基于混合整數規劃的P型玩具生產線平衡優化*

張萃珠，李志滔，余秋萍，趙 瑩，何演銘，龍建宇，洪 穎

（東莞理工學院機械工程學院，廣東東莞 523808）

0 引言

隨著改革開放的不斷深入，我國將繼續加大制造業的發展，抓住全球經濟一體化的機遇，不斷從國外學習和引進先進的生產技術和生產體系，逐步完善和增強國內的制造業水平[1]。近些年來，隨著電子信息技術的快速應用，在保證質量的同時，產品的生產成本隨之升高，導致產品銷售價格過高，以致國內市場訂單量過少，所以企業想要提高國內訂單量就必須降低生產成本。生產成本的降低離不開生產線效率的提高，生產線的平衡率、生產線節拍、瓶頸工序、生產線的生產布局等會影響生產線的效率[2]，因此，對生產線的平衡優化是解決生產線問題的重要任務。

為解決生產線問題，許多學者對生產線的優化改善做了不少研究，葛曉梅等[3]運用以生產線節拍為準則的啟發式算法對家具裝配線進行了平衡與優化，提高了裝配線的平衡率。李柯[4]運用0-1整數規劃的方法，根據生產現場狀況建立數學模型，通過計算機編程求得最優解,對H 公司的生產線平衡率進行了優化，得到了最優作業分配方案。程丙警[5]對X公司Z型產品的生產線平衡問題進行優化，優化后的生產線各項指標都得到了一定的改善。王崇果[6]使用啟發式算法對M 公司服務器產品生產線平衡問題進行改善優化，取得了比較明顯的改善效果。李險峰[7]提出改進遺傳算法，分析汽車裝配生產線平衡問題，克服了傳統遺傳算法的應用約束。楊廣強[8]在運用ILOG OPL的基礎上對傳輸網資源使用能效進行優化分析，得到了優化的業務配置路由和規模。郭繼東等[9]根據0-1 整數規劃模型和Lingo 軟件算出的工序排序，得到最優的生產節拍和平衡率，并重新規劃了實木A 廠1號車間的布局。上述文獻雖然都是對生產線進行平衡優化，但沒有涉及到實際情況下的工序與工作站之間相互約束、半成品物流的約束等，因而在平衡優化生產線過程存在一定問題。

本文以W 公司的P 型電子教育智能玩具（簡稱P 型玩具）生產線為研究對象，從P 型玩具生產線實際情況及所遇到的問題出發，綜合考慮半成品的相互傳遞、工序的優先關系、設備占用面積以及作業者的工作習慣等因素，結合大多數工序需依附在面殼上加工的特點，以及運籌學的相關優化理論知識和生產車間的生產狀況，運用數學規劃法對生產線的作業分配問題建立以最小化生產線節拍為目標的混合整數規劃模型，通過ILOGOPL優化軟件對模型進行編程求解，得到有效提高生產線平衡率和均衡分配作業的解決方案。

1 W公司P型玩具生產線現狀分析

隨著制造技術的不斷升級更新，在保證質量的同時，產品的生產成本也隨之升高。如何降低生產成本、獲得更大利潤和更多訂單量是W 公司迫切需要解決的問題。該廠是典型的制造型企業，主要生產小批量多品種型的產品，同時存在著工藝路線不合理、作業分配不均衡、現場各種浪費等問題，導致人員和設備利用率低、人均產出不高，影響生產線效率的提高。該廠主要生產電子教育智能玩具等產品，本文選擇了具有代表性的P型玩具作為研究對象，該產品的訂單量是W 公司某一生產樓層客戶訂單量最大的訂單之一，代表性高。通過秒表時間研究法對該產品各工序進行測時，得到每道工序的觀測時間，再對每個工作者進行作業評定，取寬放率為10%，最后得到完成一件產品時每道工序的標準時間，其工序的相關數據如表1所示。

表1 工序的相關數據

P 型玩具工序繁多，作業復雜，所有作業由人工及部分小型半自動化設備共同完成。在整個生產工藝中，工序的加工和組裝主要集中在面殼這個材料上，在其它材料上加工的不多。根據工藝結構及裝配順序，該玩具的工藝程序如圖1所示。

