一題八解 素養落地

李小蛟

(四川省成都市樹德中學 610091)

1 題目呈現

(1)判斷△ABC的形狀；

(2)若AC邊上的中線BM長為3，求△ABC的面積的最大值.

題目為一道典型的解三角形問題，三角形中邊角關系，三角恒等變換，三角形形狀判斷，三角形中線段長度，三角形面積在本題均充分考查，而且思維量較大，是一道非常典型的高考沖刺模擬試題，充分體現了試題的區分度和選拔功能.

2 試題解析

2.1 第(1)問解析

所以2sinBsinC=1-cos(B+C).

所以2sinBsinC=1-cosBcosC+sinBsinC.

所以cosBcosC+sinBsinC=1.

所以cos(B-C)=1.

又B-C∈(-π,π),

所以B-C=0，即B=C.

所以△ABC是等腰三角形.

評注判斷三角形形狀可以從邊的關系入手，也可以從角的關系著眼.本題已知關系式中全為角的關系，因此要充分利用三角恒等變換和相關三角公式，將多角度化為單角度或找到相關角度之間的關系.

2.2 第(2)問解析

第(2)問涉及三角形中線段長度并求面積最值，高考試題對高中數學知識點的考查較為全面細致，由于第(1)問只考查了邊角關系和三角恒等變換，因此第(2)問肯定會考查正余弦定理的應用，解題時要清晰明了題目命制的意圖和考查的知識點；三角形面積最值問題是考查基本不等式、函數最值、三角函數最值、導數應用及數形結合的一種重要體現，解題中一定要結合條件和求解結論去理解，迅速找到解決問題的方向.

解法1設AM=m，則AB=2m.

在△ABM中,由余弦定理,得

m2+4m2-2·m·2m·cosA=9.

所以△ABC的面積

解法2 將BM放在x軸，且B(0,0),M(3,0)，因為AB=AC,AC=2AM,所以AB=2AM.

則知點A的軌跡是圓，于是設A(x,y)，

化簡，得(x-4)2+y2=4(y≠0).

圖1

評注解析的方法是將幾何思維(智力為主)轉化為代數統籌(運算為主)的數學能力.建立適當的平面直角坐標系，將圖形思維轉化為代數運算，是處理幾何問題的一種常用方法.法2的關鍵點在于要充分運用阿波羅尼斯圓將動點轉化到定圓上，從而將三角形的面積最值轉化到相對圓直徑的高最值，一目了然，一望而解.

解法3 如圖2，由題知AB=2AD，得點A的軌跡為圓(阿波羅尼斯圓定義).

圖2

由阿波羅尼斯圓定義,得

解得DE=1，DF=3.

所以圓半徑為2.

所以S△ABC=2S△ABD=3h，h為BD邊上的高.

所以(S△ABC)max=6.

評注此法充分利用平面幾何中有關阿波羅尼斯圓的定義巧妙將動點轉化到定圓上，從而將面積表示為與圓上點到直線距離的關系，數形結合，巧妙轉化.

解法4 如圖3，取BC中點E，連接AE，交BD于點G，易知G是△ABC重心.

圖3 圖4

因為BD=3，所以BG=2.

因為BE=2sinθ,BC=4sinθ,GE=2cosθ,AE=6cosθ，

=12sinθcosθ

=6sin2θ≤6.

所以(S△ABC)max=6.

評注利用三角形重心(中線交點)分中線長為1∶2的長度關系將△ABC的底和高轉化到已知長度和同一角度求解，從而將面積最值問題轉化為三角最值問題.

解法5 如解法4，點G是△ABC重心.則

S△ABC=3S△BGC

=6sin∠BGC≤6.

評注充分利用三角形重心分面積的關系將△ABC的面積轉化到3S△ABC，而BG=GC=2，從而再次將幾何最值問題轉化為三角最值問題.

所以(S△ABC)max=6.

評注通過建立適當的坐標系，將三角形底和高的長度關系利用題目中條件建立關系，再利用三角代換將面積問題轉化為三角問題.

由基本不等式可得

評注高中數學的最值問題解決方法無非是用不等式或導函數處理，已知相關量的等量關系，所以首先想到用基本不等式解決最值，但運用基本不等式時一定要注意十七字方針“一正，二定，三相等，和定積最大，積定和最小”.

解法8 如圖1，設AD=x，則AB=2x，

由海倫公式

可得

S△ABC=2S△ABD

得1

則當x2=5(符合條件)時，取最大值(S△ABC)max=6.

評注此法實際和解法1一致(解法1就是海倫公式推導)，海倫公式是平面幾何中求解三角形面積的一個重要公式，利用題目已知條件和海倫公式將面積全部轉化到邊長，從而將面積最值轉化為函數最值.

此題的向量版變式已知共面向量a，b，c滿足|a|=3，b+c=2a，且|b|=|b-c|.若對每一個確定的向量b，記|b-ta|(t∈R)的最小值為dmin，則當b變化時，dmin的最大值為____.

解法1 同上題，實際求此阿波羅尼斯圓的半徑即可.

圖5

因為|b|=|b-c|，

所以OB=BC.

即(rcosθ+3)2+r2sin2θ=4r2.

整理為r2-2rcosθ-3=0.

而|b-ta|(t∈R)的最小值為dmin，

即dmin=rsinθ

≤2.

所以dmin的最大值是2.

小結解三角形問題一直是高考的熱點問題，正確理解三解恒等變換和三角形面積公式是處理問題的關鍵；同時要將三角、函數、解析幾何、不等式等相關知識加以遷移滲透，綜合運用，注重數形結合、化歸與轉化等數學思想；在解題歸納上注重模型意識，合理轉化，妙設巧算，才能將核心素養在解題中得到真正的體現和展示.