)械傳感器的安裝，這不僅增加了系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)的費用，還存在可靠性差、安裝維護(hù)困難等問題。因此，在一些特定場合，PMSM 無法發(fā)揮自身優(yōu)點。為了打破機(jī)械傳感器存在的約束，國內(nèi)外越來越多的學(xué)者投入到無位置傳感器控制技術(shù)的研究中。

目前，無位置傳感器控制方法主要有注入高頻信號法和反電動勢模型法，前者主要適用于零低速域，后者則適用于中高速域。高頻信號注入法就是注入外部激勵信號，得到的響應(yīng)信號進(jìn)行濾波處理，進(jìn)而從中獲得轉(zhuǎn)子位置信息[2-6]；反電動勢模型法主要包括擴(kuò)展卡爾曼濾波法、模型參考自適應(yīng)法、滑模觀測器法（Sliding Mode Observer，SMO）[7-9]等方法。

滑模觀測器法對電機(jī)參數(shù)以及外部信號的抗干擾能力較強(qiáng)，魯棒性較強(qiáng)[10]，但開關(guān)特性會導(dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)行時存在抖振情況，這直接影響觀測器輸出的反電動勢的精度，進(jìn)而影響位置信息觀測精度。因此，削弱抖振成了提高觀測器精度的關(guān)鍵。

李冉[11]，Lee H[12]，KANG W X[13]采用Sigmod 函數(shù) 以削弱傳統(tǒng)開關(guān)特性所帶來的抖振情況，但其動態(tài)性能不是很好。Tang H[14]設(shè)計了雙曲正切函數(shù)和卡爾曼濾波測器改進(jìn)的滑模算法，在一定程度上抑制了系統(tǒng)的抖振。宋哲[15]在速度環(huán)中采用SMO 控制代替原有的PI控制，提高了一定的控制性能，加快了系統(tǒng)響應(yīng)速度。但是觀測精度未得到很大的提高。從上面可以看出，雖然目前改進(jìn)的滑模控制方法中有的可以削弱抖振，有的可以提高估計精度，但是大部分方法是無法兩者兼得。

本文對表貼式PMSM 中高速域進(jìn)行無位置傳感器研究。為了解決傳統(tǒng)滑模觀測器系統(tǒng)抖振嚴(yán)重等問題，提出一種增益自適應(yīng)的算法取代滑模固定增益，形成增益自適應(yīng)的滑模觀測器。

1 PMSM的數(shù)學(xué)模型

本文使用的是表貼式三相永磁同步電機(jī)，其直軸電感分量Ld、交軸電感分量Lq以及同步電感Ls三者相等，即Ld=Lq=Ls。PMSM在α-β坐標(biāo)系下的電壓方程如下：

式中：uα、uβ和iα、iβ分別為定子電壓和電流在α、β軸的分量；p為微分算子；Eα、Eβ分別為α、β軸的反電動勢分量；Rs、Ls分別為定子繞組的電阻、電感；ψf為永磁體磁鏈；ωe為電機(jī)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)電角速度。

將式（1）轉(zhuǎn)換為電流方程，得：

由式（3）建立滑模電流觀測器方程：

將式（3）與式（4）相減，可得定子電流誤差方程為：

要保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行，式（6）中的k需滿足：

2 增益自適應(yīng)滑模觀測器設(shè)計

2.1 滑模觀測器設(shè)計

基于Lee H[16]提出的適用于PMSM 的增益自適應(yīng)的滑模觀測器，本文方案結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 增益自適應(yīng)滑模觀測器

首先，根據(jù)PMSM 數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造滑模電流觀測器，但其中的滑模增益由原來的固定增益替換成根據(jù)觀測電流差變化的自適應(yīng)增益，使得滑模增益隨著速度、電流的變化自我調(diào)節(jié)到一個最優(yōu)值。

滑模觀測器重新設(shè)計為：式中：k（t）為滑模觀測器自適應(yīng)增益；即觀測器觀測值與測量值之差。

式中：A為增益調(diào)節(jié)參數(shù)，且A＞0。

式中：B為足夠大的正常數(shù)，滿足為增益調(diào)節(jié)參數(shù)，且C＞0；η為通過低通濾波器處理所輸出的平均值；ε 為低通濾波器的時間常數(shù)，且ε＞0。

因此，α相、β相滑模觀測器分別設(shè)計為：

式中：kα(t)、kβ(t)分別為α、β相的自適應(yīng)滑模增益。

將式（3）與式（12）、式（13）中的定子電流方程做差可得α相、β相滑模觀測誤差方程為：

將滑模切換面定義為：

起初電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)時，滑模觀測誤差不為0，自適應(yīng)增益k（t）處于上升階段，當(dāng)估計誤差到達(dá)滑模切換面上后。為了削弱外部干擾，增益k（t）緩慢減小，直至滑模平衡態(tài)被破壞，即誤差再次脫離滑模切換面，此時滑模增益將根據(jù)系統(tǒng)需求通過自適應(yīng)算法再一次調(diào)整，直至系統(tǒng)再一次到達(dá)穩(wěn)定滑模面。下面證明自適應(yīng)增益能在一定時間內(nèi)使觀測誤差到達(dá)滑模切換面，實現(xiàn)此證明需要引入以下幾個引理。