圖1 工藝程序

本文主要研究P 型玩具生產線中的產品組裝、測試到包裝的工藝流程，根據P 型玩具的生產工藝和現場調研后繪制該產品優化前的生產線工位布局，如圖2所示。從圖中可以看出，該生產線布局呈現“E”字形，整條生產線采用手工傳遞的方式傳遞半成品。產品的組裝、測試到包裝都是在生產線上完成，工作站5為測試產品，工作站6主要為產品的外觀檢查，工作站9、10、11、12為產品的包裝，其余的工作站為產品的組裝。

圖2 優化前工位布局

通過表1得知，優化前P型玩具的作業內容分配到13個工作站，完成一件產品需要397.34 s。工作時間最長的工作站是工作站3，即是瓶頸工位，作業內容為“組裝筆、畫板、擦除條”，用時44.01 s，因此，生產線節拍為44.01 s。

生產線平衡率R以及生產線平滑系數SF的計算方法分別如式（1）和式（2）所示：

式中：Ti為第i個工作站時間；N為生產線工作站總個數；CTmax為工作時間最長的工作站時間。

根據現場收集的生產數據，計算優化前生產線平衡率Rb以及生產線平滑系數SFb：

根據數據分析，可以發現問題：（1）P 型玩具的作業內容繁多，不同工作站之間的時間差距較大，生產線中的工序分配不均衡，造成部分人員忙閑不均；（2）有部分小零件物流需要進行無價值的跨工位傳遞的搬運動作，這種搬運方式需要工作者離開座位走動傳遞，不利于工作者持續作業；（3） P 型玩具生產線平衡率為69.45%屬于低水平狀態，生產流程不順暢，作業內容分配不合理，影響生產效率提高。

2 P型玩具平衡優化數學規劃模型建立

P 型玩具生產線屬于單元化生產[10]，并且工位之間的半成品可以相互傳遞。因此，綜合考慮半成品的相互傳遞、工序的優先關系、設備占用面積以及作業者的工作習慣等因素，結合大多數工序在面殼上加工的特點，建立混合整數規劃模型的思路如下：以最小化生產線節拍為目標，先對工序進行基本約束，然后對不可獨立加工的工序（即必須依附在面殼上加工的工序）進行優先關系約束，剩下可獨立加工的工序（即不須依附在面殼上加工的工序）通過建立工序之間相互關系等方面的約束被安排到其緊后工序同一個或相鄰的工作站上，最后再對所有工序進行工作地和設備等方面的約束，從而使得面殼的傳遞成為生產線主物流的方向。

2.1 問題描述

本文將建立針對P 型玩具的第二類生產線平衡問題的混合整數規劃模型，即在工作站數量確定的情況下，將作業內容重新分配，使得生產線節拍最小。生產線占地面積、布局形狀、所使用的設備等不變，在規劃過程中需要考慮設備的占用面積、半成品傳遞的便捷性、使用工具的沖突性等因素。在這種單元化的生產線中[11]，半成品可以在相鄰工位傳遞，但盡量取消跨工位傳遞。

2.2 參數定義

模型建立過程中相關參數的定義：Ti為第i道工序的標準作業時間；N為工序的數量；J為工作站的數量；SMi為第i道工序需用到自動螺絲機的數量；SDi為第i道工序需用到電批的數量；SIi為第i道工序需用到烙鐵的數量；M為一個很大的數；Precedences為工序的優先關系集合，Precedences=(a，b)表示工序a不能安排在工序b所在工作站的后面來完成；Locations為某工序必須安排在某工作站的集合，Locations=(a，b)表示工序a必須安排在工作站b；Togethers為兩道工序必須在同一個工作站的集合，Togethers=(a，b)表示工序a和工序b必須在同一個工作站；Nearbys為兩道工序必須在同一個或者相鄰工作站的集合，Nearbys=(a，b)表示工序a和工序b在同一個或者相鄰工作站；Nearbysindexs為Nearbys中的兩道工序與工作站的集合，Nearbysindexs=(a，b，j)表示工序a、b是否分配在工作站j內或相鄰的工作站的集合。

2.3 建立混合整數規劃模型

混合整數規劃模型（Mixed Integer Programming，MIP）是指在線性規劃問題中要求決策變量有部分必須取整數值，另一部分可以不取整數值的整數最優化數學模型，具有3 個要素：決策變量、約束條件、目標函數[10]。