引理1[16]：對于系統(tǒng)以及滑模變結(jié)構(gòu)有：

引理2[16]：對于如式（12）、（13）所設(shè)計的滑模觀測器，以及如式（15）的滑模變結(jié)構(gòu)存在正常數(shù)滿足

證明：α相與β相無耦合關(guān)系，所以選擇α相來證明，式（13）中1 對應(yīng)于式（15）中因 為 易 知有 界，且Rs、Ls為正常數(shù)，所以可得有界且大于0。所以由引理1可知，存在一個正常數(shù)滿足同理可證β 相存在所以綜上，引理2得證。

引理3[16]：對于如式（12）、（13）設(shè)計的滑模觀測器，當(dāng)時，若kα(t)(kβ(t))大到可以抗干擾，那么系統(tǒng)便能夠在滑模面上穩(wěn)定運(yùn)行。

引理4[17]：

（1）系統(tǒng)狀態(tài)空間中，若滑模面s滿足＜0，則在滑模面s= 0以外的所有狀態(tài)點，最終都能到達(dá)滑模面。

（2）一般通過Lyspunov 第二法判定系統(tǒng)能否在滑模面上穩(wěn)定運(yùn)行。

①當(dāng)且僅當(dāng)x= 0時，V(x) = 0；

②當(dāng)x≠0時，V(x) ＞0；

③當(dāng)x≠0時，

定理1：對于如式（12）、（13）的滑模觀測器以及如式（14）的滑模觀測誤差結(jié)構(gòu)，存在t0，滿足t＞t0時，即滑模運(yùn)動處于穩(wěn)定狀態(tài)。

只證明α相，因為α相和β相兩相獨立互不影響，β相同理可證。

對函數(shù)V進(jìn)行求導(dǎo)可得：

式中：Ls、Rs為正常數(shù)。

綜上所述，增益自適應(yīng)滑模觀測器可根據(jù)外界參數(shù)變化而自動調(diào)節(jié)滑模增益，不僅能保證系統(tǒng)可達(dá)到滑模穩(wěn)態(tài)，還可削弱滑模增益相對過大導(dǎo)致的抖振，對轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速觀測精度的提高也起到了一定的作用。

2.2 轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速及位置得提取

因為本文采用的是傳統(tǒng)開關(guān)函數(shù)，而實際的控制量信號不連續(xù)，并且頻率高，因此通過增加低通濾波器來輸出連續(xù)的反電動勢信號。但這會使處理過的反電動勢估計值出現(xiàn)相位延遲，直接影響轉(zhuǎn)子位置估計精度。因此，相位延遲所帶來的估算誤差通常通過角度補(bǔ)償來減小。增益自適應(yīng)滑模觀測器獲取轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速及位置的具體算法如下：

3 仿真分析

在Matlab∕Simulink 中搭建PMSM 矢量控制模型，并與增益自適應(yīng)滑模觀測器相結(jié)合對轉(zhuǎn)子位置及轉(zhuǎn)速進(jìn)行仿真研究。仿真所采用的PMSM 模型的額定參數(shù)如下：極 對 數(shù)pn= 4， 磁 鏈ψf= 0.175 Wb， 轉(zhuǎn) 動 慣 量J=0.001kg · m2，阻尼系數(shù)B= 0，定子電阻Rs= 2.875 Ω，定子電感Ls= 8.5 mH；直流側(cè)電壓U= 311V。

圖2所示為自適應(yīng)算法的仿真結(jié)構(gòu)圖。

圖2 自適應(yīng)算法仿真

3.1 仿真1：空載條件下期望轉(zhuǎn)速設(shè)定為n = 600 r∕min

仿真結(jié)果如圖3～6 所示。由圖3（a）和圖4（a）可明顯看出，傳統(tǒng)滑模觀測器估計的轉(zhuǎn)速及位置波形中抖振現(xiàn)象比較嚴(yán)重，轉(zhuǎn)速穩(wěn)定范圍約為598～611 r∕min；與之對比，圖3（b）和圖4（b）中增益自適應(yīng)滑模觀測器所估計的轉(zhuǎn)速及位置波形中的抖振現(xiàn)象得到了顯著的削弱。轉(zhuǎn)速穩(wěn)定在605 r∕min 左右。若滑模增益相對系統(tǒng)需求過大會加劇抖振現(xiàn)象，增益相對過小則不能滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)需求。增益自適應(yīng)算法會根據(jù)系統(tǒng)的變化進(jìn)行滑模增益調(diào)節(jié)，使得滑模增益大小與系統(tǒng)實時匹配，而傳統(tǒng)滑模增益為固定的，當(dāng)其增益大小對于系統(tǒng)來說過大，則會出現(xiàn)嚴(yán)重的抖振情況。

圖3 轉(zhuǎn)速估計波形對比

圖4 轉(zhuǎn)子位置估計波形對比

圖5（a）和圖5（b）中分別為傳統(tǒng)滑模觀測器和增益自適應(yīng)滑模觀測器的轉(zhuǎn)速估計誤差波形圖。可看出，增益自適應(yīng)滑模觀測器觀測得到的轉(zhuǎn)速誤差的波形抖振情況相較于傳統(tǒng)控制方法有了明顯的減弱，并且，相同條件下，傳統(tǒng)滑模觀測器觀測得到的轉(zhuǎn)速誤差穩(wěn)定于±7 r∕min 內(nèi)；而增益自適應(yīng)滑模觀測器觀測得到的轉(zhuǎn)速誤差穩(wěn)定于±1r∕min 內(nèi)，遠(yuǎn)小于前者。圖6 為兩者的轉(zhuǎn)子位置誤差對比波形圖，傳統(tǒng)滑模觀測器觀測到的位置誤差穩(wěn)定于（0.015，0.035） rad 范圍內(nèi)，而改進(jìn)后觀測得到的轉(zhuǎn)子位置誤差穩(wěn)定于（0.024，0.026）rad 范圍內(nèi)，抖振情況較傳統(tǒng)方法有一定的抑制效果。

圖5 轉(zhuǎn)速估計誤差波形對比

圖6 轉(zhuǎn)子位置估計誤差波形對比

3.2 仿真2：空載期望轉(zhuǎn)速由600 r∕min躍變到1 000 r∕min

仿真結(jié)果如圖7～10 所示。圖7（a）和圖7（b）為空載條件下期望轉(zhuǎn)速從600 r∕min 躍變?yōu)? 000 r∕min 時傳統(tǒng)滑模觀測器和增益自適應(yīng)滑模觀測器觀測得到的轉(zhuǎn)速波形圖，可觀察到，與仿真1 相同，從始至終，增益自適應(yīng)滑模觀測器觀測到的轉(zhuǎn)速波形的抖振現(xiàn)象明顯弱于傳統(tǒng)滑模觀測器，并且轉(zhuǎn)速達(dá)到1 000 r∕min 后，傳統(tǒng)滑模觀測器得到的波形整體出現(xiàn)小幅度上下抖動現(xiàn)象。這是因為，傳統(tǒng)滑模觀測器的增益在變速過程中保持固定，增益大小不能滿足系統(tǒng)最優(yōu)化。而增益自適應(yīng)滑模觀測器檢測到期望速度發(fā)生改變，自適應(yīng)算法使得滑模增益實時匹配系統(tǒng)需求。圖8 則為期望轉(zhuǎn)速突變時兩者的轉(zhuǎn)子觀測位置對比圖，雖然轉(zhuǎn)速發(fā)生改變，但從波形顏色深度可明顯看出改進(jìn)后觀測的轉(zhuǎn)子位置波形抖振情況更小。

圖7 轉(zhuǎn)速估計波形對比

圖8 轉(zhuǎn)子位置估計波形對比

圖9 和圖10 分別為空載條件下期望轉(zhuǎn)速從600 r∕min躍變?yōu)? 000 r∕min 時改進(jìn)前后滑模觀測器觀測到的轉(zhuǎn)速誤差波形對比圖與轉(zhuǎn)子位置誤差波形對比圖。可看出當(dāng)期望速度發(fā)生改變時，改進(jìn)后的滑模觀測器能根據(jù)系統(tǒng)的需求調(diào)節(jié)滑模增益，使得轉(zhuǎn)子速度誤差范圍大致保持在±1 rad∕min 內(nèi)，而傳統(tǒng)的滑模增益是固定的，不再隨著系統(tǒng)的改變而做調(diào)整，所以其轉(zhuǎn)速誤差范圍大致由±7 rad∕min 內(nèi)增加至（-7，10）rad ∕min。同時，增益自適應(yīng)滑模觀測器觀測的位置誤差也是肉眼可見的比傳統(tǒng)觀測小。

圖9 轉(zhuǎn)速估計誤差波形對比

圖10 轉(zhuǎn)子位置估計誤差波形對比

4 結(jié)束語

本文在傳統(tǒng)滑模觀測控制的基礎(chǔ)上提出了一種基于增益自適應(yīng)滑模觀測器的無位置傳感器控制方法。以滿足Lyapunov 穩(wěn)定性為前提，設(shè)計根據(jù)觀測電流差進(jìn)行增益調(diào)節(jié)的自適應(yīng)算法，使得觀測過程中滑模增益可根據(jù)系統(tǒng)需求進(jìn)行調(diào)節(jié)，不再會出現(xiàn)因滑模增益過大或過小而導(dǎo)致系統(tǒng)抖振嚴(yán)重或不穩(wěn)定等現(xiàn)象。通過仿真表明，改進(jìn)后的滑模觀測控制不僅大大削弱了抖振現(xiàn)象，還在一定程度上提高了轉(zhuǎn)速及位置的觀測精度。