2.3.1 定義決策變量

CTmax為非負實數，表示生產線節拍，xij為0-1 變量則有：

yabj為0-1變量(a,b,j∈Nearbysindexs)，則有：

2.3.2 定義目標函數MinimizeCTmax

目標函數使得生產線的節拍最小化，即該生產線瓶頸工位的標準作業時間盡可能小，最終使得生產線平衡率最大。

2.3.3 約束條件

（1）工序基本分配約束

每個工作站所有工序的標準時間的累加不能大于生產線節拍：

每道工序必須且只能被分配到一個工作站：

每個工作站必須分配有工序：

（2）不可獨立加工工序約束

工序優先關系的約束。即如果工序a被分配到工作站j，那么工序a的緊前工序不能被安排到工作站j后面的工作站，工序a的緊后工序不能被安排到工作站j前面的工作站，約束如下：

（3）可獨立加工工序約束

某些工序必須在同一個工作站中。考慮到某些特殊的工序需要特殊處理，例如，像“印水印”等包裝工段需要走動作業，不固定在某些位置，這類工序安排在同一個工作站能減少其他人員的走動，提高整體作業環境。

某兩個工序必須在同一個或相鄰的工作站。這些是組裝一些小零件的工序，并且不需要依附在面殼上也能作業。例如，“貼海綿到喇叭”這道工序不需要依附在喇叭上也能作業，它的緊后工序是“裝喇叭到面殼”，那么，它可以與緊后工序在同一個工作站，也可以在緊后工序前面或后面的工作站。

（4）其他約束

工作位置的約束。由于某些工序加工設備大小的限制，需要被安排到特定的位置，才不會對半成品的傳遞等方面產生不利的影響。

設備數量的約束。在這種布局下主要考慮自動螺絲機的影響，因為自動螺絲機的體積較大，通常一個工作站內容不下兩臺，因此，同一工作站內自動螺絲機的數量不能超過1臺。其約束如下：

工具操作限制。經過動作分析，電批與烙鐵不能再同一個工作站，電批與烙鐵都是使用右手操作，而將這兩個工具一起放在右側，容易造成繞線的麻煩甚至被燙傷的危險。其約束如下：

3 實驗結果分析

使用ILOG OPL 軟件求解以上數學模型，得到優化后的工序分配表，如表2所示。

表2 優化后工序分配表

根據式（1）和式（2）計算出優化后的生產線平衡率Ra以及生產線平滑系數SFa分別為91.16%和14.24。

根據以上各項指標，列出優化前后生產線評價指標進行對比，如表3 所示。根據優化前后工作站的時間分布繪制優化前后生產線平衡對比圖，如圖3所示。

表3 優化前后生產線評價指標對比

圖3 優化前后生產線平衡對比

優化后的生產線工位布局如圖4 所示，布局形狀不變，仍然呈“E”字形，但需要跨工位傳遞半成品的小零件物流由原來5個減少為1個，這個物流是把組裝完成的PCB 板從工作站1 傳遞到工作站3，此過程每次傳遞10個PCB板，重量輕，對與整體的工作影響不大。

圖4 優化后工位布局

綜合以上分析，通過混合整數規劃優化后，生產線的節拍由原來44.01 s減少為33.53 s，減少23.81%，生產線平衡率由原來的69.45%提高到91.16%，屬于持續高水平狀態，生產系統穩定；生產平滑系數由原來14.24減少為3.61，減少74.63%，同時結合圖3 分析可知，優化后，生產線每個工作站的標準作業時間較為均衡，不存在工作站的標準作業時間過高或過低的現象。在所有工作站中，作業時間最短的工作站與瓶頸工作站之間的時間差值低于7 s，因此，生產線內不會出現明顯忙閑不均的現象。由圖4 可知，優化后的工位布局在物流上更加的順暢，減少了生產線內人員不必要的流動。

4 結束語

本文通過分析生產線的現狀和收集生產現場的相關數據，結合其結構特點，指出工序分配不均衡、跨工位傳遞、生產線平衡率低是導致生產線效率低的主要原因。本文應用數學規劃法構建了以最小化生產線節拍為目標的混合整數規劃模型來對生產線進行平衡優化，并運用ILOG OPL 軟件對模型進行編程求解。結果表明，P 型玩具生產線節拍減少23.81%，平衡率由69.45%提高至91.16%，生產線平滑系數減少74.63%。與優化前相比，優化后的生產線內物流更加順暢，作業分配更加科學合理，工作站之間的作業負荷也更加均衡，實現了生產線平衡率的提高和作業的均衡分配，提高了生產效率。